浅谈古典概型解题技巧

浅谈古典概型解题技巧

数学学院 数学与应用数学（师范）专业 20010级 张绪敏

指导教师 黄穗

摘要：概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它的理论和方法几乎渗透到自然科学的各个领域。古典概型是古典概率论研究的主要内容之一，是概率论中的一个经典研究概型，其研究对象主要是等可能事件。深入考察古典概型中的基本问题，有助于我们直观地理解概率论中的一些基本概念，掌握概率论中的基本规律，发展思维的灵活性和创造性，提高分析问题和解决问题的能力，合理地解决一些实际问题。因此，掌握古典概型中基本问题的解法，对于学好概率论及提高学生的数学素养和学习能力具有十分重要的意义。 本文主要研究古典概型里面的摸球问题，分球入盒的问题，随机取数问题等几种模型，讨论其解题的思路，针对这些模型总结其解题技巧以及它的应用。

关键词 ：古典概型；摸球事件；分球入盒；随机取数；

Abstract:Probability theory is a mathematical discipline from the side of the number of random phenomena, its theory and methods in almost every field of natural science. Classical probability is one of the main contents of study of classical probability in probability theory, is a classic study of probability, the object is mainly the potential events. Study of basic problems in classical probability models, contribute to our intuitive understanding of some basic concepts in probability theory, master the basic rules of probability theory, the development of thinking creativity and flexibility, improve the ability to analyze and solve problems, to solve some practical problems. Therefore, mastering the method of basic problems in classical probability models, is very important to learn the probability and improve mathematical literacy and learning ability of the student has the significance.This paper mainly studies the classical probability inside the touch ball, ball into the box, random access problem of several models, discussed the idea of solving problems in these models, summarizes the problem solving skills and its application.

Key words： Classical Probability;Touch the ball event;Score the ball into the box;Random access;

14 页） 第 1 页 （共

在15世纪末，意大利的数学家帕西奥里在他的著作《算术、几何、比与比例集成》（1494）中提出过这样一个问题：在一次赌博中规定，先胜 6 次者获全部赌金。甲、乙两个赌徒分别胜 5 次、2次时终止赌博，赌金如何分配？ 在这之后就有很多的数学家来研究这些问题。在1657年，惠更斯完成了《论赌博中的计算》，这是概率论最早的论著。20世纪70年代，利用概率方法竟然可以证明复变函数论中的毕卡定理、 泛函分析中的 H p 空间是赋范空间等。随机现象与确定现象、随机方法与确定方法相互交融。 古典概型就是概率论中主要研究内容之一，是概率论中的一个经典研究概型。所以其在概率论的学习中占有相当重要的地位，古典概型解题的掌握不仅可以为其他的概率学习问题奠定基础，而且有助于直观的理解概率论中的徐多基本概念。古典概型是最基本的一种概率模型，也在实际中有广泛的应用，在本质上是研究等可能事件（基本事件）的概率模型。 那么什么是古典概型呢？古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博。博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件同等可能。16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点。在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作。直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的理论》中给出概率的古典定义事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比。这两个特征即： 一是试验的样本空间只包含有限个元素；二是实验中每个基本事件发生的可能性相同。所以古典概型的定义[1]：设E是随机试验，若E满足下列条件 （1）试验的样本空间只包含有限个元素； （2）试验中每个基本事件发生的可能性相同。则称E为等可能概型。也称古典概型。 定理[1] 设试验的样本空间S包含n个元素，事件A包含k个基本事件，则有 P?A??kA包含的基本事件数? nS中基本事件总数在求解古典概型中的问题时，从基本原理与方法的角度来看，不外乎两条原 14 页） 第 2 页 （共

理（加法、乘法），两种方法（排列、组合），两个步骤（基本事件数、有利事件数）[1.2.3]可是细节还是要做好，一般要做好三个方面一是明确分辨问题性质，即是不是古典概型问题，如果是，又是哪一类型的古典概型问题；二是古典概型的计算公式，一定要掌握这个公式P?A??A包含的基本事件数k三是要根据公?；S中基本事件总数n式要求确定n和k，找出解题的主要数据。 1 判断古典概型 那首先要确定哪些题目属于古典概型呢？许多教材上说古典概型有两个比较典型的特点就是有限性和等可能性，这只是一个形象的描述，让学生们不能真正的理解古典概型的两个特征之间的关系，以至于在求事件的概率是，常常忽略其中的条件之一。古典概型是具备事件发生等可能，样本点个数有限，意思就是会说要满足两个特征才是古典概型，但是如果具备其中一个特征就不一定是古典型。 例 1 掷两颗骰子，考察之后出现点数和的可能性。 解 两颗骰子出现的点数和的结果可能有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 这就说明显然这个事件样本点数是有限的，满足了一个特征，接下来看看是不是等可能性，验证一下： 若是将两个骰子编号为一号和二号，如果假设点数和为5的种数，可能出现的是（1,4）（2,3）（3,2）（4,1），也就是说出现的点数和为5的种数为4；接下来看看点数和为4的可能，出现的可能是（1,3）（2,2）（3,1）；也就是说点数和为4的种数为3种；类似的再看看点数和为3的种数只有2种，很显然的可以看出样本点的发生的非等可能。 这种事件就是样本点数有限，但是基本事件的发生不是等可能的，所以这样的事件不是古典概型。 例 2 在半径为r的圆内随意取一点，研究这个事件是不是等可能事件。 解 在这个题目中可以认为该圆各点被取的可能性是一样的，但是所有可能的结果总数是无限的。在这种情形下，由于样本点数是无限的，所以不能说是古 14 页） 第 3 页 （共

典概型，这种类型可以概率的几何定义求解（对于几何概型本文不做解释）。

所以在判断古典概型的时候就应该仔细的去观察条件里面的实践是不是满足古典概型的特征，要做到不忽略，不重复。

2 摸球问题

摸球问题是指在一个非透明的袋子或者是非透明的盒子里面放有除了颜色不一样其余都一样的球，然后随机拿球出来，观察球的颜色，查看不同颜色球出现的概率。

2.1 不放回取球问题[5]

所谓不放回取球就是取出来的球不再放回去的取法。

例 1 袋中有a个白球，b个黑球，一次将球一个一个的取出不放回，求（1）第r次取出白球的概率；（2）第r次取出白球且第k次取出黑球的概率。

解 （1）中这里的取球是不放回的取球，设想将球编号，一个一个的直到第k次取到白球为止，则基本事件就是从?a?b?个编号的球中选出k个球进行排

k列的排列数，即n?Aa?b。设A为第k次取出白球的实践，要是A发生只需燕要

从a个白球中选出一个放在第k个位置上，作为第k次取出来的球，至于前面的

1k?1Aa?b?1，所以?k?1?个位置可以任意放余下各种编号的球。由乘法原理得KA?Aa就有

1k?1AaAa?b?1ap(A)?? kAa?ba?b（2）同上讨论方法相似的，取k个球全排列，有利事件要求是第r个球是白

11球，有Ak种排法，第k个球是为黑球有Ab种排法，至于其他位置的球是可以任11k?2AbAa+b-2 ，所以就有所求的概率为 意放置的任意颜色的球，就有KA?Aa11k?2AaAbAa+b-2abp?? kAa?b(a?b)(a?b?1)在这一题中第一问要求低k次取出的是白球，第二问要求的是第k次取出的是黑球但是第r次取出的是白球。在这两问中除了要求的位置上是固定颜色的

14 页） 第 4 页 （共

球，在其余位置上是任意一种球的，取出的球有一定的排列顺序，利用的也是排列的一些公式。

在这一种模型中，摸球的最后结果与取球的排列顺序有一定的关系，这些取出的球之间的关系就是最后结果。

b个黑球，例 2 一个袋子中有a个白球，从袋子中不放回抽样抽出n个球，

求（1）在取出的球中恰有k个白球的概率；（2）假设袋中另有c个红球，取出的

n个球种恰有t个白球，m个黑球的概率。其中（1?t?m?a?b）

n解 （1）中是从?a?b?个球中不计顺寻的取出n个球，所有的可能有Ca?b种，

在取出的n个球中要恰有k个白球，这k个白球只能从a个白球中取出来，剩下

kn?k的?n?k?个球就只能是从b个黑球中取出的，所以有CaCb种取法，则所求的概

率为

kn?kCaCb p?nCa?bn（2）中同上问类似，基本事件是在?a?b?c?个球中取出n个球，则有Ca?b?c种取法，在n个球中包含t个白球，m个黑球，则剩下的就是?n?t?m?个红球，

tCbmCcn?t?m，所以就有所求的概率 则有利事件数就为Catmn?t?mCaCbCc p?nCa?b?c在这一题中取出的球中包含有k个白球或者是t个白球、m个黑球，在这里就不要求白球黑球之间的排列问题，只是一个组合的问题，就只是利用了一些组合的公式。

在这一模型中，摸球的最终结果，与取出球的数量有关而与球的排列书序无关，也就是只与它们之间的组合情况有关。

例 3 一只口袋中有a只白球，b只黑球，一次不放回的取出两个球，在第一次取得白球的条件下，问第二次取得白球的概率。

解 一次不放回的取出两个球作为一个基本事件，那么就有基本事件总数为

2n?Aa?b。设A为第一次取出白球的实践，B为第二次取出白球的事件，则有

14 页） 第 5 页 （共

1111KA?CaCa?b?1?a(a?b?1),KAB?CaCa?1?a(a?1)

根据全概率公式

a(a?1)?A2a?1a?b p(B/A)???2p?A?a(a?b?1)?Aa?ba?b?1p?AB?在这一模型中，摸球的结果不仅与取出球的种类的排列有关，还与前一次摸球的结果有关，即在前一次摸球结果的限制下取出另一个球。 2.2 放回取球问题

所谓放回取球就是把取出来，作好记录，再把球放回去后，使得下一次的取球环境和上一次的取球环境相同。

例 1[5] 袋中有a个红球，b个蓝球，从中用有放回的抽取方式抽取n个球，（1）问恰有k个红秋的概率；（2）第k次取到的是红球的概率；（3）第k次才取到红球的概率；（4）前k次中能取到红球；（5）到第n次恰好取到k个红球。其中?k?n?a?b?

解 （1）每次取球的结果只会有两种，红球和篮球，每次抽取一个是贝努里概型，抽取n次，并且每次抽取之间都是相互独立的，这就可以看成是一个n重贝努里概型解 B??n个球中有k个红球?，又有抽取红球的概率是p?a，则a?b抽取篮球的概率是q?b?1?p a?b根据贝努里概型公式有所求的概率为

?a??b?p?B??C?????a?b??a?b?knkn?k

（2）中的第k次取到的是红球，就意味着前?k?1?次就是在?a?b?中取出一个球就可以了，无论是红球还是蓝球，然后第k次在a个红球中取出一个红球就可以了，根据乘法原理，第k次取出的是红球应该有?a?b?求的概率为

1a?b?Ca?p??a?b?kk?11种取法，因此所Cak?1?a a?b（3）中要求的是第k次才取到红球，意思就是说在前面的?k?1?次都不是红

14 页） 第 6 页 （共

1球，那就是?k?1?个蓝球，第k次就从根据乘法原理就有bk?1Ca种取法，因此所

求的概率为

p?ak?1b?a?b?k

（4）中要求的是前k次能有红球，那这个事件的对立事件是前k次中都是蓝球，而前k次都是蓝球的意思就是在前面k次取球中都是在从b个蓝球中取出一个蓝球，有ak种取法，所以所求的概率就为

p?1?ak?a?b?k

（5）中所要求的是在前n次取球中恰好就有k个好球表明取出的个球中包含有k个红球，?n?k?个蓝球，其中k个红球是任意取到的，可以是n次取球中的任意一次，同时也是从a个红球中任意取出一个，取k次，；剩下的?n?k?个就是蓝球，也就是随意的从b个蓝球中任意取出一个，重复?n?k?次，它的取法有

kkn?kCnab种，因此就有所求的概率为

p?kkn?kCnab?a?b?n

例 2 袋中装有4个黑球和1个白球，每次从中任取一球并放入一黑球，继续进行，问第3次摸到黑球的概率是多少？

在袋子中一直会有的就是5个球，所以基本事件就是从5个球中摸取一个，每一次都会有5种取法，因此基本事件的总数应该是53种。按要求若是直接求第3次摸到黑球的概率可能比较复杂，袋中原本就有4个黑球后来又会放入黑球，那如果看看其对立面就是第3次摸到白球，如果要求第3次摸到的是白球就会比较简单，因为白球就只有一个，就是说前两次都摸到的应该就是黑球。

解 设B??第三次摸到的是黑球?，则有B??第三次摸到的是白球?，根据

111C4C1?4?4?1，因而就有所求的概率为 题意有n?53，k?C4p?B??1?pB?1???16109? 53125 14 页） 第 7 页 （共

这种取球的过程实际上也就是按顺序取球的，而且就是每个球都有可能被重复取到，所考虑的实践依然会涉及到取球的顺序，因此在计算的时候要用到重复排列数计算样本有利点数。在遇到这种类型的题目的时候就一定要好好的想清楚是不是应该用重复排列数来计算，或者说是应该用其他的方法来计算。

3 分球入盒问题

分球入盒的问题也就是放球进箱问题，这一类问题实际上是古典概型中的一个数学模型，即就是把一些球随意的放到盒子或者是箱子中去，要求不同，放的方法也就不同。样本点数的计算方法即会用到排列数，又会用到组合数。

例 1[7] 将n个球放到N个箱子中，其中每个球都有可能放入每一个箱子中，球下列事件的概率，（1）指定n个箱子各放一球（设N?n）；（2）每个箱子中最多放入一个球；（3）第i个箱子不是空的；（4）第i个箱子恰好放入k?k?n?个球。

解 根据题目意思可以知道每个球可能放到任意一个箱子中去，而且每个箱子都可能被重复使用。每个球都是放入N个箱子中的任意一个箱子中，应该就有N种放法。根据乘法原理就可以得到n个球随意刚入N个箱子中就有Nn种放法。

（1）指定的n个箱子中各放一球就是相当于n个球的全排列，就有n!种不同的排法，因此所求的概率为

p?n! Nn（2）每个箱子中最多放一个就意味着N个箱子中任意选出n个箱子，每个

n箱子中放入一个球，首先从N个箱子中选出n个箱子有CN种选法；最后在选出

的n个箱子中每个箱子放一个球，就如同（1）中的n个箱子每个箱子中放一个

n球，就有n!种放法。所以要求的放法就有CNn!。因此所要求的概率就为

nCNn!p?

Nn（3）题目要求的是第i个箱子不空就说明第i个箱子至少要放入一个球，直接计算可能会比较困难，所以首先看看对立事件第i个箱子是空的的概率。这就

14 页） 第 8 页 （共

表示要把n个球随机放入?N?1?个箱子中，有?N?1?种放法，所以这个概率为

n?N?1?p?Nnn。因此所要求的概率就为

q?1?p?1??N?1?Nnn

k（4）就先假设在n个球中选出有k个球放入第i个箱子中，有Cn种不同的选

法；再把余下的球任意放到其余的箱子中去，有?N?1?k可以得到第i个箱子恰好放入k个球有Cn?N?1?kCn?N?1?n?kn?k种放法。根据乘法原理

n?k种放法，因此所求的概率为

p?Nn

在这种放球入盒中或者是分房子的问题都是一样的，都是可能不仅要考虑排列问题还要考虑组合的排法，所以在遇到这种问题的时候就要小心的去处理。

4 随机取数问题

随机取数就是指在已知的一些数字中随机取出一些数字，这些数字的组合问题以及排列问题。 4.1 有放回的随机取数

这种取数的意思就是说取出来的数字再放回去，相当于从n个不同的元素里，取出允许重复的m个元素重复排列，这样重复排列的种数就为nm

例 1 从2,3,4,5,6,7,8这七个数字中等可能的并且又放回的连续抽取4个数字，试求下列事件的概率 （1）A??4个数字完全不同?； （2）B??4个数字中不含3和7?； （3）C?{4个数字中至少出现一次4}。

解 根据题目意思，这是7个数字又放回的取法，这就是7个数字的排列问题，

14 页） 第 9 页 （共

实验结果的总次就为74。

（1）中要求的是抽取的四个数字都不相同，并且是有顺序的取数，所以A事件的包含结果总数可以看成是从7个数字中取出4个的选排列，即为A74。因而所求的概率为

A74p?A??4?0.3499

7（2）若抽取的数字不含3和7，则就是相当于在剩余的4个数字中随机抽取4个数字，因为有放回的抽取，所以事件B的出现总次数 54。于是所求的概率为

54p?B??4?0.2603

7（3）若4个数字中至少出现一次4，运用间接算法，计算事C的对立事件，即C?{4个数字中没有出现4} ，也就是说要在没有4的六个数字中任意选出4个数字，可以看做是6个数字的重复排列，所以排列的总数就为64,因此4个数字中至少出现一次4的概率为

64p?C??1?4?0.4602

74.2 无放回的随机取数

这个意思就是取出的数字补在放回，有两种情况 一种是有顺序的取数字，则可以看作是不重复的排列问题；另外一种则是所取的数不讲顺序，则可以看作是不重复的组合问题。

例 1 用数字1,2,3,4,5任意组成无重复数字的五位数，求下列事件的概率。

它是一个奇数?； （1）A??（2）B??它大于34000?。

解 五个数字的组成美元重复的五位数，就可以看做是五个数字的全排列，

5那么其总的事件结果就应该是A5

(1)A事件要求组合出来的数字是一个奇数，所以说最后一位数就只能是1、3、5中的一个，也就是有3种放法，剩下的4个数字就是任意的全排列，那有利事件

14 页） 第 10 页 （共

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wfq3.html