04-04 高斯积分法及其应用

§4-4 高斯积分法及其应用

由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分：



1

1 1

1

f( , )d d ；

1

1 1 1

11

f( , , )d d d

其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。

数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξη，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。

数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。

一、高斯积分法 1．一维积分的高斯公式

一维积分的高斯公式

1

n

1

f( )d

H

i 1

i

f( i)其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi处的数值，Hi为加数系数，n为积分点数目。

可以证明，

对于n个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。

由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。 例如， n=1时

I

1

1

f( )d H1f( 1)１

不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H１=2，ξ＝０，上式均是精确成立的。因为

f( ) C0 C1 1

I

1 1

f( )d 2C0 2 f(0) 当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为

f( ) C0 C1 C2

2

C3 3

其精确积分为

I

1

2 1

f( )d 2C0

3

C2数值积分为

2

I

H

i

f( i) H1f( 1) H2f( 2)

i 1

H C2

3

2

3

1(C0 C12 1 C3 1) H2(C0 C1 C2 2 C3 2)

为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有

H1 H2 2， H1 1 H2 2 0

H2

2

2331 1 H2 2

3

， H1 1 H2 2 0

所以，应取

11 2

3

0.577,350,269,2

H1 H2 1.000,000,000,0

同样，对于不超过五次的多项式，只要取

n=3

1 3

0.577,350,269,2

2 0.000,000,000,0

H1 H52

9

0.555,555,555,6

H83

9

0.888,888,888,9

2

即可保证得到精确的积分值。

对于n=1到n=6时，高斯求积公式中积分点坐标ξi及加权系 Hi的数值列于表4-1表3-1 高斯求积公式积分点坐标与加权系数

2．二维积分的高斯公式

以一维高斯积分公式(4-47)为基础，极易导出二维及三维公式。求二维重积分

11

1 1

f( , )d d

的数值时，可以先对ξ进行积分，这时将η当作常量，于是由(4-47)式得到

1

n

再对η进行积分，得出

1

1

f( , )d

H

i 1

i

f( i, ) ( )m

将式(g)代入，即得

1

1

( )d

H

j 1

j

( j)

或改写为

1

mnj

i

1 1

f( , )d d

H H

j 1

i 1

f( i, j)

3

11

nm

i

1 1

f( , )d d

H

i 1

j 1

Hjf( i, j)这就是二维的高斯积分公式。

3．三维积分的高斯公式

同样，可以求得三维高斯积分公式：

1

1

1

n

m

l

i

1 1 1

f( , , )d d d

H

i 1

j 1k 1

HjHkf( i, j, k)式(4-48)及(4-49)中的n，m，l是分别关于变量ξ，η，ζ的积分点数目。

各个维数上的积分点数目由各个自变量在被积函数中可能出现的最高次数分别决定，一般并不要求相同。但为应用方便，常常在各个方向取相同的积分数，即统一为最高值

1

1

n

n

i

1

1

1

1 1

f( , )d d

H

i 1

j 1n

n

Hjf( i, j)n

1 1 1

f( , , )d d d

H

i 1

j 1k 1

i

HjHkf( i, j, k)由前面的推导可见，当在每个方向取n个积分点时，只要多项式被积函数中自变量的次数m≤2n-1，则用高斯求积公式求得的积分值是完全精确的。

反过来，对于m次多项式的被积函数，为了积分值完全精确，积分点的数目必须取n

m 12

。

二、合适积分点数的确定

在空间等参数单元分析中，计算节点载荷及刚度矩阵时要用到高斯积分公式，下面以20节点的等参数单元（二次）为例，来探讨一下相应公式中积分点的数目。

这直接关系到收敛性、计算精度和计算时长。

1．分布体力

★分布体力的等效节点载荷列阵计算见公式(4-35)，即

R e

4

111

1 1 1

[N]

T

PJ

d d d

由式(4-16)可见，形函数Ni对每个局部坐标来说，一般都是二次式，因而在[N]T元

素中，每个局部坐标都可能以二次幂出现，同时，由(4-15)式又知，在整体坐标的表达式中，每个局部坐标也都可能以二次幂出现。

根据(4-21)式，在J中每个局部坐标可能出现的次数是5。

据此，当体力分量为常量时(例如体力为均质单元自重)，(4-35)式中的被积函数对

于每个局部坐标来说，可能出现的最高幂次是m=5+2=7。为了使积分值完全精确，

每个坐标方向积分点的数目应为n 应为43=64个。

12

(m 1) 4。对于三维积分，其积分点总数

2．分布面力

★ 一般分布面力的节点载荷列阵为

R

e

111

1 1 1

[N] 1 P(E E E ) 2 1d d T

2

1

在这里，由于被积函数中包含有根式，不能化为多项式，只有结合面力的分布规律，依次增加积分点数目，进行若干次试算，才能大致判明。

当分布面力为静水压力时，有

y z z yT

[N]q , 1 1 1

1

1

R

z

e

x

x

z

,

x

y

y

x

d d

1

T

其中水压力强度q总是整体坐标z的线性函数，η，ζ在q中将以2 至于在

y

z

类型的各项中，如前所述，η及ζ可能以3次幂出现。

因此上式中被积函数对于η或ξ来说，最高可能幂次是m=2+2+3=7次、也就是说对

每个坐标方向所需积分点数为n≥4。二维积分所需积分点为42=16个。

3．刚度矩阵

★ 在刚度矩阵计算公式

K e

111

1 1 1

[B][D][B]Jd d d T

5

中，[B]T及[B]中各元素是

Ni x

类型的项，其与[J] 1有关，所以(4-44)式中被积函数不能化

为多项式，因而也很难判明所需积分点的数目。

但是，如果单元很小，以致单元中的应力及应变分量可以看作常量，则相应的[B]T[D][B]的元素认为是常量，此时，(4-44)式中被积函数的幂次即为｜J｜的幂次。据前面分析，对20节点空间等参数单元，各局部坐标在｜J｜中可能出现的最高次数是5次。因而，(4-44)式的被积函数可以近似地看作5次多项式。各个坐标方向的积分点数应取3个，三维积分的总积分点应为33=27个。

如果单元的应力及应变不能够看作常量，上面结论则是不成立的。积分时每个坐标方向积分点的数目将随应力应变的分布规律变化，并且一定大于3。

但是值得注意的是，在有限单元法中，所取的位移模式使得每个单元的自由度从无限多减为有限个，单元的刚度被夸大了，即“过刚”。在另一方面，由数值积分得来的刚度矩阵数值，总是随着所取积分点数目的减少而偏低，这样，采用较少的积分点(略少于积分值完全精确所需积分点数目)，可以使上述二方面因素所引起的误差部分抵消。

另外，还应注意：如果将每维积分点数目由3增加到4，三维积分点总数将由27增加到64，这样不仅对计算机容量要求增大，还会大大增长计算时间。因此，按照｜J｜的幂次来决定积分点的数目是比较恰当的。

在实际应用中，计算20节点的空间等参数单元刚度时，常采用一种14可以达到33个积分点同样的精度，并可节省大量时间，积分公式为

11

1 1

f( , , )d d d B6[f( b,0,0) f(b,0,0)

f(0, b,0) f(0,b,0) f(0,0, b) f(0,0,b)] C8[f( c, c, c) f(c,c,c) f(c, c, c)

f( c,c, c) f( c, c,c) f(c,c, c) f( c,c,c) f(c, c,c)]

式中 B6

320361

,C8

121361

,b

1930

,c

1933

对于平面等参单元及其他种空间等参单元所用高斯积分公式，可用同样方法确定相应积分点的数目。

§4-5 等参数单元应用实例

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wfpe.html