长郡中学理科实验班招生考试数学试卷

试卷

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长郡中学理科实验班招生考试数学试卷

满分：100 时量：70min

……………..………….密………………..…………….封……………………………..线……………………. 一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 1．函数y＝?y1图象的大致形状是 （ ） xyyyOxOO

OxxxA B C D

2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）

A、1 B、3π C、3π D、336π 923．满足不等式n200?5300的最大整数n等于 （ ）

（A）8 （B）9 （C）10 （D）11 4．甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇 后甲驶1小时到达B站，乙再驶4小时到达A站. 那么， 甲车速是乙车速的

（A）4倍 （B）3倍 （C）2倍 （D）1.5倍 5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，

3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ）

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

6．如图，AB，CD分别是⊙O的直径和弦，AD，BC相交于点E，∠AEC=?， 则△CDE与△ABE的面积比为 （ ）

22

（A）cos? （B）sin? （C）cos? （D）sin?

7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和 b的大小为 （ ） （A）a?b （B）a?b （C）a?b （D）与勺子大小有关

8．设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A?5B,3C?2B，这个三角形是 （ ） （A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）都有可能 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：

1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□

10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边

形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于 ______ . 11．计算：

3?3?62?2?6= ________ .

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12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E队比赛了 ___ 场.

13．已知∠AOB=30°,C是射线OB上的一点，且OC=4，若以C为圆心，半径为r的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是_____________ 14．如图，△ABC为等腰直角三角形，若

AD=

11AC，CE=BC，则∠1 __ ∠2 33（填“>”、“<”或“=”）

三．解答题（共38分） （第14题）

15. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

AB上一点，延长DA至１６．（１２分）如图，△ABC是?O的内接三角形，AC?BC，D为?O中?点E，使CE?CD．

（1）求证：AE?BD；

（2）若AC?BC，求证：AD?BD?

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Ｃ 2CD．

Ｅ Ｏ Ａ Ｄ

Ｂ

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１７．（１４分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长； （2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？

（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

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参考答案

选择题 D C D C C C C B 9． 1＋8＋6=9＋5＋1=8＋3＋4=6＋7＋2 10．

36 11． 12． 6场，2场 3213．2?r?23 14．＝

1５．（１）解：设搭配A种造型x个，则B种造型为(50?x)个，依题意，得：

?80x?50(50?x)≤3490?x≤33 ，解这个不等式组，得：?，?31≤x≤33 ?40x?90(50?x)≤2950x≥31??，，33，?可设计三种搭配方案： ?x是整数，?x可取3132①A种园艺造型31个 B种园艺造型19个 ②A种园艺造型32个 B种园艺造型18个 ③A种园艺造型33个 B种园艺造型17个．

（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元 １６．证明：（1）在△ABC中，?CAB??CBA．

在△ECD中，?CAB??CBA．

（同弧上的圆周角相等），??ACB??ECD． ??CBA??CDE，

??ACB??ACD??ECD??ADE．??ACE??BCD． 在△ACE和△BCD中，

?ACE??BCD；CE?CD；AC?BC ?△ACE≌△BCD．?AE?BD． （2）若AC⊥BC，??ACB??ECD．

??ECD?90?，??CED??CDE?45?．

?DE?2CD，又?AD?BD?AD?EA?ED ?AD?BD?2CD

１７．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C． 此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30． （2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t 得50＋75－5t=3t，解得t=125．

8

经检验，当t=125时，有PQ∥DC．

8（3）①当点E在CD上运动时，如图9．分别过点A、D 作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形 ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而

FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．

Q C P K D H 第4页 / 共5页 让优秀成为一种习惯 Q

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又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·DH=4t．

CH（注：用相似三角形求解亦可） QC=6t2； ∴S=S⊿QCE =1QE·2ED=QH=QC－CH=3t－30．

∴S= S梯形QCDE =1(ED＋QC)DH =120 t－600．

②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而

24）△PQE能成为直角三角形． 第5页 / 共5页 让优秀成为一种习惯

（

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