教室座位选择问题（数学建模）

第十届“新秀杯” 校园数学建模竞赛

论文题目：教室座位选择

队员1 姓名 王杨 学号 2016117557 专业 电气工程 联系方式 18295984767 队员2 母博宇 2016117558 电气工程 13890874956 队员3 李佳峻 2016117577 电气工程 15320282528 摘要

本文研究了关于西南交通大学峨眉校区的两种教室听课最佳座位选择的问题。我们根据题目中所给的示意图以及数据，联系实际，合理假设，建立模型进行求解，旨在找出最适合听课的座位。本篇论文我们通过仔细读题，确认该题属于数学规划最优解模型。

在问题一中：选择最优座位，则需要考虑视角，仰角两个决策指标，所以我们建立直角坐标系，使用向量夹角来表示视角α和仰角β，使用了满意度函数f(β,α)来衡量不同位置同学们满意度，以得到最佳位置。为了消除两项决策指标的量纲不同的影响，我们用变异系数法来衡量各项指标的权重大小，其

?中定义│β-│和αmax-α为两个决策指标，分别求得权重并赋给两个决策变

6量，而满意度函数值f(β,α)函数值越小，则表示该座位越合适。因此我们进行了满意度函数最小值点的求解，解得在普通教室和阶梯教室最小值点均在第二排处取得。紧接着，我们又绘制了满意度函数与座位数n的函数图像进行验证。最后我们可以得到结论，普通教室最佳座位为第二排，阶梯教室最佳座位也为第二排。

问题二在问题一的基础上增加了一个决策指标L，我们在问题一的决策指标基础上增加了一个新的决策变量L，然后重新求解三个决策指标的变异系数，进行无量纲化，再分别求得权重，赋给三个决策变量，进行满意度函数g(β,α,L)最小值点的求解，我们解得：普通教室g(β,α,L)最小是在第一排取得，阶梯教室g(β,α,L)最小也是在第一排处取得。我们又绘制了满意度函数g(β,α,L)与座位排数n的图像进行验证，综上，我们得出普通教室的第一排，阶梯教室的第一排是最佳座位。

本文最大的特色在于：通过满意度函数，将三个量纲不同的决策函数综合起来，作为座位的属性，给出了衡量舒适度的方法。此种数学模型能够帮助我们找到教室里或者诸如电影院之类的房间的最佳座位。

关键词：满意度函数 变异系数法 MATLAB软件

1

一．问题提出

自高中升入大学，许多学生一下子从紧张的学习进入到自由宽松的学习氛围中，也有一部分同学依旧保持着热忱的学习热情，在大学上课前抢着去占座位。

西南交通大学峨眉校区六号楼的教室大体可以分为两类，一类是普通教室，一类是阶梯教室。据悉，座位的满意程度主要取决于视角?和仰角?，视角?是学生眼睛到屏幕上下边缘的夹角，?越大越好；仰角?是学生眼睛到屏幕上边缘与水平线的夹角，?太大会引起人的头部过分上仰而引起不适，最适宜的角度大约为30?，另外所占座位越靠前排越容易集中精神，也越好。

我们设屏幕下边缘距地面高度为h1，屏幕高h2，普通教室第一排与屏幕的水平距离为D1，阶梯教室第一排与屏幕的水平距离为D2 ，每一排的距离为d，普通教室总共为学生平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。已知参数h1?1.2，h2?3，D1?3 ，D2?4，c?1.1（单位：m），普通教室总共有8排，阶梯教室总共有14排且从第6排开始有阶梯，每节阶梯有一排座位且高度为0.1m。

1、假设不考虑座位与距离老师远近产生的影响，请分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位；

2、考虑座位与距离老师远近产生的影响，请分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位。

二．基本假设

1.人的双眼简化为一个质点，将示意剖视图中的座椅和人简化为通过人眼的竖直线段，竖直线段的上端点为人眼被简化成的质点。

2.人在座位上晃动时眼睛的位置变化对问题的影响忽略不计。 3.黑板的宽度忽略不计。

4.老师的位置与黑板的位置重合，且老师的位置固定不变。

三. 符号说明

符号 X Y N 意义 建立直角坐标系后x轴方向上的变量 建立直角坐标系后y轴方向上的变量 人眼所表示的质点 单位 备注 下标的字母表示某一点 下标的字母表示某一点 2

M P Q n L h1 h2 d c D1 D2 h3 α β αmax与人眼在同一水平线且位于黑板上的点 与N点在同一竖直线的位于黑板下边缘的点 与N在同一竖直线的位于黑板上边缘的点 学生座位所处的排数 学生与老师的距离 屏幕下边缘距地面高度 屏幕高度 每一排的距离 学生的平均坐高 普通教室第一排到屏幕的距离 阶梯教室第一排到屏幕的距离 阶梯教室每节阶梯高度 视角：学生眼睛到屏幕上下边缘的夹角 仰角：学生眼睛到屏幕上边缘与水平线的夹角 普通教室和阶梯教室α角的最大值 满意度函数 满意度函数 变异系数 标准差 平均值 权重

四.问题分析

f() g() V δ X K

米（m） 适用于问题二 米（m） 已知为1.2 米（m） 已知为3 米（m） 已知为0.5 米（m） 已知为1.1 米（m） 已知为3 米（m） 已知为4 米（m） 已知为0.1 弧度 弧度 不同问题中分弧度 别表示两个教室α角 问题一 问题二 下标为不同指标 大学的学习依然需要我们的努力，而听课的质量则是关键，好的座位能够提升我们的听课效率。不同的座位所对应的视角α、仰角β以及距离老师的远近不同，学生的听课效率也有所差异。所以，下面我们将结合这三个因素，综合考虑最佳听课位置。

在问题一中，未考虑与老师的距离因素，所以，我们只需研究视角α与仰角β两个因素。因为教室又分为两种：我们可以发现，其中阶梯教室是有一部分与普通教室的属性完全一样的。所以，我们可以讨论阶梯教室的情况，从而建立适用于两种情况的模型；而问题二，是在问题一的基础上，加了一个约束因素，即座位与老师的距离L。此时我们想到了用构造一个平面坐标系来将支点，夹角放入坐标系中进行讨论，用坐标变换来表示视角、仰角、学生与老师的距离，使问题更加清晰明白。

因为是求解最优化问题，所以我们想到了构造满意度函数。最后因为我们并不知道视角、仰角与学生与老师距离对听课效率的影响程度，所以我们又使用了变异系数法来确定权重，来衡量不同座位所含的因素β，α或因素β，α

3

和L对听课效率的影响程度大小，从而选出最佳位置。

下面是两个问题思路的流程图： 建立直 提取决构造满角坐标变异系题目分 权重 定因素 意函数 系 数法 析 未知 用 坐 视 仰 距 标 角 角 离 表 示 流程图

4.2问题一的概述：

本部分我们将主要说明如何使用题中所给的数据。对于我们所求的视角和仰角，可以在直角坐标系中，通过向量的夹角来求解。而题中的数据则可以确定物体在直角坐标系中的坐标，即将物理模型转换为数学模型。

通过分析可知，视角与仰角的表达式是由多个已知量和一个未知量（座位的排数n）组成的，所以，我们就将现实生活问题用数学模型表达了出来。接下来，我们就可以用构造满意函数的方法比较不同座位的视角与仰角对问题的影响程度。

4.3问题二的概述：

问题二是在问题一的基础上，增加了一个学生与老师的距离因素，从而再来讨论不同座位对学习效率的影响。首先，我们需要考虑阶梯教室中前排的同学能否挡住后排同学的视线。因为在视角的范围内，后面同学的视线易被前排同学挡住。经过数学计算，我们发现后面同学的视线并不会被前排同学挡住。这就消除了我们的顾虑。接着我们通过分析数据发现，距离L=D2+(n-1)d,即L也是由n来确定的。这样，则三个因素可由n来连接的。示意图如下所示： 视角 表示 n的表达满意度函仰角

式 数

流程图 距离 五、模型的建立与求解 5.1 问题一模型建立与求解

4

5.1.1 问题一的分析

首先，我们进行数据预处理，将本题中的角度全部由弧度制来表示，如30o转化?为，方便计算和应用。 6 问题一给我们提出了一个问题：在不考虑座位与距离老师远近产生的影响的情况下，分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位。

根据题意，我们只需要考虑选择不同座位时β，α的不同对满意程度所带来的影响便可确定最佳位置。由此我们可以建立满意度函数f(β,α),进而求出满意程度最大的座位，即满意度函数在定义域内的最值点即可。

而此题中满意程度由人的仰角β和视角α所决定，仰角β最适宜的角度为????,即β越接近，β所决定的满意度越高。因此我们用│β-│（即β与差6666???值的绝对值）来表示β与的接近程度，│β-│越小，β与越接近，即β

666所决定的满意度越高。对于视角α，它表示的是学生眼睛到屏幕上下边缘的夹角，α越大越好，即α所决定的满意度越高。我们用αmax-α来表示α的大小，αmax表示每一种情境中所有位置中α角的最大值。αmax-α越小，说明α越大，即α所决定的满意度越高。

为建立满意度函数，我们要表示出各个位置的β角和α角。设黑板所在直线为y轴，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系。我们可以利用两个向量之间的夹角来表示出β角和α角。如图1所示。

图1

5.1.2 问题一模型的建立

现在我们来构建满意度函数，满意度需要用决策变量│β-衡量。│β-

?│和α6max

-α来

?│和αmax-α我们采用直角坐标系中向量知识可以求得。很明显，6每一排座位都对应一个β和α，那么当最适宜的β和α在不同座位处取得时，

5

我们应该怎样来衡量β和α的重要性呢，也就是我们应该怎样来确定│β-和α

max

?│6-α的权重。

而本题中由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同，不宜直接比较│β

?│和αmax-α差别程度。为了消除各项评价指标的量纲不同的影响，本题中我6们需要用各项指标的变异系数来衡量各项指标取值的差异程度。由此，便可确

?│β-│和αmax-α的权重，我们的满意度函数也就可以顺利构建出。 定

6- 接下来，我们来确定权重以及│β-1)权重的确定：

我们采用变异系数法来确定权重。决策指标的变异系数公下：

?│和α6max

-α，以来建立模型。

Vi=（i=1，2，3，4??n） (1)

此式中，是Vi第i项指标的变异系数，也称为标准差系数；问题一中共有

?两项指标，│β-│和αmax-α。δi分别是是第i项指标的标准差,在问题一

6?即为│β-│和αmax-α分别组成的数组的标准差；X是第i项指标的平均数，

6?在问题一中即为│β-│和αmax-α分别组成的数组的平均值；各项指标的权重

6为：

Ki= 在问题一中，我们将 │β-2)│β-

（2）

max

?│和α6-α的权重分别记为K1和K2。

?│和α6max

-α的确定：

当权重可以确定后，此时我们要做的就是表示出│β-中我们采用直角坐标中向量的相关知识来表示│β-向量夹角表示β和α角，进而求得│β-

?│和α6max

max

-α，本题

?│和α6-α，即我们用两

?│和αmax-α。由于本题情境多样，各6情景内容不同，条件不同，公示表示不同，例如普通教室和阶梯教室第一排距离黑板距离不同，阶梯教室中1到5排和6到14排的高度不同，因此在接下来

6

的模型建立及求解过程中，我们将分为三个具体情境，分类讨论。分别是： 1) 普通教室1到8排 2) 阶梯教室1到5排 3) 阶梯教室6到14排

我们利用坐标系中两个向量的夹角来表示β和α角，在求解的过程中，我们发现了一些关键点以及关键点形成的关键向量，分别是： 关键点：

1)人眼所表示的质点N

2)与人眼在同一水平线且位于黑板上的的点M(在β的表示中出现) 3)与N点在同一竖直线的位于黑板下边缘的点P(在α的表示中出现) 4)与N在同一竖直线的位于黑板上边缘的点Q

在求解β的过程中会出现M,N,Q这三个关键点 在求解α的过程中会出现M,P,Q这三个关键点 N，M，P，Q四点相对位置如图2所示

图2 现在我们分别设出这四个点的坐标：

M:(Xm,Ym) N(Xn,Yn) P(Xp,Yp) Q(Xq,Yq) 各点的横纵坐标分别为：

N: Xn=D1+(n-1)d Yn=c （普通教室及阶梯教室1至5排） Xn=D2+(n-1)d Yn=c+(n-5)h3（阶梯教室6至14排）

M: Xm=0 Ym=c （普通教室及阶梯教室1至5排） Xm=0 Ym=c+(n-5)h3（阶梯教室6至14排） P: Xp=0 Yp=h1

Q: Xq=0 Yq=h1+h2 关键向量：

?????????? 向量NM 向量NP向量NQ

利用向量相关知识，我们可以用坐标表示出向量NM，向量NP和向量NQ：

??????????????NM:(Xm-Xn,Ym-Yn)

7

???NP:(Xp-Xn,Yp-Yn)

???NQ:(Xq-Xn,Yq-Yn)

代入具体字母得： ????1)NM: (-D1-(n-1)d ,0) （普通教室) （3）

????NM: (-D2-(n-1)d ,0) （阶梯教室1至5排） （4） ： (-D2-(n-1)d,0)（阶梯教室6至14排） （5）

????NM2)NP: (-D1-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h3) （普通教室） （6）

?????????NP: (-D2-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h3) （阶梯教室NP : (-D2-(n-1)d,h1-c-(n-5)h3)（阶梯教室

1至5排） （7）

6至14排） （8）

3)NQ: (-D1-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h3)（普通教室） （9）

?????????NQ: (-D2-(n-1)d ,h1+h2-c) （阶梯教室1至5排） （10） 6至14排） （11）

NQ: (-D2-(n-1)d,h1+h2-c-(n-5)h3)（阶梯教室

现在，我们可以将仰角β角用向量NM和向量NQ之间的夹角来表示，将视角α用向量NP和向量NQ之间的夹角来表示。由平面向量相关知识和两向量之间的夹角公式得：

???????NM?NQ???β=arccos (????)（12）

NM?NQ?????????????

??????NP?NQ??α=arccos (????) （13）

NP?NQ

本题中情境多样且数据繁多，因此在不同情境下，同一点，同一向量有不同的公式表示，因此我们将不同情况下向量的不同表示用表格列出来，以便清晰直观的理解题意，调用公式。如图3所示。

8

关键向量 不同情境 普通教室 阶梯教室1至5排 阶梯教室6至14排 ?????NM (-D1-(n-1)d ,0) (-D2-(n-1)d ,0) (-D2-(n-1)d ,h1+h2-c) (-D2-(n-1)d,0) (-D2-(n-1)d,h1-c-(n-5)h3) (-D2-(n-1)d,h1+h2-c-(n-5)h3) ????NP (-D1-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h3) ????NQ (-D1-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h3) (-D2-(n-1)d ,h1-c-(n-5)h3)

图3

已知参数：

黑板的宽度为L1 ，过道宽度为L2 ,每位同学所占位置宽度为L3，屏幕下边缘距地面高度为h1 ，屏幕高h2，普通教室第一排与屏幕的水平距离为D1，阶梯教室第一排与屏幕的水平距离为D2 ，每一排的距离为d，普通教室总共为学生平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。普通教室总共有8排，阶梯教室总共有14排且从第6排开始有阶梯，每节阶梯有一排座位且高度为h3。

决策变量：

???│β-│（即β与差值的绝对值）来表示β与 1) 仰角β最接近,我们用

666???的接近程度，│β-│越小，β与越接近，即β所决定的满意程度越高。666?因此为使β所决定的满意程度最高，我们要使│β-│最小。

6????????NP?NQ??????min│β-│ =│arccos() -│（14） 即

66NP?NQ

2) 视角α越大越好，即为使α所决定的满意程度最高，我们要让α最大化，

??????NP?NQ??即min αmax-α=αmax-arccos (????) （15）

NP?NQ

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约束条件为人眼所表示的质点可行域的范围(人眼所表示的位置在坐标系的位置限制),即

Xn=D1+(n-1)d,n=1,2,3,4,5,6,7,8 (普通教室) （16） Xn=D2+(n-1)d,n=1,2,3,4,5 (阶梯教室1到5排) （17）

Xn=D2+(n-1)d,n=6,7,8,9,10,11,12,13,14 (阶梯教室6到14排) （18）

因此我们最后建立的满意度函数为

? f(β,α)=K1│β-│ + K2 (αmax-α) （19）

6 上式是在考虑最适宜的β和最适宜的α不同位置取得时所建立的模型，易得，当最适宜的β和α在同一位置取得时，上述模型也同样适用。这样，我们

?就可以将两种情况统一起来。我们以│β-│ 和αmax-α为决策指标，显然，

6满意度函数的函数值越小，说明β和α与最佳角度越接近，即满意程度越高，因此我们只需要求出满意度函数在定义域范围内的最小值点，即可求得最佳位置。

5.1.3 问题一模型的求解

1)普通教室

将模型（3）（9）（12）（16）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排β角分别为

0.6107 0.5404 0.4834 0.4366 0.3976 0.3647 0.3367 0.3125 （20）

?│β-│ 将模型（14）（20）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排

6分别为

0.0871 0.0168 0.0402 0.0870 0.1260 0.1589 0.1869 0.2111 （21）

?│β-│组成的将模型（1）（21）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排6数组的标准差为 0.0976，平均值为0.1645，变异系数为0.6033 （22）

将模型（6）（9）（13）（15）（16）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排α角分别为

0.5774 0.5119 0.4585 0.4144 0.3776 0.3466 0.3200 0.2971

由此可见，普通教室中第一排的α角最大，αmax=0.5774 （23）

将模型（15）（23）输入MATLAB软件中，解得普通教室1到8排αmax-α分

10

别为

-0.0000 0.0655 0.1189 0.1630 0.1998 0.2308 0.2574 0.2803 （24）

将模型（1）（24）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排αmax-α组成的数组的标准差为0.0689，平均值为 0.1142，变异系数为 0.5931 （25）

将模型（2）（22）（25）输入MATLAB软件，解得普通教室β和α的权重K1和K2分别为

0.5043 ，0.4957 （26） 将模型（19）（21）（24）（26）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排满意度函数值f(β,α)分别为

0.0439 0.0410 0.0792 0.1247 0.1626 0.1945 0.2219 0.2454

很明显，当n=2时满意度函数值最小，即满意程度最高，因此，我们可以认为问题一中普通教室第二排为最佳位置。

阶梯教室：

将模型（4）（5）（10）（11）（12）（17）（18）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排β角分别为

0.6107 0.5404 0.4834 0.4366 0.3976 0.2985

0.2650 0.2355 0.2094 0.1861 0.1651 0.1463 0.1293 0.1138 （27）

?│β-│将模型（11）（27）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排

6分别为

0.0871 0.0168 0.0402 0.0870 0.1260 0.2251

0.2586 0.2881 0.3142 0.3375 0.3585 0.3773 0.3943 0.4098 （28） 将模型（1）（2）（28）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排│β?-│组成的数组的标准差为 0.1395，平均值为 0.2372，变异系数为 0.5880 6（29）

将模型（4）（5）（7）（10）（11）（13）（17）（18）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排α角分别为：

0.5774 0.5119 0.4585 0.4144 0.3776 0.2985

0.2793 0.2622 0.2469 0.2331 0.2206 0.2094 0.1992 0.1898

由此可见，阶梯教室中第一排的α角最大，αmax=0.5774 （30）

将模型（15）（30）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排αmax-α分

11

别为

-0.0000 0.0655 0.1189 0.1630 0.1998 0.2789

0.2981 0.3152 0.3305 0.3443 0.3568 0.3680 0.3782 0.3876 （31）

将模型（1）（31）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排αmax-α组成的数组的标准差为0.1260，平均值为0.2575 ，变异系数为 0.4895 （32）

将模型（2）（29）（30）输入MATLAB软件，解得阶梯教室的β和α的权重K1和K2分别为：

0.5457 0.4543 （33）

将模型（19）（28）（31）（33）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排满意度函数值分别为

0.0475 0.0390 0.0759 0.1215 0.1595 0.2495

0.2765 0.3004 0.3216 0.3406 0.3577 0.3731 0.3870 0.3997

很明显，当n=2时满意度函数值最小，即满意程度最高，因此，我们可以认为问题一中阶梯教室第二排为最佳位置。

5.1.4 问题一结果的分析及验证

我们绘制出了满意度函数g(β,α,L)随座位排数n变化的图像，问题一中普通教室满意度函数如图4所示，问题一中阶梯教室满意度函数如图5所示。

图4

12

图5

由图4可以清晰直观地看到，当横坐标值为2时，满意度函数值最小，即满意程度最高，因为n只能取整数，n=2是函数在定义域的最小值点。因此，问题一中权衡β和α角，普通教室最佳位置是第二排。

由图5可以清晰直观地看到，同样，是当横坐标值为2时，满意度函数值最小，即满意程度最高，因为n只能取整数，n=2是函数在定义域的最小值点。因此，问题一中权衡β和α角，阶梯教室最佳位置也是第二排。 5.2 问题二模型建立与求解 5.2.1 问题二的分析

问题二在问题一的基础上增加了一项新的考虑因素：座位与距离老师远近产生的影响，问题二仍是要求我们得出普通教室和阶梯教室的最佳位置。在问题一所考虑的β和α基础上增加了新的决策变量：学生距离黑板的距离L。我们将按照与问题一一样的方法建立模型，进行求解。 5.2.2 问题二模型的建立

同问题一求解思路一致，我们在问题二中也将建立满意度函数g(β,α,L),仍然以座位排数n自变量，与问题一一样，我们需要客观考虑β，α和距离L三者对于满意度的“重要性”，即各个决策指标对于满意度的影响程度，即如何分配各个变量的权重。本问题中，我们仍然采用变异系数法来确定β，α和L的权重。对于β，α的平均值，标准差以及变异系数与问题一一致，我们将L所组成的数组的权重记为K3。β，α的权重仍记为K1和K2。而L所组成的数组

的平均值，标准差，变异系数的方法与β，α一致。下面我们来确定L以及

?│β-│和αmax-α，以来建立模型。

6

1)L的确定：

距离L我们可以用人眼所表示的质点所在位置的横坐标的数值来表示，即

13

L=D1+(n-1)d (普通教室) （34） L=D2+(n-1)d (阶梯教室) （35）

?2)│β-│和αmax-α的确定：

6? 问题二中│β-│和αmax-α的确定与问题一一致，在此不再赘述。

6

决策变量：

????│β-│（即β与差值的绝对值）来表示β与 1)仰角β最接近,我们用

6666??的接近程度，│β-│越小，β与越接近，即β所决定的满意程度越高。因

66?此为使β所决定的满意程度最高，我们要使│β-│最小。

6???????NP?NQ??????) min│β-│ =arccos(（36） 即

6NP?NQ

2)视角α越大越好，即为使α所决定的满意程度最高，我们要让α最大化，

??????NP?NQ?? 即min αmax-α=arccos (????) （37）

NP?NQ

3)所占座位越靠前排越容易集中精神，也越好。即人与黑板的距离L越小越

好，我们用直接用决策变量L来表示，为了使L所决定的满意程度最高，我们需要使L最小，即

min L=Xn=D1+(n-1)d (普通教室) （38）

min L=Xn=D2+(n-1)d (阶梯教室) （39）

约束条件：人眼所表示的质点可行域的范围(人眼所表示的位置在坐标系的位置限制),即

Xn=D1+(n-1)d,n=1,2,3,4,5,6,7,8 (普通教室) （40） Xn=D2+(n-1)d,n=1,2,3,4,5 (阶梯教室1到5排) （41） Xn=D2+(n-1)d,n=6,7,8,9,10,11,12,13,14 (阶梯教室6到14排)（42）

L=Xn=D1+(n-1)d,n=1,2,3,4,5,6,7,8 (普通教室) （43） L=Xn=D2+(n-1)d,n=1,2,3,4,5 (阶梯教室1到5排) （44）

L=Xn=D2+(n-1)d,n=6,7,8,9,10,11,12,13,14(阶梯教室6到14排）（45）

我们最后建立的满意度函数为：

14

g(β,α,L)=K1│β- 我们以│β-

?│ + K2 (α6max

-α)+K3 L （46）

?│ ，αmax-α和L为决策指标，显然，满意度函数的函数值6越小，说明β和α与最佳角度越接近且座位越靠前，即满意程度越高，因此我们只需要求出满意度函数在定义域范围内的最小值点，即可求问题二中的最佳位置。

5.2.3 问题二模型的求解

?│ ，αmax-α组成数组的平均值，标6准差，变异系数与问题一一致，在此不再赘述。

普通教室：

将模型（34）（40）（43）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排L分别为：

3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 （47）6.0000 6.5000

将模型（1）（47）输入MATLAB软件，解得普通教室L组成的数组的标准差为1.2247，平均值为4.7500，变异系数为0.2578 （48）

将模型（2）（22）（25）（48）输入MATLAB软件，解得普通教室β，α，L的权重K1,K2,K3分别为：

0.4078 0.4149 0.1773 （49）

将模型（21）（23）（46）（49）输入MATLAB软件，解得普通教室1到8排满意度函数值g(β,α,L)分别为：

0.5680 0.6543 0.7744 0.9004 1.0202 1.1352 1.2463 1.3543

很明显，当n=2时满意度函数值最小，即满意程度最高，因此，我们可以认为问题二中普通教室第一排为最佳位置。

阶梯教室：

将模型（35）（39）（41）（42）（44）（45）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排L分别为：

4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.0000 6.5000 7.0000 7.5000 8.0000 8.5000 9.0000 9.5000 10.0000 10.5000 （50） 将模型（1）（50）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排L组成的数组的标准差为 2.0917，平均值为7.2500，变异系数为0.2885 （51） 将模型（2）（29）（32）（51）输入MATLAB软件，解得阶梯教室β，α， 问题二中，普通教室和阶梯教室│β-

15

L的权重K1,K2,K3分别为：

0.3583 0.4305 0.2112 （52）

将模型（29）（31）（46）（52）输入MATLAB软件，解得阶梯教室1到14排满意度函数值g(β,α,L)分别为：

0.8823 0.9811 1.1159 1.2575 1.3930 1.5697 1.6965 1.8210 1.9433 2.0639 2.1830 2.3007 2.4173 2.5329

很明显，当n=1时满意度函数值最小，即满意程度最高，因此，我们可以认为问题二中阶梯教室第一排为最佳位置。 5.2.4 问题二结果的分析及验证

问题二中 我们绘制出了满意度函数g(β,α,L)随座位排数n变化的图像，普通教室满意度函数如图6所示，问题二中阶梯教室满意度函数如图7所示。

图6

图7

16

由图6可以清晰直观地看到，当横坐标值为1时，满意度函数值最小，即满意程度最高，因为n只能取整数，n=1是函数在定义域的最小值点。因此，问题二中权衡β，α角和L后，得到普通教室最佳位置是第一排。

同样，由图7可以清晰直观地看到，当横坐标值为1时，满意度函数值最小，即满意程度最高，因为n只能取整数，n=1是函数在定义域的最小值点。因此，问题二中权衡β和α角和L后，得到阶梯教室最佳位置也是第一排。

六、模型的评价与推广

6.1 模型的评价

优点：（1）本论文准确地抓住了题中所给条件的关键，通过数学建模将现实生活中的问题转化为了数学模型，更加直观，清晰。

（2）在模型建立中我们采用了各种软件（如MATLAB,AUTOCAD,WPS，MATHTYPE等)进行求解制图，计算结果较为精确。本论文还使用了变异系数法，计算多种决策因素的权重，增加了论文的可信度。

缺点：（1）只考虑了学生座位的排数对听课效率的影响，还未讨论所坐的列数对结果的影响。 （2）任何模型、系统都受到实际生活中的各种限制，本模型也不例外，为了简化模型，基本假设很多都是理想状态。例如我们无法得知教室内学生听课时的双眼所在位置在怎样改变。 6.2 模型的推广

本模型能够运用于其他座位选择问题，例如在电影院选座时，我们可以运用此模型来选择最佳的座位。因为电影院的座位的地板线呈一定角度γ，所以，在建立直角坐标系求解座位的坐标时，需要将γ引入，即人的双眼高h=（n-1)dtanγ=yr，其中n为座位的排数，d为每排座位的间隔。再运用本论文的模型，通过满意度函数求解出最佳座位。

七、参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2011年1月

[2]（美）Mark M.Meerschaert著.刘来福，黄海洋，杨淳译.数学建模方法与分析（原书第4版），机械工业出版社，2016年10月

[3]张志勇，杨祖樱等.MATLAB教程,北京航空航天大学出版社，2015年1月

17

[4]卓金武等.MATLAB在数学建模中的应用（第二版），北京航空航天大学出版社，2014年9月

八、附录

8.1 附录清单

附录1：求解问题一的MATLAB程序 附录2：求解问题二的MATLAB程序 附录3：问题一的完整数据 附录4：问题二的完整数据

8.2 附录正文

附录1：求解问题一的MATLAB程序

n =

1 2 3 4 5 6 7 8 n1 =

6 7 8 9 10 11 12 13 14 n2 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14

x1 = [(0.5*n + 2.5).^2 + 0.21]

y1 = [((0.5*n + 2.5).^2 + 0.01).^0.5.*((0.5*n + 2.5).^2 + 4.41).^0.5] a=acos(x1./y1) x2=[(0.5*n+2.5)]

y2=[((0.5*n+2.5).^2+4.41).^0.5] b=acos(x2./y2) bb=abs(b-pi/6)

x3=[(0.5*n1+3.5).^2+(0.6-0.1*n1).*(2.6-0.1*n1)]

y3=[((0.5*n1+3.5).^2+(0.6-0.1*n1).^2).^0.5.*((0.5*n1+3.5).^2+(2.6-0.1*n1).^2).^0.5]

18

13 a1=acos(x3./y3) x4=[0.5*n1+3.5]

y4=[((0.5*n1+3.5).^2+(2.6-0.1*n1).^2).^0.5] b1=acos(x4./y4) ca=[a([1,2,3,4,5]),a1] cb=[b([1,2,3,4,5]),b1] bb1=abs(cb-pi/6) aa=[0.5774-a] aa1=[0.5774-ca] bzca1=std(aa1) bzca=std(aa) bzcb=std(bb) bzcb1=std(bb1) pjza=mean(aa) pjza1=mean(aa1) pjzb=mean(bb) pjzb1=mean(bb1) w1=bzca/pjza w2=bzcb/pjzb w3=bzca1/pjza1 w4=bzcb1/pjzb1 k1=w1/(w1+w2) k2=w2/(w1+w2) k3=w3/(w3+w4) k4=w4/(w3+w4) f1=k1*aa+k2*bb f2=k3*aa1+k4*bb1

附录2：求解问题二的MATLAB程序

x1 = [(0.5*n + 2.5).^2 + 0.21]

y1 = [((0.5*n + 2.5).^2 + 0.01).^0.5.*((0.5*n + 2.5).^2 + 4.41).^0.5] a=acos(x1./y1) x2=[(0.5*n+2.5)]

y2=[((0.5*n+2.5).^2+4.41).^0.5] b=acos(x2./y2) bb=abs(b-pi/6)

x3=[(0.5*n1+3.5).^2+(0.6-0.1*n1).*(2.6-0.1*n1)]

y3=[((0.5*n1+3.5).^2+(0.6-0.1*n1).^2).^0.5.*((0.5*n1+3.5).^2+(2.6-0.1*n1).^2).^0.5] a1=acos(x3./y3) x4=[0.5*n1+3.5]

y4=[((0.5*n1+3.5).^2+(2.6-0.1*n1).^2).^0.5] b1=acos(x4./y4) ca=[a([1,2,3,4,5]),a1] cb=[b([1,2,3,4,5]),b1] bb1=abs(cb-pi/6)

19

0.2985 0.2793 0.2622 0.2469 0.2331 0.2206 0.2094 0.1992 0.1898 x4 =

6.5000 7.0000 7.5000 8.0000 8.5000 9.0000 9.5000 10.0000 10.5000 y4 =

6.8007 7.2533 7.7130 8.1786 8.6493 9.1241 9.6026 10.0841 10.5683 b1 =

0.2985 0.2650 0.2355 0.1138 ca =

1 至 11 列

0.5774 0.5119 0.4585 0.2469 0.2331 0.2206

12 至 14 列

0.2094 0.1992 0.1898 cb =

1 至 11 列

0.6107 0.5404 0.4834 0.2094 0.1861 0.1651

12 至 14 列

0.1463 0.1293 0.1138 bb1 =

1 至 11 列

0.0871 0.0168 0.0402 0.3142 0.3375 0.3585

12 至 14 列

0.3773 0.3943 0.4098

0.2094 0.4144 0.4366 0.0870 25

0.1861 0.1651 0.3776 0.2985 0.3976 0.2985 0.1260 0.2251 0.1463 0.1293 0.2793 0.2622 0.2650 0.2355 0.2586 0.2881 aa =

-0.0000 0.0655 0.1189 0.1630 0.1998 0.2308 0.2574 0.2803 aa1 =

1 至 11 列

-0.0000 0.0655 0.1189 0.1630 0.1998 0.2789 0.2981 0.3152 0.3305 0.3443 0.3568

12 至 14 列

0.3680 0.3782 bzca =

0.0976 bzca1 =

0.1260 bzcb =

0.0689 bzcb1 =

0.1395 pjza =

0.1645 pjza1 =

0.2575 pjzb =

0.1142 pjzb1 =

0.2372 w1 =

0.5931 w2 =

0.6033 w3 =

0.3876 26

0.4895 w4 =

0.5880 k1 =

0.4957 k2 =

0.5043 k3 =

0.4543 k4 =

0.5457 f1 =

0.0439 0.0410 0.0792 f2 =

1 至 11 列

0.0475 0.0390 0.0759 0.3216 0.3406 0.3577

12 至 14 列

0.3731 0.3870 0.3997 L1 =

3.0000 3.5000 4.0000 L2 =

1 至 11 列

4.0000 4.5000 5.0000 8.0000 8.5000 9.0000

12 至 14 列

9.5000 10.0000 10.5000 bzcL1 =

0.1247 0.1215 4.5000 5.5000 27

0.1626 0.1595 5.0000 6.0000 0.1945 0.2495 5.5000 6.5000 0.2219 0.2765 6.0000 7.0000 0.2454 0.3004 6.5000 7.5000

1.2247 bzcL2 =

2.0917 pjzL1 =

4.7500 pjzL2 =

7.2500 w5 =

0.2578 w6 =

0.2885 k5 =

0.4078 k6 =

0.4149 k7 =

0.1773 k8 =

0.3583 k9 =

0.4305 k10 =

0.2112 f3 =

0.5680 f4 =

1 至 8 列

0.8823

0.6543 0.7744 0.9811 1.1159 0.9004 1.2575 28

1.0202 1.1352 1.3930 1.5697 1.2463 1.3543 1.6965 1.8210 9 至 14 列

1.9433 2.0639 2.1830 2.3007 2.4173 2.5329

29

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