2012届全国各省市高三数学上学期联考试题 重组专题题型一 三角函

2012届全国各省市高三上学期数学联考试题重组专题

题型一三角函数（教师版）

【备考要点】

三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。一般设计一道或两道客观题,一道解答题,约占总分的13%,即20分左右.多数是中、低档题.

近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.

【2011 高考题型】

1、三角函数的概念及同角关系式

此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.

2、三角函数的化简求值

这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.

5、三角应用题

此类题主要考查三角函数实际应用. 解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解

题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等。

6、三角函数的最值及综合应用。

此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合。多为解答题。而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点。

三角函数的命题趋于稳定,2012年高考可能依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.

由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：

(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，

1

概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．

(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题．

(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用

【2012 命题方向】

【原题】 (本小题满分l2分) 已知函数

2 (

)cos()cos(R)

3

f x x x x

π

=--∈．（1）求函数()

f x的最小正周期及单调递增区间；（2）?ABC内角A B C

、、的对边长分别为a b c

、、，若

3

(),1,3,

f B b c

=-==求a的值．

【试题出处】山东省烟台市2012届高三第一学期期末考试数学试题

【原题】（本小题满分13分）已知函数2

()3sin cos

f x x x x

=+，

π

[,π]

2

x∈.（Ⅰ）求()

f x的零点；（Ⅱ）求()

f x的最大值和最小值.

【解析】法一：（Ⅰ）：令()0

f x=，得sin3cos)0

x x x

?+=，……1分

2

3 得 π3sin(2)3x -=……4分因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,.…………5分 所以，当π4π233x -=，或π5π233

x -=时，()0f x =.……7分 即 5π6x =或πx =时，()0f x =.综上，函数)(x f 的零点为5π6

或π.………9分 （Ⅱ）：由（Ⅰ）可知，当π2π233

x -=，即π2x =时，)(x f 3；………11分 当π3π232

x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为312-+. ………………13分 【试题出处】北京市西城区2011— 2012学年度第一学期期末试卷

【原题】（本小题满分12分） 已知函数2()23sin cos 2cos 2.f x x x x =-+ （ I ）求()f x 的单调递增区问；（Ⅱ）若()2f x m -<对一切x ∈[0，

2π]均成立，求实数m 的取值范围． 【解析】1)62sin(212cos 2sin 3)(+-=+-=

πx x x x f ． （Ⅰ）由ππ

π

ππ

k x k 226222+≤-≤+-，解得Z k k x k ∈+≤≤+-,36ππ

ππ

．

所以，)(x f 的递增区间为]3,6[ππππk k ++-

Z ∈k ,． ………………………（5

分） （Ⅱ）由()2f x m -<，得()x f m >+2对一切]2,0[π

∈x 均成立．

4 所以方程0)(=x f 的解集为????

??

∈-=+=Z k k x k x x ,3222ππππ或．……（1分） 解法二：233sin )1(cos 23sin 21)(+??? ?

?+=++=πx x x x f ，……（2分） 由0)(=x f ，得2

33sin -=??? ?

?+πx ，…………（1分） 3

)1(3πππk k x --=+，Z k ∈，…………（2分） 所以方程0)(=x f 的解集为??????∈---=Z k k x x k ,33)1(πππ．…………（1分） （2）由余弦定理，B ac c a b cos 2222-+=，

ac ac c a ac b c a B 22cos 22222-+=-+=2

1≥，……（2分） 所以3

0π≤

??∈3,0πx ．……（1分） 233sin )1(cos 23sin 21)(+??

? ??+=++=πx x x x f ，??? ??∈+32,33πππx ，……（2分） 所以此时函数)(x f 的值域为??

????+123,3．…………（2分） 【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷 【原题】（本小题满分12分）设2(3,sin ),(1,cos )a x x b x ωωω==r r （其中0ω>），

已知()f x a b =?r r

5 3.2-且()

f x 最小正周期为2.π（1）求ω的值及()y f x =的表达式；（2）设2(,),63ππα∈ 5(,),63ππβ∈--34(),().cos()55

f f αβαβ==--求的值 【试题出处】湖北省八校2012届高三第一次联考数学试题（文）

【原题】（本小题满分14分）已知向量()()2sin ,cos m x x π=--u r ，

3,2sin()2n x x π?=-??

r ，函数()1f x m n =-?u r r ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；

（3）说明()f x 的图象可以由()sin g x x =的图象经过怎样的变换而得到．

【解析】（1）∵m n ?u r r (2sin 32cos sin 2x x x x ππ??=--+- ???

223cos 2cos 32cos 21x x x x x =-+=++……2分

∴()f x =1-m n ?u r r 32cos 2x x =-，………3分∴

()f x =2sin 26x π??- ??

?。……………4分 （2）由222()262k x k k Z π

π

π

ππ-+≤-≤+∈，解得

()63k x k k Z π

π

ππ-+≤≤+∈，…6分

6 ()sin g x x =的图象向右平移6

π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到

()f x 2sin 26x π??=- ??

?的图象.14分（每一步变换2分） 【试题出处】广东省汕头市2012届高三上学期教学质量测评卷数学

【原题】（本小题满分12分）在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A,B,C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C ++=.（Ⅰ）求角B 的值（Ⅱ）已知函数()2cos(2)f x x B =-，将()f x 的图像向左平移12

π个单位长度后得到函数()g x 的图像，求()g x 的单调增区间. 【解析】（1）由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0， 2分

即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0， 得 2sinAcosB+sin(B+C)=0， 3分 因为 A+B+C=π，所以 sin(B+C)=sinA ，得 2sinAcosB+sinA=0，

因为 sinA ≠0，所以 cosB=12-

， 5分 又B 为三角形的内角，所以B=23

π. 6分 （2）∵ B=23π, ∴ f(x)=2cos(2x-23π), 7分∴ g(x)=2cos ［2(x+12π)-23

π］=2cos(2x-2

π)=2sin2x, 9分 由2k π-2π≤2x ≤2k π+2π (k ∈Z),得k π-4π≤x ≤k π+4

π (k ∈Z), 故f(x)的单调增区间为［k π-4π，k π+4π］(k ∈Z). 12分 【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题

【原题】（本题满分12分）已知函数)2,0,0)(sin()(π

?ω?ω<>>+=A x A x f 的图像与

7 y 轴的交点为)1,0(他在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最

低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx 。(Ⅰ)求)(x f 的

解析式及0x 值；(Ⅱ)若锐角θ满足3

1cos =

θ求)4(θf 的值 【解析】（Ⅰ）由题意可得：2142,22,

2=∴===ωπωππ即T A )2

1sin(2)(?+=x x f ， 2,1sin 2)0(π??<==由f 得6π?=，所以)6

21sin(2)(π+=x x f ，2)621sin(2)(00=+=πx x f 所以226210πππ+=+k x ，)(3

240Z k k x ∈+=ππ又0x Θ是最小的正数，320π=∴x ； （Ⅱ）

θθπθθ2cos 2sin 3)62sin(2)4(+=+=f 3

1)cos(),2,0(=∈θπθΘ322sin =∴θ， 9

24cos sin 22sin ,971cos 22cos 2==-=-=θθθθθ427467(4)39f θ-∴==【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题

【原题】（本小题共13分）已知函数2

()2cos 32

x f x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值． 【解析】（Ⅰ）因为()1cos 3f x x x =+-……1分 12cos()3x π=++

，………2分 所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-．……4分

（Ⅱ）因为 1()33f πα-=，所以 112cos =3α+，即1cos 3

α=-……5分 因为 222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα

-=+-- ……8分 (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα

+=，………10分 又因为α为第二象限角， 所以 22sin α=．…11分

8 解得：32b , 3==c ……11分2

332333221sin 21=???==A bc S . ……13分

【试题出处】昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测

【原题】（本小题满分12分） 已知函数R x x x x x f ∈--=,2

1cos cos sin 3)(2 （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）已知ABC ?内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且c=3,0)(=C f ，若向量)sin ,1(A m =ρ

与)sin ,2(B n =ρ共线，求实数a 、b 的值。

【解析】（1） 2131()3cos cos 2cos 2122f x x x x x x =--=--sin(2)16

x π=-- ∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π.…………5分

（2）∵ ()sin(2)106

f C C π=-

-=， 即sin(2)16C π

-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<，∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． ……7分 ∵ m u r 与n r 共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 sin sin a b A B =， 得2,b a = ①…9分

9 由正弦定理得B sin 334b =，C sin 33

4c =， )6

sin(4)32sin(334sin 334sin 334sin 334ππ+=-+=+=+B B B C B c b )32,0(π∈B Θ，]1,2

1()6sin(∈+∴πB ，]4,2(∈+∴c b ，所以b c +的取值范围为(2,4] ………14分

【试题出处】浙江省宁波市2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷

【原题】（本题满分12分）在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2（Ⅰ）若cos B ＝－

36，求sin C 的值；（Ⅱ）求角C 的取值范围．

【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理知， AC 2＝AB 2＋BC 2－2 AB ?BC ?cos B ＝4＋3＋2×23×（－36）＝9．所以AC ＝3．（3分） 又因为sin B ＝1－cos 2B ＝1－(－36)2＝336

，…………（4分） 由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ． 所以sin C ＝AB AC sin B ＝116

…（6分） （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2 AC ?BC cos C ，所以，3＝AC 2

＋4－4AC ?cos C ，

10 即 AC 2－4cos C ?AC ＋1＝0…（8分）由题，关于AC 的一元二次方程应该有解令△＝（4cos C ）2－4≥0, 得cos C ≥12，或

cos C ≤－12（舍去，因为AB ＜AC ）,所以，0＜C ≤π3，即角C 的取

值范围是（0，π

3）…12分）

【试题出处】鄂州市2011—2012学年度上学期期末考试

【原题】（本题满分13分）在锐角ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足32sin 0a b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，7b =，求AB AC u u u r u u u r g 的值．

【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试

【原题】（本小题满分12分）已知函数2231()sin 2(cos sin )122f x x x x =

---，R x ∈,将函数()f x 向左平移6

π个单位后得函数()g x ，设三角形ABC ?三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .（Ⅰ）若7c =

()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若0)(=B g 且(cos ,cos )m A B =u r ，(1,sin cos tan )n A A B =-r ，求m n ?u r r 的取值范围.

【解析】（Ⅰ）

2231()2(cos sin )122f x x x x =---31sin 2cos 21sin(2)1226

x x x π=--=--1分 ()sin(2)106f C C π=--=,所以sin(2)16C π-=因为112(,)666

C πππ-∈-,所以

11 【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学

【原题】（15分）已知向量)1,sin (x m =，)2

1,cos 3(x =，函数m n m x f ?+=)()(． （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若a ，b ，c 是ABC ?的内角A ，B ，C 的对边，32=a ，22=c ，且)(A f 是函数)(x f 在]2,

0(π上的最大值，求：角A ，角C 及b

边的大小．

【解析】（1）23cos sin 3sin )1,sin ()23,cos 3sin ()(2+?+=?+=x x x x x x x f 2)62sin(+-=πx ， π=T …………5分

（2）Θ20π

≤

5626ππ

π

≤-<-x ，∴)(x f 的最大值为3． ∴32)62sin()(=+-

=πA A f ，ΘA 为三角形内角，∴3π=A …………9分 又C

sin 223sin 3

2=π，得22sin =C ，Θπ<+C A ，∴4π=C ………………12分 由2

12228122??-+=b b ，得04222=--b b ，∴62+=b ………15分 【试题出处】上海市虹口区2012届高三上学期期终教学质量监控测试数学试卷

【原题】（本小题满分13分） 设函数n m x f ?=)(，其中向量

12 （Ⅱ）由f (A ) = 2，得2

1)62sin(,21)62sin(2=+=++π

π

A A ， 在△ABC 中，π<

ππ

π

π

26626+<+<∴A 6

562ππ

=+∴A ，解得.3π=A ……8分 又2

323121sin 21=???==?c A bc S ABC Θ，解得c = 2.△ABC 中，由余弦定理得： 32121241cos 2222=?

??-+=-+=A bc c b a ， ∴a = 3.…10分 由23

3sin sin sin ===A a C c B b ，得2sin sin ,sin 2,sin 2=++∴

==C B c b C c B b …13分 【试题出处】2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题

【原题】（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．⑴如果A 、B 两点的纵坐标分别为

45、1213，求c o s α和sin β； ⑵在⑴的条件下，求c o s ()βα-的值； ⑶已知点C (13-，，求函数()f O A O C

α=?u u u r u u u r 的值域． 【解析】（1）根据三角函数的定义，得4sin 5α=，12sin 13

β=． 又α是锐角，所以3cos 5

α= ( 4分) （2）由（1）知12sin 13β=．因为β是钝角，所以5cos 13

β=-． 所以5312433c o s ()c o s c o ss i n s i n ()13513565βαβαβα

-=+=-?+?=． ( 8分)

13 （3）由题意可知，(c o s s i n)O A αα=u u u r ，，(13)O C =-u u u r ，． 所以()3s i nc o s 2s i n ()6

f O A O C παααα

=?=-=-u u u r u u u r ， 因为02πα<<，所以663πππα-<-<，13s i n ()26a π-<-< 从而1()3f α-<<，因此函数()f O A O C α=?u u u r u u u r 的值域为(1,3)-． ( 12分) 【试题出处】2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷

【原题】（本小题满分12分）在某海岸A 处，发现北偏东ο30方向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有一艘走私船在A 处北偏西ο15的方向，距离A 处6n

mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截走私船. 此时，走私船正

以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东ο30方向逃窜，问缉私船至少经过多长

时间可以追上走私船，并指出缉私船航行方向. 【解析】设缉私船至少经过t h 可以在D 点追上走私船，则t CD 35=，t BD 5= （1分） 在△ABC 中，由余弦定理得，4)3015cos(2222=+?-+=οοAC AB AC AB BC ,∴2=BC （3分）由正弦定理得，ABC

AC BC sin 45sin =ο，∴23sin =ABC ，ο60=∠ABC （5分）∴点B 在C 的正东方向上， ο120=∠DBC （7

分）

又在△DBC 中，由正弦定理得BCD

BD CD sin 120sin =ο, ∴21sin =BCD ，∴ο30=∠BCD （9分）

∴ο30=∠BDC ，∴BC BD =，即25=t ，∴52=

t ， （11分） 又ο30=∠BCD 故缉私船至少经过5

2h 可以追上走私船，缉私船的航行方向为北偏东ο60.（12分） 【试题出处】吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学(理科)

【方 法 总 结】

三角函数的命题趋于稳定,但近年考查得似乎有些简单，因此2012年高考可能会保持原有的考试风格，但三角函数解答题在复习时应着重备考向量与三角的整合以及解三角形与三角公式整合的题型。尽管命题的背景有变化，但总的来说仍属基础题、中档题和常规题. A

C B ο30 ο15

· ·

1.三角函数的图象和性质是考查的重点也是难点.因为三角函数的图象和性质是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决实际生产问题的工具，而且近年来高考降低了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题型，具有一定的灵活性和综合性.周期及对称问题以及三角函数单调性仍是高考的重点.

2.三角函数的化简和求值是常考题型.它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的一小问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质.着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.

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