七年级数学思维探究(25)多边形的边与角（有答案）

泰勒斯（公元前624?前547），古希腊学者，西方理性数学的倡导者，素有“科学之父”的美称．他不满足于直观的感性的特殊认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了许多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有不同凡响的工作，相传他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地，万古流芳．” 25．多边形的边与角 解读课标

大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面．

一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n边形，又称多边形． 边、角、对角线是多边形中最基本的概念．

多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略．

多边形的内角和性质反映出一定的规律性：?n?2??180?随n的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360?的一个常数．把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧． 问题解决

例1 如图，?A??B??C??D??E??F?__________．

EFDGHA

CB试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中． 例2凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（）． A．4 B．5 C．6 D．7

试一试把凸多边形内角问题转化为外角问题．

例3凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570?，求n的值．

试一试设除去的角为x?，可建立关于x，n的不定方程；又0??x?180?，又可得到关于n的不等式，故有两种解题途径，注意n为自然数的隐含条件．

例4如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．证明：?BAD??EAF?180?．

ADFBEC

试一试从四边形AECF内角和入手． n角星

例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求?A??B??C??D??E??F度数．

（2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求?A??B??C??D??E??F??G度数． （3）如图③，用“一笔画”方法画成的2n?1角形?n≥2?，且B1B2?B2nB2n?1是凸2n?1边形，求?A1??A2??A3????A2n??A2n?1度数．

A2A1B1B2n+1B2nB9A2n+1A2nA9AEJKBLAIDHMNC图②GA3A4A5B3B4B2BE

B5A6B8B6A7图③B7A8C图①DF分析从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示． 解（1）180? （2）540?

?A1??A2????A2n??A2n?1?（3）（2n?1个三角形A1B1B2n?1，A2B2B1，A3B3B2，?，A2nB2nB2n?1，A2n?1B2n?1B2n的内角总和减去多边形B1B2?B2nB2n?1外角和的2倍）??2n?1??180??360??2??2n?3??180?． 完全多边形

把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图．如图，这样的图有6个点，每两点之

n?n?1?间都有一条线，称为完全六边形．一个完全n边形共有条连线．

2

例6证明：任何6个人中，必有3个人互相认识，或者有3个人互相不认识． 分析与解借助图表示这一抽象的思想．

用点A1，A2，?，A6代表6个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转化为图中必有三边同色的三角形．

考虑A1与5条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有3条同色，不妨设A1A2，A1A3，A1A4同为红

A3A4，A4A2中有红边，A3A4，A4A2无红边，色；若A2A3，则有红色△A1AiAj?2≤i,j≤4?；若A2A3，则△A2A3A4为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形．

A1

A2A3A4数学冲浪

知识技能广场

????3?41．如图，?1、?2、?3、?4是五边形ABCDE的4个外角，若?A?120?，则?1??2_______．

3E4D2C

1AB2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形AGA'H，那么?GA'H的度数为_______．

HAGA'

图②图①3．如图，?1??2??3??4??5??6??7的度数为_____________．

2351

7464．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为___________．

图①图②5．将五边形纸片ABCDE按如图所示的方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E'、D''上，已知?AFC?76?，则?CFD'等于（）．

A．31? B．28? C．24? D．22?

ABE'CD'FDE

6．如图，已知正五边形ABCDE中，?． 1??2，?3??4，则x?（）A．30? B．45? C．40? D．36?

A1x3BE

2C4D7．一个凸多边形的每一内角都等于140?，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）． A．9条 B．8条 C．7条 D．6条

8．一个凸n边形，除一个内角外，其余n?1个内角的和是2400?，则n的值是（）． A．15 B．16 C．17 D．不能确定

9．如图，已知DC∥AB，?BAE??BCD，AE⊥DE，?D?130?，求?B的度数．

DEABC

10．如图，在四边形ABCD中，?B??D?90?，AE、CF分别平分?BAD和?BCD．求证：AE∥CF．

DEC

AFB思维方法天地

11．从凸n边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形

4对角线条数的，那么此n边形的内角和为________．

912．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是3060?，则原多边形是_________边形．

13．如图，设?CGE?120?，则?A??B??C??D??E??F?__________．

AECαGBDF

14．如图，?A??B??C??D??E??F??G??H??I??K的度数为_________．

BAGKCHIDEF

15．如图，?A??B??C??D??E??F??G的度数等于（）． A．360? B．450?C．540?D．720?

AGBFCMNDE

16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002?，则这个多边形的边数为（）． A．12 B．12或13 C．14 D．14或15

17．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）． A．216块 B．288块 C．384块 D．512块

18．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转???0?????180??，被称为一次操作，若5次操作后发现赛车回到出发点，则??角为（）． A．720? B．108?或144? C．144?D．720?或144?

19．如图，在凸六边形ABCDEF中，已知?A??B??C??D??E??F成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的．

CBD

AFE20．已知凸四边形ABCD中，?A??C?90?．

（1）如图①，若DE平分?ADC，BF平分?ABC的邻补角，判断DE与BF的位置关系并证明； （2）如图②，若BF、DE分别平分?ABC、?ADC的邻补角，判断DE与BF的位置关系并证明．

ADACBEF图①BF图②DEC

应用探究乐园 21．（1）如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_________；

图①图②图③（2）如图②，在5?5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数；

（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？

22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

ACP图①OBDC图②APBBPCDQA图③DABFCD图④E

（1）如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有?B??BOD，又因为?BOD是△POD的外角，故?BOD??BPD??D，得?BPD??B??D．将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则?BPD，?B，?D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）如图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则?BPD，?B，?D，?BQD之间有何数量关系？（不需证明）

（3）根据（2）的结论，求图④中?A??B??C??D??E??F的度数． 微探究 平面镶嵌

平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面．

我们研究的镶嵌是：镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形的公共点．

镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为360?，镶嵌图案有下列多种方式： 1．任意三角形和任意四边形都能镶嵌； 2．用同一种正多边形进行镶嵌； 3．用几种正多边形组合镶嵌． 对于（2）、（3），可以证明：能镶嵌整个平面的只有11种．如图：

例1 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的边数为

111x、y、z，则??的值为________．

xyz试一试从建立x、y、z的等式入手．

例2 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

试一试假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形，则60m?90n?360，即2m?3n?12，将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式． 例3 问题再现

现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．

我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．

试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着________个正六边形的内角．

O

问题提出

如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决

猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？

分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．

验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：

90x??8?2??180?y?360，整理得：2x?3y?8，

8?x?1我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为?．

y?2?结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．

猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_________________________________________ 结论2：_________________________________________

上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案． 问题拓展

请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．

猜想3：_____________________________________ 验证3：_____________________________________ 结论3：_____________________________________ 拼图的背后

例4 同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？ 分析要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组．

解设可以拼成凸n边形，n边形的内角只可能是60?，90?，120?，150?．并设其个数分别为x，y，z，w（x，y，z，w为大于等于零的整数）． ??x?y?z?w?n① 则?60x?90y?120z?150w?n?2?180②????由②得2x?3y?4z?5w?6n?12③ ①?6?③得4x?3y?2z?w?12④

∴n?x?y?z?w≤4x?3y?2z?w?12．

由此可见，拼得的多边形最大边数为12．下面我们分情况一一探讨．

?x?y?z?w?12（1）当n?2时，由?，得3x?2y?z?0，

4x?3y?2z?w?12?∴?x,y,z,w???0,0,0,12?．

这说明可以拼成十二边形，且这十二边形的每个内角均为150?，如图①．

?x?y?z?w?11（2），当n?11时，由?，得3x?2y?z?1，

4x?3y?2z?w?12?∴?x,y,z,w???0,0,1,10?．

这说明，可以拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为120?，其余各内角均为150?，如图②．

?x?y?z?w?10（3）当n?10时，由?，得3x?2y?z?2，

4x?3y?2z?w?12?∴?x,y,z,w???0,0,2,8?．

这说明可以拼成十边形，且这十边形中有2个内角为120?，有8个内角为150?，如图③．

?x?y?z?w?9（4）当n?9时，由?，得3x?2y?z?3，

?4x?3y?2z?w?12∴?x,y,z,w???0,0,3,6?．

这说明可以拼成九边形，且这九边形中有3个内角为120?，有6个内角为150?，如图④． 同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图⑤、⑥、⑦、⑧．

图④(九边形)图①(十二边形)图②(十一边形)图③(十边形)

图⑥(七边形)图⑧(五边形)图⑤(八边形)图⑦(六边形)练一练 1．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一组；在它的周围铺上6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组??按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，还剩_________块瓷砖．

A

2．花团锦簇

有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺10圈，共需砖_______块，其中正三角形砖_______块．若铺n圈，则共需砖_______块．

3．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用

同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）．

A．4种 B．3种 C．2种 D．1种

4．如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则n等于（）． A．4 B．6C．8 D．10

5．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360?）时，就拼成了一个平面图形． （1）请根据下列图形，填写表中空格；

…

3 5 6 ? n 4 正多边形边数 正多边形每个内角的度数 60? 90? ? （2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？

（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 微探究

三角形三边关系

三角形的三边关系是三角形最基本的性质，是解决三角形计数、研究线段不等关系、探讨几何最值等问题的基础．

例1 不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于_________．

试一试设△ABC的面积为S、第三条高的长为h，则△ABC三边都可用S的代数式表示，由三边关系建立关于h的不等式组．

例2 已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b?c，如果b?7，则这样的三角形共有（）． A．21个 B．8个 C．9个 D．4个

试一试a的取值范围是明确的，依三角形三边关系，可确定c的取值范围，列表枚举出所有的可能性． 例3 如图，已知P为△ABC内任一点．

（1）AB?BC?CA与2?PA?PB?PC?哪个大？证明你的结论； （2）AB?BC?CA与PA?PB?PC哪个大？证明你的结论．

APBC

试一试对于（2），解题的关键是先证明：BP?PC?AB?AC，PA?PC?AB?BC，PA?PB?AC?BC．

例4 现有长为150cm的铁丝，要截成n?n?2?小段，每段的长为不小于1cm的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段？

试一试因n段之和为定值150cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造一个数列． 整边三角形

c且a≤b≤cb，例5 将长度为24的一根铅丝折成各边均为整数的三角形，记?a,b,c?为三边分别为a，

的一个三角形．

（1）试尽可能多地写出满足题意的?a,b,c?； （2）你能否提出一些进一步的问题？

?a?b?c分析与解（1）由题意可知a?b?c?24，且?，由此得8≤c≤11，

?a≤b≤c即c?8，9，10，11，故满足题意的?a,b,c?共有如下12组：

A:?2,11,11?；B:?3,10,11?；C:?4,9,11?；D:?5,8,11?；E:?6,7,11?；F:?4,10,10?；G:?5,9,10?；H:?6,8,10?；I:?7,7,10?；J:?6,9,9?；K:?7,8,9?；L:?8,8,8?．

（2）以下问题供参考：

①将长度为n?n≥7?的线段折成各边均为整数的三角形，求最大边的边长的取值范围；

②将长度为n?n≥4?的线段折成各边均为整数的四边形，可得多少个不同的四边形？ 练一练

1．现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是________________．

2．若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是2和5，则这个三角形是________三角形（按边分类）． 3．如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB?7m，一个行人P在马路MN上行走．问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于_______米．

AB

MPN4．将长度为25cm的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a、b、c，且满足a≤b≤c，则?a,b,c?有________组解，所构成的三角形都是_______三角形． 5．三角形的三边长为3，4，x?1，那么x的取值范围是（）． A．0?x?8 B．2?x?8 C．0?x?6 D．2?x?6

6．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（）． A．55种 B．45种 C．40种 D．30种

7．7条长度均为整数的线段a1，a2，?，a7满足a1?a7???a7，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，若a1?1，a7?21，则a6?（）． A．18 B．13 C．8 D．5

8．已知△ABC的两条高线的长分别为5、20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）

A．5 B．6 C．7 D．8

9．在平面内，分别用3根，5根，6根，?火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示： 5 6 火柴数 3 ? 示意图 111? 2222 2 1形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 ? 问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？ （2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图．

10．有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（单位：cm）的细木棒各1根，利用它们（允许连接加长但不允许折断）能够围成多少种周长不同的等边三角形？

11．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？

25．多边形的边与角 问题解决

例1 连BC，?A??B??C??D??E??F?四边形EFBC的内角和?360?．

例2 C 设凸多边形的边数为n，n个内角中恰有三个是锐角，则其余n?3个外角中将是钝角或直角，而外角中钝角或直角的个数不超过3，即n?3≤3，解得n≤6．

x?2570?360例3 设除去的角为x?，则?n?2??180?x?2570，得n?，x?130，n?17．

180例4 ?EAF??C?180?，又?C??BAD，故?BAD??EAF?180?． 数学冲浪

1．30 2．60? 3．540?

4．6得到的正多边形的一个内角为360??2?120??120?． 5．B 6．D 7．D 8．B 9．?B?40?

AB??CFB10．?DAB??DCB?180?，?EAB??FCB?90?，E∥CF． 又?FCB??CFB?90?，得?E，故A11．720? 12．十八边形，或十九边形或二十边形 13．240? 14．1080?连KF 15．C

11113?n?1516．D 设这个多边形为n边形（n为正整数），由2002???n?2??180??2002??360?，得1，9090n?14或15．

17．C 18．D 19．可以证明CD∥AF 20．（1）DE⊥BF；（2）DE∥BF（证明略） 21．（1）12；（2）这个图形的边数是20（如图所示）；（3）得到的图形的边数是30．

22．（1）不成立，结论是?BPD??B??D． （2）结论：?BPD??BQD??B??D． （3）?A??B??C??D??E??F?360?． 平面镶嵌（微探究）

x?2y?2z?21111?180??180??180?360，化简得???． 例1 依题意有：xyzxyz2例2 B 用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形，共3种．

例3 问题再现：3

验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程：60a?120b?360．

?a?2?a?4整理得：a?2b?6，可以找到两组适合方程的正整数解为?和?．

?b?2?b?1结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．

猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？

验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：60m?90n?120c?360，整理得：2m?3n?4c?12，可以找到唯一一组适合方程

?m?1?的正整数解为?n?2．

?c?1?结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个

周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 练一练

1．铺满n组时，所用瓷砖总数为1?6?1?6?2???6?n?1??1?3n?n?1?．当n?26时，

1?3n?n?1??1951?2005，当n?27时，1?3n?n?1??2107?2005，故最多能完整地铺满26组，还剩

2005?1951?54（块）瓷砖．

2．660；600；6n2?6n 3． B

4． C 由

?n?2??180?135，得n?8．

n5．（1）108?；120?；

n（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．

?n?2??180?

假定在接合处一共有k块正n边形地砖．由于正n边形的所有内角都相等，则k?k??n?2??180?360，即

n2n4?2?，因k为整数，故n?2|4，n?2?1，2，4，得n?3，4或6，由此可见，只有三种正n?2n?2多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形．

（3）如：正方形和正八边形，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m?90??n?135??360?的整数解，即2m?3n?8的整数解．

?m?1一组，∴符合条件的图形只有一种． ∵这个方程的整数解只有??n?2

三角形三边关系（微探究）

例1 设长度为4和12的高分别是边a、b上的，边c上的高为h，△ABC的面积为S，则a?c?2S2S，b?，4122S2S2S2S2S2S????，由，得3?h?6，又h为整数且△ABC为不等边三角形，故h?5． 412h412h例2 A分a?1，2，?，7情形讨论，又a?b?c，列表如下： a b c 1 7 不存在 2 7 8 3 7 8，9 4 7 8，9，10 5 7 8，9，10，11 6 7 8，9，10，11，12 7 7 8，9，10，11，12，13 例3 （1）AB?PA +PB，BC?PB?PC，AC?PC?PA，相加得：AB?BC?CA?2?PA?PB?PC?．

（2）如图，延长BP交AC于D．

ADPBC

在△ABD中，AB?AD?BD?BP?PD①， 在△PDC中，PD?DC?PC②，

①+②，得AB?AD?PD?DC?BP?PD?PC

即AB?AC?PB?PC，同理AB?BC?PA?PC，AC?BC?PA?PB．

相加得:2?AB?AC?BC??2?PA?PB?PC?，故AB?AC?BC?PA?PB?PC．

例4 这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，?但

1?1?2???34?55?143?150，1?1?2???34?55?89?232?150．故n的最大值为10，共有以下7种方式：

?1,1,2,3,5,8,13,21,34,62?；?1,1,2,3,5,8,13,21,35,61?；

?1,1,?1,1,?1,1,2,3,5,8,13,21,36,60?；?1,1,2,3,5,8,13,21,37,59?；2,3,5,8,13,22,35,60?；?1,1,2,3,5,8,13,22,36,59?；2,3,5,8,14,22,36,58?．

练一练

1．2 2．等腰

3．7PA?PB≤AB，当A、B、P在一条直线上时，等号成立．

114．2等腰最长边介于周长的和之间，故最长边可取整数12、11、10、9，又三边长都是质数，则最长

23边为11，另两边的和为14．其中符合条件的有11?11?3?25，7?7?11?25． 5．B 6．D

7．B 只有当a2?2，a3?a1?a2?3，a4?a2?a3?5，a5?a3?a4?8，a6?a4?a5?13时，7条线段中的任意三条都不能构成三角形．

208．B 设第三条高线的长为h，可得4?h?．

39．（1）不能搭成三角形

（2）2，3，3能搭成一个等腰三角形；2，5，5；3，4，5；4，4，4各能搭成一个三角形，并且这个三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等边三角形，图略．

10．因所有线段的和为45，故最大的等边三角形边长为15．依据边长列表如下： c b 边长 a 从表中可以看出，符合条件的三角形边长最短为5，最长为15 9，6 7，8 1，2，3，4，5 15，都能找到适合的线段组合．故能够围成的周长不同的等边三角形共有11种． 9，5 8，6 3，4，7 14 13 9，4 8，3 6，7 9，3 4，8 5，7 12 9，2 3，8 4，7 11 10 9，1 2，8 3，7 9 9 2，7 3，6 8 8 2，6 5，3 7 7 3，4 2，5 6 6 1，5 2，4 5 5 1，4 2，3 ?a?b?30?ca?b?c11．不妨设，则由?得10?c?15．因c为整数，故c?11，12，13，14．当c?11时，

a?b?c?b?10，a?9；b?11，a?7或b?10，a?8；b?12，a?5或b?11，a?6或b?10，当c?12时，当c?13时，

a?7或b?9，a?8；当c?14时，b?13，a?3或b?12，a?4或b?11，a?5或b?10， a?6或b?9，a?7．

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