数值分析习题
更新时间:2023-12-03 20:09:01 阅读量: 教育文库 文档下载
第一章 绪论
习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字?(有效数字的计算) 2 ??3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算)
3 已知a?1.2031,b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值,问a?b,a?b有几位有效数字?(有效数字的计算)
4 设x?0,x的相对误差为?,求lnx的误差和相对误差?(误差的计算)
**5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm,底面半径r的值为r?5cm,已知
?5|h?h*|?0.2cm,|r?r*|?0.1cm,求圆柱体体积v??rh的绝对误差限与相对误差
限。(误差限的计算)
6 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。(函数误差的计算)
7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径r时允许的相对误差限为多大?(函数误差的计算)
128 设In?e?1xnexdx,求证:
?0(1)In?1?nIn?1(n?0,1,2?)
(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向递推计算时误差逐步减小。(计算方法的比较选择)
1
第二章 插值法
习题主要考察点:拉格朗日插值法的构造,均差的计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用。
1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1,求f(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值) 2 已知y?x,x0?4,x1?9,用线性插值求7的近似值。(拉格朗日线性插值)
3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点,且有
lj(x)?试证明
(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)
?xlj?0nkjj(拉格朗日插值基函数的性质) (x)?xk(k?0,1,...n)。
,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.3522744 已知sin0.32?0.314567,用抛物线插值计
算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值) 5 用余弦函数cosx在x0?0,x1?多项式, 并近似计算cos日二次插值)
6 已知函数值f(0)?6,f(1)?10,f(3)?46,f(4)?82,f(6)?212,求函数的四阶均差
?4,x2??2三个节点处的值,写出二次拉格朗日插值
?6
及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。(拉格朗
f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。(均差的计算)
7 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)求f[x0,x1?xp]之值,其中p?n?1,而节点
xi(i?0,1,?n?1)互异。(均差的计算)
8 如下函数值表
x f(x) 0 1 1 9 2 23 4 3 建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)
9求一个次数小于等于三次多项式p(x),满足如下插值条件:p(1)?2,p(2)?4,
p?(2)?3,p(3)?12。(插值多项式的构造)
2
10 构造一个三次多项式H(x),使它满足条件H(0)?1,H(1)?0,H(2)?1,H?(1)?1(埃尔米特插值)。
11 设f(x)?x,x0?1/4,x1?1,x2?9/4。(1)试求f(x)在?1/4,9/4?上的三次埃尔米特插值多项式H(x),使得H(xj)?f(xj),j?0,1,2,H?(x1)?f?(x1),H(x)以升幂形式给出。(2)写出余项R(x)?f(x)?H(x)的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。 12 若f(x)?c2[a,b],f(a)?f(b)?0,试证明:
32max|f (x)|?a?x?b1?b?a?2max|f?? (x)|(插值余项的应用)
a?x?b813 设f(?2)??1,f(0)?1,f(2)?2,求p(x)使p(xi)?f(xi)(i?0,1,2); 又设 |f???(x)|?M ,则估计余项r(x)?f(x)?p(x)的大小。(插值误差的估计)
3
第三章 函数逼近
习题主要考察点:最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。
1 设f(x)?sin?x,求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近) 2 令f(x)?ex,?1?x?1,且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使得p(x)为f(x)于[?1,1] 上的最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近) 3证明:切比雪夫多项式序列
Tk(x)?cos(karccosx)
在区间??1,1?上带权?(x)?11?x2正交。(正交多项式的证明)
?x1?x2?3?4求矛盾方程组:?x1?2x2?4的最小二乘解。(最小二乘法)
?x?x?22?15 已知一组试验数据
xk 2 4 2.5 4.5 3 6 4 8 5 8.5 5.5 9 yk 试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。(最小二乘线性逼近) 6 用最小二乘原理求一个形如y?a?bx2的经验公式,使与下列数据相拟合。
xk yk (最小二乘二次逼近)
19 19 25 32.3 31 49 38 44 73.3 97.8 4
第四章 数值积分
习题主要考察点:代数精度的计算,构造插值型求积公式(梯形,辛甫生公式),复化求积的计算,高斯公式的构造。 1给定求积公式
?h?hf(x)dx?af(?h)?bf(0)?cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能
高。(代数精度的应用和计算) 2 求积公式
?10f(x)dx?A0f(0)?A1f(1)?B0f?(0),试确定系数A0,A1及B0,使该求积
公式具有尽可能高的代数精确度,并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算) 3数值积分公式
?303f(x)dx?[f(1)?f(2)],是否为插值型求积公式,为什么?又该公式
2b的代数精确度为多少?(插值型求积公式特征)
4如果f??(x)?0,证明用梯形公式计算积分?f(x)dx所得到的结果比准确值大,并说明其
a几何意义。(梯形求积) 5用n?4的复化梯形公式计算积分
?211dx,并估计误差。(复化梯形求积) x6设f(?1)?1,f(?0.5)?4,f(0)?6,f(0.5)?9,f(1)?2,则用复化辛甫生公式计算
?1?1f(x)dx,若有常数M使 |f(4)|?M,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。(复
化辛甫生公式)
17已知高斯求积公式
?1?f(x)dx?f(0.57735)?f(?0.57735) 将区间[0,1]二等分,用复
1化高斯求积法求定积分
?0xdx的近似值。(高斯公式)
8 试确定常数A,B,C和a,使得数值积分公式
?2?2f(x)dx?Af(?a)?Bf(0)?Cf(a)有尽
可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为高斯型的?(代数精度的应用和计算,高斯点的特征)
9设?Pn(x)?是[0,1]区间上带权?(x)?x的最高次幂项系数为1的正交多项式系 (1)求P2(x)。
(2)构造如下的高斯型求积公式
?10xf(x)dx?A0f(x0)?A1f(x1)。(高斯求积)
5
第五章 线性方程组的直接解法
习题主要考察点:高斯消去法,LU分解法,平方根法和追赶法解线性方程组。
4??x1??0??23????x???2?(高斯消去法的应用)
91用高斯消去法解方程组11???2???。
??12?6????x3????1???2x1?x2?x3?0?2用LU分解法求解线性方程组?x1?x2?x3?3。(LU分解法的应用)
?x?x?2x?123?1?2?11???3设A?4?12,求A的LU分解。(LU分解法的应用) ????2?23???310???1?????4试用“追赶法”解方程组Ax?b,其中:A?241,b?7(追赶法的应用) ???????025???9???12???5设A?1?1,求cond(A)2(条件数的计算) ???1??1?6求证:I?1,A22?1?1(范数的性质) A7求证:A?A1?A?。(范数的性质)
100???2?1?2?10?,求A,A,A和cond(A)2。8对矩阵A??(范数,条件数2?1?0?1?21??01?2??0的计算)
n?n9方程组Ax?b,其中A?R,A是对称的且非奇异。设A有误差?A,则原方程组变
化为(A??A)(x??x)?b,其中?x为解的误差向量,试证明:
?x22x??x?1?A2?,其?nA2中?1和?n分别为A的按模最大和最小的特征值。(范数的性质,误差的分析)
10证明:若A?(aij)n?n为严格对角占优矩阵,则A非奇异。(严格对角占优矩阵的性质)
6
第六章 线性方程组的迭代解法
习题主要考察点:雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组,及其收敛性讨论。 1证明:迭代格式x(k?1)?Bx(k)?f收敛,其中B??性判断)
?0.90??1?。(迭代法收敛,f?????0.30.8??2??a11x1?a12x2?b12若用雅可比迭代法求解方程组?(a11a22?0)迭代收敛的充要条件是
ax?ax?b2222?211a12a21?1。(雅可比迭代法的收敛性)
a11a223 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法,求解方程组
?x1?2x2?3 ?3x?2x?42?1是否收敛?为什么?若将方程组改变成为
?3x1?2x2?4 ??x1?2x2?3再用上述两种迭代法求解是否收敛?为什么?(雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性)
?410???4证明解线性方程组Ax?b的雅可比迭代收敛,其中A?121。(雅可比迭代收敛????011??性判断)
?12??1?Ax?b5已知方程组,其中A???,b??2?
0.31????(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。
(2) 若有迭代公式x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b),试确定?的取值范围,使该迭代公式收敛。(雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论) 6给出矩阵A????1a??,(为实数),试分别求出的取值范围: ??2a1?(1) 使得用雅可比迭代法解方程组Ax?b时收敛;
(2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组Ax?b时收敛。(雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论)
7
7设A???21??1?, b?????12??2?(1) 设x(k)是由雅可比迭代求解方程组Ax?b所产生的迭代向量,且x(0)?(1,1)T,试写出计算x(k)的精确表达式。
(2) 设x*是Ax?b的精确解,写出误差x(k)?x*?的精确表达式。
(3) 如构造如下的迭代公式x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b)解方程组Ax?b,试确定?的范围,使迭代收敛。(雅可比迭代及其收敛判断)
?x1?2x2?2x3?1?8对于给定的线性方程组?x1?x2?x3?2
?2x?2x?x?323?1(1)讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
(2)对收敛的方法,取初值x(0)?(1,0,0)T,迭代两次,求出x(1),x(2),x(3)。(雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较) 9 证明对称矩阵
?1????
A???1???????1??当?111???1为正定矩阵,且只有当????时,用雅可比迭代法求解方程组Ax?b222才收敛。(雅可比迭代法的收敛性)
8
第七章 非线性方程求根
习题主要考察点:二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根,迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。
1用二分法求方程x?x?1?0的正根,要求误差小于0.05。(二分法)
2说明方程x2?lnx?4?0 在区间[1,2]内有惟一根x,并选用适当的迭代法求x(精确至3位有效数),并说明所用的迭代格式是收敛的。(迭代法) 3设有解方程12?3x?2cosx?0的迭代法xn?1?4?n???2**2cosxn (1)证明?x0?R均有3*limxn?x*(x为方程的根)。(2)此迭代法的收敛阶是多少,证明你的结论。 (3) 取x0?4用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过10,列出各次迭代值。(和收敛性讨论) 4设x???(x?),max??(x)???1,试证明:由xn?1??(xn)n?0,1,? ,得到的序列?xn?收敛于x。(收敛性证明)
?*5 设方程3?3x?2sinx?0在[0,1]内的根为x,若采用迭代公式xn?1?1?**?32sinxn,试3证明:?x0?R均有limxn?x(x为方程的根);此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。
n??(迭代法和收敛性讨论)
6 方程x3?x2?1?0在x0?1.5附近有根,把方程写成3种不同的等价形式:
(1) x?1?11,对应迭代格式: x?1?n?12x2xn232(2) x?1?x,对应迭代格式:xn?1?31?xn
(3) x?21,对应迭代格式:xn?1?x?11 xn?1讨论这些迭代格式在x0?1.5时的收敛性。若迭代收敛,试估计其收敛速度,选一种收敛格式计算出x0?1.5附近的根到4位有效数字。(收敛速度的计算和比较) 7设 f(x)?(x3?a)2
(1) 写出解 f(x)?0的牛顿迭代格式;
(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。(牛顿迭代的构造与收敛速度) 8 设计一个计算
1a的牛顿迭代法,且不用除法(其中a?0)。(牛顿迭代法)
9
9 用牛顿法求115的近似值,取x0?10或11为初始值,计算过程保留4位小数。(牛顿迭代的构造)
10设x是非线性方程f(x)?0的m重根,试证明:迭代法
*xn?1?xn?mf(xn)
f'(xn)具有至少2阶的收敛速度。(收敛速度证明)
11设x是非线性方程f(x)?0的m重根,证明:用牛顿迭代法求x只是线性收敛。(收敛速度证明)
12设?(a)?a,?(x)在a附近有直到p阶的连续导数,且?'(a)??????(p?1)(a)?0,
**?(p)(a)?0,试证:迭代法xn?1??(xn)在a附近是p阶收敛的。 (收敛速度证明)
10
第九章 常微分方程数值解
习题主要考察点:欧拉方法的构造,单步法的收敛性和稳定性的讨论,线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。
1 用改进的欧拉公式,求以下微分方程
2x??y?y??y??y(0)?1?x?[0,1]
的数值解(取步长h?0.2),并与精确解作比较。(改进的尤拉公式的应用) 2用四阶龙格-库塔法求解初值问题??y??y?1,取h?0.2, 求x?0.2,0.4时的数值解.
?y(0)?0要求写出由h,xn,yn直接计算yn?1的迭代公式,计算过程保留3位小数。(龙格-库塔方法的应用)
?y??y?0?2?h?3 用梯形方法解初值问题?,证明其近似解为yn???,并证明当h?0y(0)?1?2?h??时,它收敛于原初值问题的准确解y?e?x。
n?y???10y4对于初值问题?,证明当h?0.2时,欧拉公式绝对稳定。(显式和隐式欧拉公
y(0)?1?式的稳定性讨论) 5证明梯形公式yn?1?yn?h[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]无条件稳定。(稳定性讨论) 2?y??f(x,y)6设有常微分方程的初值问题?,试用泰勒展开法,构造线性两步法数值计算
y(x)?y00?公式yn?1??(yn?yn?1)?h(?0fn??1fn?1),使其具有二阶精度,并推导其局部截断误差主项。(局部截断误差和主项的计算) 7已知初值问题
?y??2x? ?y(0)?0?y(0.1)?0.01?取步长h?0.1,利用阿当姆斯公式yn?1?yn?h(3fn?fn?1),求此微分方程在[0,10]2上的数值解,求此公式的局部截断误差的首项。(阿当姆斯公式的应用)
11
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