浅谈积分不等式的证明

浅谈积分不等式的证明

摘 要

积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强。每种方法有一定的特色，并且有一定的规律可循。本文综述了积分不等式的若干方法。通过对例题的分析，总结了求积分不等式的常用方法。

这篇文章主要有两部分组成，其一，利用定积分的性质，微分中值定理，积分中值定理，概率论知识，施瓦兹不等式，二重积分等内容，研究了积分不等式的证法。其二，研究了Gronwall积分不等式不同的证明方法并加以应用。更重要的是，对某些积分不等式进行推广。

[关键词]：定积分,概率论，积分不等式，泰勒公式

I

Abstract

The proof of integral inequality is flexible，skillful and complex . Every method has its feature. However, it also has law to obey. The article explains some methods. By analysis course of some examples, I sum up some methods of proving integral inequality.

The article mainly has two aspects. Firstly, the article explores ten methods of proving Integral inequality with the nature of definite integral，Mean value theorem of differential, mean value theorem of integral，Schwarz inequality, Taylor formula, probability knowledge and double integral and so on. Secondly, the article has studied the proof of Gronwall integral inequality and its application. What is more, some integral inequalities have been generalized by the article.

[Keywords]:Definite Integral, Probability, Integral Inequality ,Taylor

formula.

II

目录

引言..............................................................1 第一章 积分不等式的证明方法......................................2 1.1利用定积分性质证明积分不等式...................................2 1.2利用中值定理证明积分不等式.....................................3 1.3利用施瓦兹不等式证明积分不等式.................................4 1.4利用二重积分证明积分不等式.....................................5 1.5利用反证法证明积分不等式.......................................6 1.6利用线性变换证明积分不等式.....................................7 1.7利用泰勒公式证明积分不等式.....................................7 1.8作辅助函数利用函数单调性证明积分不等式.........................8 1.9利用概率论方法证明积分不等式...................................8 1.10利用Gurland不等式证明积分不等式..............................10 第二章 一些特殊积分不等式的证明，推广，及应用.....................12 2.1Gronwall积分不等式的证明及其应用...............................12 2.2对某个积分不等式的推广.........................................15 2.3数值积分不等式.................................................16 2.4 Steffensen不等式..............................................17 结束语.............................................................19 参考文献...........................................................20 谢辞...............................................................21

引 言

积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强。每种方法有一定的特色，并且有一定的规律可循。本文综述了积分不等式的若干方法。通过对例题的分析，总结了求积分不等式的常用方法。

根据不同积分不等式特征，采取不同的方法 .此法不论对初等数学和高等数学都有一定的价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。

1

第一章：积分不等式的证明

1.1利用定积分的性质证明积分不等式

例1：已知f?x?在?0,1?上连续，对任意的x,y都有f?x??f?y??Mx?y 求证：

?10f?x?dx??nk?11nM?k?f???2n?n?k

证明：

?10nf?x?dx??k?1?nk?1nf?x?dx

??10f?x?dx?knk?1n1nn?k?1?k?f????n?nknk?1nknk?1nnk??k?1nf?x?dx??k?1?nk?1n?k?f??dx?n?knk?1nn???k?1?k?f?x??f??dx??n???k?1Mx?knndx?M??k?1M?k??xdx???2n?n?

总结：此题主要利用定积分的绝对值不等式性质进行分析处理

??例2：试证?2cos?sint?dt?0?20sin?cost?dt

分析：此题主要可用定积分的性质处理 因为定积分的保不等号性；

若函数f?x?和g?x?在区间?a,b?上可积，且对?x??a,b?，有

f?x??g?x?，则?f?x?dx?ab?g?x?dx

ab由此只需证

cos?sint??sin?cost?

证明：由定积分的保不等号性，只需证cos(sint)3sin(cost) 当t??0,????2??时，因0?2sin?t??p2?????4?2??，t??0,? 2?2?p2-sint???所以sint+cost<，即

p2-sint>cost，且0

2

0?cost??2，sinx在??0,???????是增函数，所以sin??sint??sin?cost?, 2??2?即cos?sint??sin?cost?，因而t???0,????时，结论成立。

2?

1.2利用中值定理来证明积分不等式

例1：设f?x?在?a,b?上连续，?a,b?内可导，f'?x??M而f?a??0， 求证：M?f?x?dx ??a?b?2a2b证明：由拉格朗日中值定理有：

f?x??f?x??f?a???x?a?，

f'???,a???b。

?f'?x??M?f?x??M?x?a?,

于是?f?x?dx?Mab?a?x?a?dxb?M2?b?a?2，而?2bbaf?x?dx??f?x?dx

ab故

?baf?x?dx?M2?b?a?2，即M?f?x?dx。

?a?b?2?a例2；设f?x?在?a,b?有连续函数导数，且f?a??f?b??0，设

maxf'?x??Ma?x?b，试证：?f?x?dx?abM4?b?a?2

证明：对?a,x?在上使用拉格郎日定理，有

f?x??f?a??f'??1??x?a??f'??1??x?a?,a??1?x

所以f?x??f?x??f'??1??x?a??M?x?a?

a?ba?b对上式积分?2af?x?dx??2aM?x?a?dx?M8?b?a?2???

再对?x,b?在上施以拉格郎日定理，有

f?x??f?b??f'??2??x?b???f'??2??b?x?,x??2?b

3

所以f?x??f?x??f'??2??b?x??M?b?a? 对上式积分?a?bf?x??2b?ba?b2M?b?x?dx?M8?b?a?2???

由??????得证。

总结：当已知f?x?在?a,b?上连续，?a,b?内可导。f?a??0时，使用拉格郎日定理。f?x??f?x??f?a???x?a?f'???,a???x，再根据题意进行不等式缩放。 有时也使用积分中值定理，?f?x?dx?f????b?a?,其中a???b

ab例1：设f'?x?在?a,b?上连续，试证：

maxfa?x?b?x???b?a1baf?x?dx??baf'?x?dx

证明：由积分中值定理有

1b?a?baf?x?dx?f???,a???b

又f?x??f????f?x??f????故f?x??f?????f'?x?dx?a即证。

1.3?3?b??1xf'?x?dx?ba?bafba'?x?f'dx

?b?af?x?dx???x?dx

利用施瓦兹不等式证明积分不等式

施瓦兹不等式：若函数f?x?，g?x?在?a,b?上可积，则

?bf?x?g?x?dx??????a?2?baf2?x?dx?bag2?x?dx

2bb??例1：证明??f?x?dx???b?a??fa?a?2?x?dx

证明：取g?x??1，由施瓦兹不等式有：

?bf?x?dx??????a?

2?badx?fab2?x?dx=?b?a??abf2?x?dx

4

bb?即???f?x?dx???b?a??fa?a?22?x?dx。

b例2：已知函数f?x??0，在?a,b?上连续，?f?x?dx=1,k为任意实数。

a求证

?f?x?coskxdxab2??f?x?sinkxdxab2?1

由施瓦兹不等式，有

?f?x?coskxdxab2??baf?x???f?x?coskxdx

b?2??baf?x?dx?f?x?coskxdx?2abaf?x?coskxdx???

2同理

??f?x?sinkxdxabab2??baf?x?ba?f?x?sinkxdx

?2?baf?x?dx?f?x?sinkxdx?2?f?x?sinkxdx???

2由??????得

?f?x?coskxdxab2??f?x?sinkxdxab2?1。

1.4利用二重积分证明积分不等式

例1设函数f?x?为?0,1?上的单调减少且大于0的连续函数，

?求证：

10xf2?x?dx?10??1010f2?x?dx

xf?x?dx?f?x?dx2证明：令I??101xf?x?dx?f011?x?dx??21xf120?x?dx?f?x?dx

0211 =?xf?x?dx?f?y?dy??xf?x?dx?f?y?dy

0000=?同理I=?2I=?11001010?10xf?y?f?x??f?y??f?x??dxdy

?10yf?x?f?y??f?x??f?y??dxdy两边相加整理得

，

?f?y?f?x??x?y??f?y??f?x??dxdy?f?x??0且在?0,1?上单调减少，

5

??x?y??f?y??f?x???0

?I?0命题得证。

总结：当题设条件中告知被积函数减少或增加时，并没有指明是否可导，且积分区间相同时，将命题化为差式利用变量的对称式化为二重积分来进行证明。 例2：证明施瓦兹不等式 若f?x?,g?x?在上?a,b?可积，则

??baf?x?g?x?dx????2baf2?x?dx?a??bg2?x?dx

b?b?证明：???f?x?g?x?dx???a?2?baf?x?g?x?dx?f?y?g?y?dy

a ?由不等式a2?b2?2ab知：

?bf?x?g?x?dx??????a??12??f?y?g?y?f?x?g?x?dxdyaabb

?2baf?x?g?x?dx?f?y?g?y?dy?a2b??f?y?g?y?f?x?g?x?dxdyaabb

??f?x?g?y????2bbaa??f?y?f?x??dxdy?

?bbbb1=??f2?x?dx?g2?y?dy??f2?y?dy?g2?x?dx? ?a?aaa2?a=

??bf2?x?dx?a??bg2?x?dx。

?1.5?9?利用反证法证明积分不等式

当命题只对某一个别点成立时，最好使用反证法

例1：设函数f?x?为?0,1?上连续?f?x?dx?0，?xf?x?dx?1

0011求证：存在一点x当0?x?1时，使f?x??4 证明：反证法：若0?x?1时，f?x??4则

1?1??x??f?0?2??1?x?dx??10x?12f?x?dx?4?x?0112dx?1

因此f?x??4，x??0,1?,?f?x?是连续的，必有f?x??4或f?x???4

6

这与?f?x?dx?0相矛盾，

01?存在一点

x当0?x?1时，使f?x??4。

1.6利用线性变换证明积分不等式

如果问题涉及到函数f?x?在?a,b?上的均值换。 即令t?x?ab?a?b?a1baf?x?dx，那么对均值作线性变

有

1b?a?baf?x?dx??f?a??b?a?t?dt目的是将定义在不同区间上的

01两个定积分都化为区间上的定积分，统一区间后的两个定积分，就易于比较了。 例1：设f?x?为?a,b?上单调增加的可积函数，g?x??g?x??x?ab?ag?b?,a?x?b?f?t?dt,a?x?b则

ax

证明：当x?a时结论成立，只需证

1x?a?xaf?t?dt?1b?a?baf?t?dt,a?x?b，

经线性变换后，即证?f?a??x?a?u?du?01?f?a??b?a?u?du，

01由于f?x?在?a,b?上单调增加，利用定积分的单调性知结论成立。

1.7利用泰勒公式证明积分不等式

当被积函数有高阶导数时，又已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式证明

?x??a,b?，f?x??0,f''?x??0 例1：设?求证f?x??2b?a?baf?x?dx

证明：将f?x?在x处展开成一阶泰勒公式

f?x??f?t??f'?t??x?t??12f''????x?t?,?位于x与t之间

2由于f\?x??0

?f?x??f?t??f'?t??x?t?

将上式两边在?a,b?上对t积分得，

7

?b?a?f?????af?t?dt??a即?b?a?f????bbf'?t??x?t?dt

bab?baf?t?dt??x?t?f?t?/??f?t?dt

a =2?f?t?dt??x?b?f?b???x?a?f?a?

ab?2?f?t?dt??b?a?f?????b?x?f?b???x?a?f?a?

ab?f?x??0,x?a?0,b?x?0

?2?f?x?dx??b?a?f?x?

ab即f?x??

2b?a?baf?x?dx。

1.8.作辅助函数利用函数单调性证明积分不等式

?思路?把不等式中所有积分上限或下限相同的字母也改为x，移项使不等式的一

端为0，则令另一端的式子为??x?，则问题转化为??x??0，则用单调性来证明不等式即可，值得说的是，题设中若仅知被积函数在某区间上连续时，一般都用此法。

例1：设f?x?在?0,1?上连续且单调减少，证明0???1时,?f?x?dx???f?x?dx

00?1证明：设??????f????1???02?0f?x?dx??f?x?dx

01?'??????f?x?dx???f????f???2??,???0,??

?f?x?单调减少， ?f????f???，

??????0,由????单调减少????????1??0

,??????1???0f??x?dx??0f?x?dx?0

101?0???1时,?f?x?dx???f?x?dx0。

1.9?12?利用概率论方法证明积分不等式

8

在概率论中，连续性随机变量的概论分布函数，数学期望与积分有一定联系，这使得用概论论思想方法证明某些积分不等式成为可能。

?1?预备知识

定理1?12?：设?为随机变量，若f?x?为连续上凸函数，则有f?E???Ef???；若f?x?为连续下凸函数，则有f?E???Ef??? 定理2?12?：?Cauchy?Schwarz不等式?若??,??是一个二维随机变量，E?2??,E?2??,则有E????2?E?2E?2

例1：证明Cauchy不等式

2若f?x?与g?x?在?a,b?上连续，则?b??f?x?g?x?????b2?a????af?x?dx??b???2??ag?x?dx???

证明：设随机变量?的概率分布F?x?及概率密度p?x?分别为

?o,x?a??F?x????x?a??b?a,x??a,b??

????1,x?b???1p?x???,x??b?a?a,b????

??0,x??a,b???则Ef2???????????f2x?px?dx?1?bb?aaf2?x?dx

Eg2????????1b2??g2?x?p?x?dxb?a?ag?x?dx

Ef???g???????x?g?x?p?x?dx?1??f?b?a?baf?x?g?x?dx

由定理2知E????2?E?2E?2，把以上各式代入即得证。 例2：证明凸函数不等式

设f?x?为在?a,b?上连续的下凸函数，则

fa?bf?a??f?b?2?1b?a?baf?x?dx?2

证明设随机变量?的概率分布F?x?及概率密度p?x?分别为

9

又

?o,x?a????x?a?F?x???,x??a,b??

?b?a????1,x?b??1?,x??a,b???p?x???b?a?

?0,x??a,b????f?x?为下凸函数，有定理1知f?E???Ef???成立

a?b2f?x?dx ?b?aa此即f?1b又x?a?fb?xb?a?b?x?ab?a,故

b?xx?a?1?x?fa??b????????f?a??b?x??f?b??x?a???b?ab?a?b?a?

将上式两端积分 ，可得

?baf?x?dx?b?a2?f?a??f?b??,综上可知原不等式成立。

总结：用概率论思想方法证明积分不等式，关键在于构造概率分布函数和概率密度函数。本节各证明过程中涉及到的随机变量都是一维连续的。如果构造适当的二维连续随机变量，还可以用概率论的方法证明许多与二重积分相关的不等式。

1.10?1?利用Gurland不等式证明积分不等式

Gurland不等式:

定理：设f?x?，g?x?是两个同向单调函数，且至少有一个连续，则

若f?x?,g?x?是两个反向单调函数，则不等式反号。 E?f?x?g?x???E?f?x??E?g?x??，

例1：设f?x?在闭区间?a,b?上连续，且单调增加，证明

?

baxf?x?dx?a?b2?baf?x?dx

证明：设X随机变量概率密度为：

10

?1?,x??a,b???p?x???b?a?

?0,x??a,b????E?xf?x???E?x??E??f1?????xf?x?p?x?dx=

b1b?a?baxf?x?dx

b?a?axdx?bab?a2f

?x?????b?a1?x?dx

由单调增加知E?xf?x???E?f?x??E?x? 代入得证：?xf?x?dx?aba?b2?baf?x?dx

例2：设f?x?在闭区间?0,1?上连续，函数f?x??0且单调减少，证明

?10xf2?x?dx?10xf?x?dx??101f2?x?dx?f?x?dx0

证明：设X随机变量概率密度为：

?f?x??,0?x?1?1?p?x????f?x?dx? 0??0,其它??E?xf?x?????????xf?x?p?x?dx=

110xf1o2?x?dx

?0f?x?dxxf?x?dx?E?x???xp?x?dx??f?x?dx????1o

E?f?x????????f?x?p?x??dx?101of2?x?dx

?f?x?dx由单调减少知E?xf?x???E?f?x??E?x?

?代入得证：

10xf2?x?dx?10xf?x?dx??101f2?x?dx?f?x?dx0。

11

第二章 一些特殊积分不等式的证明，推广，及应用

2.1?10?Gronwall积分不等式的证明及其应用

?1??10? Gronwall积分不等式

定理：设k为非负常数，函数f?x?，g?x?在闭区间?a,b?上连续非负，且满足不等式f?t??k??f?s?g?s?ds,a?t?b 则f?t??kexpa特别是?k?0,有f?t??t??g?s?ds?,a?t?b，

ta?f?s?g?s?ds,a?t?b,

at推出f?t??0,a?t?b,因为f?t?非负，推出f?t??0,a?t?b

错误证法一：设R?t???fs?g?s?ds?af?t?g?t??kg?t??R?t?g?t?

t，则f?t??k?R?t?，用g?t?乘不等式的两边：

R'?t??kg?t??R?t?g?t?，?1? dR'?t??kg?t?dt?R?t?g?t?dt，?2?

用exp??g?s?ds乘以不等式的两边：

a?t?exp??g?s?dsdR'?t??exp??g?s?kg?t?dt?exp??g?s?R?t?g?t?dtaaa?t??t??t?

t??dexp??g?s?dsR?t???kd??a????t??exp??g?s?ds ??a????tt两边从a到t积分；R?t?exp??g?s?ds?k?1?exp??g?s?ds?

a?????a???并由f?t??k?R?t?,得

tt??ft?kexp?gsds?k1?exp?gsds?? ?????????a???a???t???所以

f?t??kexp??g?s?ds?,a?t?b。

a 12

总结：上述证明过程中有一个不严密的地方：不等式?2?是不正确的。这里不等式?2?是在?1?两边同乘以dt得到的。但由数学分析的知识可知，dt是t自变量的增量?t,而增量是可正可负的。直接用dt乘以在?1?的两边而保持不等号不变号不变得到?2?式的做法是错误的。 正确证法一：设R?t???fs?g?s?ds?af?t?g?t??kg?t??R?t?g?t?

t，则f?t??k?R?t?，用g?t?乘不等式的两边：

R'?t??kg?t??R?t?g?t?

用exp??g?s?ds乘以不等式的两边

a ??????exp???g?s?ds?R'?t??exp???g?s?ds?R?t?g?t??exp???g?s?ds?kg?t?

exp??g?s?dsatat?t?R'?t??exp??g?s?dskg?t??exp??g?s?dsR?t?g?t?atataatttt????R?t?exp??g?s?ds??kexp??g?s?ds????aa??????'??'

tt两边从a到t积分, ?R?t?exp??g?s?ds??k?1?exp??g?s?ds?

???a??????a???所以f?t??kexp??g?s?ds?,a?t?b

ta错误证法二：由条件不等式得：

f?t?g?t?k?ta?f?s?g?s?ds?g?t?,???

两边从a到t积分,得Ink??f?s?g?s??Ink?a由上式不等式和条件不等式，得f?t??kexpta?t??g?s?ds

at??g?s?ds?,a?t?b

t总结：上述证明过程中有一个不严密的地方：不等式???是不正确的。因Gronwall不等式条件中要求k?o, f?t??0,g?t??0,这样就不能保证k??f?s?g?s?ds是

a不恒为0的。 正确证法二：

13

当k>0时，由条件不等式得：

f?t?g?t?k?ta?f?s?g?s?ds?g?t?,???

两边从a到t积分,得Ink??f?s?g?s?ds?Ink?a由上式不等式和条件不等式，得f?t??kexp当k=0时，条件这时不等式变为f?t??tta?t??g?s?ds

at??g?s?ds?,a?t?b

?f?s?g?s?ds,结论变为f?t??0,a?t?b

at事实上，???0,成立f?t?????f?s?g?s?ds,

a从而

f?t???exp??g?s?ds?,a?t?b

ta而由?任意性可知f?t??0,a?t?b 综上f?t??kexp??g?s?ds?,a?t?b

ta例1：利用Gronwall积分不等式证明一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性部分。

?x,?t??f?t,x?已知初值函数?有解，证明其解唯一。 ?x?t??x00?证明：初值问题的等价积分方程是x?t??x0??f?s.x?ds

0t设??t?是初值问题的解，假若还有另一解??t?，则因

??t??x0??f?s,??s??ds

0t??t??x0??f?s,??s??ds

0t有??t????t???f?s,??s???f?s,??s??ds

0t ??t0L??s????s?ds

其中L?0为Lipschitz常数。

t?由定理有??t????t??0exp???Lds??? ?0??b?t0?s?t0?h,h?min?a,?,M?maxf?t,x??m?

14

即??t????t??0

即：??t????t?，t0?t?t0?h

同理可证：??t????t?，t0?h?t?t0证毕。

2.2对某积分不等式的一个推广

参考文献?16?有结论：设函数f?x?在区间?0,1?上严格增加，n等份将区间?0,1?，取?k?knn，则有不等式?k?1?k?1f????n?n?10f?x?dx。

推广定理：设函数f?x?在区间?a,b?上严格增加，将区间?a,b?n等分，取

?k?nk?b?n?a，则有

b?k?1??b?a?k?b?af??a??nn??n?f?x?dx

a证明：设S?n???k?1??b?a?k?b?af??a?，是函数f?x?在区间?a,b?上关于等n份

n??n分法的上和，f?x?在区间?a,b?上严格增加, 于是就有

S?n???baf?x?dx

现证式S?n??列?S?nk??，

?baf?x?dx中等式不成立，为此我们证明存在数列?S?n??的一个子

使?S?nk??严格减少于?f?x?dx，若能如此，则有S?n??ab?f?x?dx

ab考虑子列?S?2n??，由于f?x?在上?a,b?严格增加，对每个1?k?2n由

a??2k?1??b?a?2n?1?a?k?b?a?2n，就有

?2k?1??b?a??k?b?a????f?a??fa???? n?1n22???? 15

此时S?2n?????k?1?2n?12n?k?1k?b?a??b?a?f?a???nn22????k?b?a??k?b?a????b?a?? fa??fa????????nnn?1222?????k?1?2n2n??2k?1??b?a???2k?b?a????b?a?? f?a??fa?????n?1n?1n?122?????2=S?2n?1?

??k?1k?b?a??b?a?f?a??n?1n?12??2可见子列?S?2n??严格减少由Darboux定理得

limS?2n???n???f?x?dx

?01由于S?n???baf?x?dx且有?S?n??的一个子列?S?nk??，

bn?b?a?k?b?a?a??S?nk??严格减少于?af?x?dx，所以?f???n??nk?1?f?x?dx。

01推论1：设函数f?x?在区间?a,b?上严格增加，将区间?a,b?n等分， 取?k?n?k?1??b?a?n，则有不等式

b?k?1??b?a??k?1??b?af??a??n??n?f?x?dx。

a推论2：设函数f?x?在区间?a,b?上严格减少，将区间?a,b?n等分 取?k?n?k?1??b?a?n，则有不等式

b?k?1??b?a??k?1??b?af??a??n??n?f?x?dx。

a推论3：设函数f?x?在区间?a,b?上严格减少，将区间?a,b?n等分

?k?k?b?a?nn，则?k?1??b?a?k?b?af??a??nn???f?x?dx。

ab

2.3数值积分不等式

16

参考文献?1?有结论：令?n??10f?x?dx??nk?11n?k?f??，若若?n?f在区间?0,1?内可微

且当0

?n?Mn。

推广定理：令?n??baf?x?dx?b?ann?k?1?k?b?a??f??a?

n??若f在区间?a,b?内可微，且当a

?n?Mn?b?a?

2证明：令Ek???an?k?1??b?a?nk?b?a?f?x?dx??ab?an?k?b?a??f??,k?1.2......n

n??由积分中值定理，存在?k，使得

??an?k?1??b?a?nk?b?a??af?x?dx?b?anf??k?,?k?1??b?a?n?a??k?k?b?a?n?a

又由微分中值定理有，存在?k，使得

k?b?a???k?b?a???k?b?a?f??k??f??f'???????， ???kk?k?knnn????所以Ek?M?b?a?nn22

2从而?n?

2.4?1??k?1Ek?M?b?a?n。

Steffensen不等式 ：

定理：设f?x?,g?x?在?a,b?上可积，f在?a,b?上单调减少，0?g?x??1,式中

?bag?x?dx?c

b则：?b?cf?x?dx??f?x?g?x?dx?ab?a?caf?x?dx。

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证明：?a?caf?x?dx??f?x?g?x?dx=?aa?caba?ca??1?g?x???f?x?dx??a?cf?x?g?x?dx

ba?cb?f?a?c???1?g?x??dx??baba?cf?x?g?x?dx =?bg?f?a?c??f?x??dx?0

a?bb?cf?x?dx??f?x?g?x?dx=?bb?c?1?g?x???f?x?dx??b?cf?x?g?x?dx b?c??f?b?c???1?g?x??dx??ab?cf?x?g?x?dx

=??ab?cbg?f?b?c??f?x??dx?0

?b?cf?x?dx??f?x?g?x?dx?ab?a?caf?x?dx。

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结束语

从以上文章分析可见，根据不同积分不等式特征，采取不同的方法 .此法不论对初等数学和高等数学都有一定的价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。

这篇文章主要有两部分组成，其一，利用定积分的性质，微分中值定理，积分中值定理，概率论知识，施瓦兹不等式，二重积分等内容，研究了积分不等式的证法。其二，研究了Gronwall积分不等式不同的证明方法并加以应用。更重要的是，对某些积分不等式进行推广。

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参考文献

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