数列前n项和的求法
更新时间:2023-04-05 14:13:01 阅读量: 实用文档 文档下载
数列前n项和的求法Revised on November 25, 2020
专题二: 数列前n 项和的求法
一、倒序相加法求数列的前n 项和 如果一个数列{a n },与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。例如:等差数列前n 项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。 例1:设等差数列{a n },公差为d ,求证:{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2 例2:求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值
二、用公式法求数列的前n 项和
对等差数列、等比数列,求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。
例3:求数列
的前n 项和S n : 例4:已知3
log 1log 23-=x ,求n x x x x +???+++32的前n 项和. 例5:设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=
n n S n S n f 的最大值. 点拨:这道题只要经过简单整理,就可以很明显的看出:这个数列可以分解成两个数列,一个等差数列,一个等比数列,再分别运用公式求和,最后把两个数列的和再求和。
三、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
例6:求和:132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S
例7: 求数列??????,2
2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 四、分组法求和(并项法)
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例8:求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n 2(n ∈N *)
例9:求数列的前n 项和:231,,71,41,1112-+???+++-n a
a a n ,… 五、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .
[例] 在各项均为正数的等比数列中,若
103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.
数列的求和方法多种多样,它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法,在解题中才能比较容易解决数列问题。
六、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1))()1(n f n f a n -+= (2)
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+
(3)1
11)1(1+-=+=n n n n a n (4))1
21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 例10:求数列???++???++,11
,,321
,211
n n 的前n 项和.
例11: 在数列{a n }中,1
1211++???++++=
n n n n a n ,又12+?=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和. 七.用构造法求数列的前n 项和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法. 例12: 求
1
1111111111个n ???+???+++之和. 练习:求5+55+555+….+555…5之和
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