2012年高考文科数学试题分类汇编--数列

2012高考文科试题解析分类汇编：数列

一、选择题

1.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，且 a3a11=16，则a5= （A） 1 （B）2 （C） 4 （D）8 【答案】A

2

a3a11 16 a7 16 a7 4 a5 22 a5 1

2.【2012高考全国文6】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1 1，Sn 2an 1，,则Sn （A）2

n 1

（B）()

3

2

n 1

（C）()

23

n 1

（D）

12n 1

【答案】B

【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。 【解析】由Sn 2an 1可知，当n 1时得a2

11S1 22

当n 2时，有Sn 2an 1 ① Sn 1 2an ② ①－②可得an 2an 1 2an即an 1

313

an，故该数列是从第二项起以为首项，以为公222

1

(n 1)

比的等比数列，故数列通项公式为an 13，

n 2

()(n 2) 22

13(1 ()n 1)

3故当n 2时，Sn 1 ()n 1

321 2

31 1

当n 1时，S1 1 ()，故选答案B

2

3.【2012高考新课标文12】数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为 （A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830 【答案】D

【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题. 【解析】【法1】有题设知

a2 a1=1，① a3 a2=3 ② a4 a3=5 ③ a5 a4=7，a6 a5=9，

a7 a6=11，a8 a7=13，a9 a8=15，a10 a9=17，a11 a10=19，a12 a11 21，

∴②－①得a1 a3=2，③+②得a4 a2=8，同理可得a5 a7=2，a6 a8=24，a9 a11=2，

a10 a12=40， ，

∴a1 a3，a5 a7，a9 a11， ，是各项均为2的常数列，a2 a4，a6 a8，a10 a12，

是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{an}的前60项和为15 2 15 8 【法2】可证明：

1

16 15 14=1830. 2

bn 1 a4n 1 a4n 2 a4n 3 a4n 4 a4n 3 a4n 2 a4n 2 a4n 16 bn 16

0 b1 a1 a2 a3 a41

15 14

S151 01 2

1 6 1 830

4.【2012高考辽宁文4】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=

(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B

【解析】 a4 a8 (a1 3d) (a1 7d) 2a1 10d,

a2 a10 (a1 d) (a1 9d) 2a1 10d, a2 a10 a4 a8 16，故选B

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。 5.【2012高考湖北文7】定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给

定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x

；③（x）=ln|x |。

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【答案】C

6.【2012高考四川文12】设函数f(x) (x 3) x 1，数列{an}是公差不为0的等差数列，f(a1) f(a2) f(a7) 14，则a1 a2 a7 （ ）

A、0 B、7 C、14 D、21 【答案】D.

[解析]∵{an}是公差不为0的等差数列，且f(a1) f(a2) f(a7) 14

3

；④f

∴[(a1 3)3 a1 1] [(a2 3)3 a2 1] [(a7 3)3 a7 1] 14 ∴(a1 a2 a7) 7 14

∴a1 a2 a7 21

[点评]本小题考查的知识点较为综合，既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应

用，解决此类问题必须要敢于尝试，并需要认真观察其特点. 7.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式an cos于

A.1006 B.2012 C.503 D.0 【答案】A．

考点：数列和三角函数的周期性。 难度：中。

分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。

解答： a4n 1 (4n 1) cos a4n 2 a4n 3

n

，其前n项和为Sn，则S2012等2

a4n 4

(4n 1)

(4n 1) cos 0， 22(4n 2)

(4n 2) cos (4n 2) cos (4n 2)，

2(4n 3) 3

(4n 3) cos (4n 3) cos 0，

22(4n 4)

(4n 4) cos (4n 4) cos2 4n 4，

2

所以a4n 1 a4n 2 a4n 3 a4n 4 2。 即S2012

2012

2 1006。 4

8.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是

222

（A）a1+a3≥2a2 （B）a1 （C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2 a3 2a2

【答案】B

【解析】当a1 0,q 0时，可知a1 0,a3 0,a2 0，所以A选项错误；当q 1时，C选项错误；当q 0时，a3 a2 a3q a1q a4 a2，与D选项矛盾。因此根据均值定理可知B选项正确。

【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念，其中还涉及了均值不等式的知识，如果对于等比数列的基本概念（公比的符号问题）理解不清，也容易错选，当然最好选择题用排除法来做。

9.【2102高考北京文8】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为

（A）5（B）7（C）9（D）11 【答案】C

【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活，要根据图像识别看出变化趋势，判断变化速度可以用导数来解，当然此题若利用数学估计过于复杂，最好从感觉出发，由于目的是使平均产量最高，就需要随着n的增大，Sn变化超过平均值的加入，随着n增大，Sn变化不足平均值，故舍去。

二、填空题

10.【2012高考重庆文11】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4 【答案】15

1 24

15 【解析】：S4

1 2

【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式 11.【2012高考新课标文14】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______ 【答案】 2

【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式，是简单题.

【解析】当q=1时，S3=3a1，S2=2a1，由S3+3S2=0得，9a1=0，∴a1=0与{an}是

a1(1 q3)3a1(1 q2)

等比数列矛盾，故q≠1，由S3+3S2=0得， 0，解得q=－2.

1 q1 q

12.【2012高考江西文13】等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1。若a1=1，且对任意的

都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。

【答案】11

【解析】由已知可得公比q=-2，则a1=1可得S5。

13.【2012高考上海文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、积分别记为V1,V2,...,Vn,...，则lim(V1 V2 ... Vn)

n

1

为公比的等比数列，体2

【答案】

8。 7

1

为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了2

【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，

一个以1为首项，

1

为公比的等比数列，因此，lim(V1 V2 Vn)

n 8

11 1

8

8 . 7

【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.

考查知识较综合.

14.【2012高考上海文14】已知f(x)

1

，各项均为正数的数列 an 满足a1 1，1 x

an 2 f(an)，若a2010 a2012，则a20 a11的值是

【答案】

3 5

。 26

111，并且an 2 f(an)，得到an 2 ，a1 1，a3 ，1 x21 an

【解析】据题f(x)

a2010 a2012，得到

15 1

（负值舍去）.依次往前推得到 a2010，解得a2010

1 a20102

a20 a11

3 . 26

【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件

an 2 f(an)是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.

15.【2012高考辽宁文14】已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（a n+a n+2）=5a n+1 ,则数列｛an｝的公比q = _____________________. 【答案】2

【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。 【解析】 2(an an 2) 5an 1, 2an(1 q2) 5anq, 2(1 q2) 5q,解得q 2或q 因为数列为递增数列，且a1 0,所以q 1, q 2

16.【2102高考北京文10】已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1

a2=______，Sn=_______。 【答案】a2 1，Sn

1

2

1

，S2=a3，则2

121n n 44

1

a2 a1 d 1，2

【解析】 S2 a3，所以a1 a1 d a1 2d d

Sn

1

n(n 1)。 4

【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算，考查通项公式和前n项和公式的计算。

17.【2012高考广东文10】若等比数列 an 满足a2a4

12，则a1a3a5 2

1 4111224

a2a4 a3 ,a1a3a5 a3

224

【答案】

三、解答题

18.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2 n，

n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；

（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.

【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念，通项公式以及求和公式等基础知识，同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。 【解析】

（1） 由Sn=2n2 n，得

当n=1时，a1 S1 3；

22

2(n 1) (n 1) 当n 2时，an Sn Sn 1 2n n 4n 1，n∈N﹡.

由an=4log2bn＋3，得bn 2n 1，n∈N﹡.

（2）由（1）知anbn (4n 1) 2n 1，n∈N﹡

所以Tn 3 7 2 11 2 ... 4n 1 2

2

n 1

，

2Tn 3 2 7 22 11 23 ... 4n 1 2n， 2Tn Tn 4n 1 2n [3 4(2 22 ... 2n 1)] (4n 5)2n 5

Tn (4n 5)2n 5，n∈N﹡.

19.【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：

an 1

an bnan bn

2

2

，n N*，

（1）设bn 1

bn b

1 ，n N*，求证：数列 n

aan n

2

是等差数列；

（2）设bn 1

2

bn

，n N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． an

【答案】解：（1）∵bn 1

1

bn，∴an 1 an

b

∴ n 1

an 12 bn 1 bn bn ∴ 1 n N* 。

an 1 an an

2

2

2

bn

∴数列 是以1 为公差的等差数列。

a n

2

（2）∵an>0，bn>0，∴

an bn

2

2

an2 bn2< an bn 。

2

∴1<an 1

设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0，下面用反证法证明q=1

若q>

1,则a1=

a<a2

n>logq时，an 1 a1qn q

1

a21

>a2>1，∴当n>logq时，an 1 a1qn<1，与（﹡）矛盾。 qa1

若0<q<1,则a1=

∴综上所述，q=1。∴an a1 n

N* ，∴1<a1

又∵bn 1 bn bn n N* ，∴{b

n}an111，于是b1<b2<b3。 1

若a1

又由an

1

an bnan bn

2

2

即a1

，得bna1 1

。

∴b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1<b2<b

3矛盾。∴a1

∴

bn

1

∴ a1=b2

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。 【解析】（1）根据题设an 1

2

2

an bnan bn

2

2

和bn 1

bb

1 n，求出n 1 an 1an b b

而证明 n 1

n 1而得证。

an 1 an

（2）根据基本不等式得到1<an 1 的公比

q=1。

从而得到an a1 n N*

的结论，再由bn 1 数列。最后用反证法求出a1=b2

20．【2012高考四川文20】(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，常数 0，且 a1an S1 Sn对一切正整数n都成立。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

{an}

bn

bn

知{bn}an11

（Ⅱ）设a1 0， 100，当n为何值时，数列{lg[解析]取n=1,得 a1 2s1 2a1,a1( a1 2) 0

1

的前n项和最大？ an

若a1=0,则s1=0, 当n 2时，an sn sn 1 0,所以an 0 若a1 0，则a1

2

2an , 当n 2时，

2

sn,2an 1

2

sn 1,

上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上，若a1 = 0, 则an 0

若a1 0，则an

2n

…………………………………………7分

（2）当a1>0,且 100时，令bn lg

1

,所以，bn 2 nlg2 an

所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）

100100

lg lg1 0 6

642

100100

lg1 0 当n≥7时，bn≤b7=lg7 lg1282

则 b1>b2>b3>…>b6=lg故数列{lg

1

}的前6项的和最大. …………………………12分 an

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 21.【2012高考湖南文20】（本小题满分13分）

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. （Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an 1与an的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 【答案】

【解析】（Ⅰ）由题意得a1 2000(1 50%) d 3000 d，

3

a1 d， 23

an 1 an(1 50%) d an d.

23

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an an 1 d

233

()2an 2 d d 2233

(an 2 d) d 22 a2 a1(1 50%) d

33 33 ()n 1a1 d 1 ()2 ()n 2 .

22 22

整理得 an ()n 1(3000 d) 2d ()n 1 1

32

3 2

3

()n 1(3000 3d) 2d. 2

3n 1

由题意，an 4000, ()(3000 3d) 2d 4000,

2

3n () 2 1000 1000(3n 2n 1)2 解得d . nn

n3 2() 12

1000(3n 2n 1)

故该企业每年上缴资金d的值为缴时，经过m(m 3)年企业的剩余资金为nn

3 2

４０００元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出an 1与an的关系式an 1 只要把第一问中的an 1

3

an d，第二问，2

3

an d迭代，即可以解决. 2

22.【2012高考重庆文16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）） 已知{an}为等差数列，且a1 a3 8,a2 a4 12,（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1,ak,Sk 2成等比数列，求正整数k的值。

2a1 2d 8

【解析】（Ⅰ）设数列{an} 的公差为d,由题意知 解得a1 2,d 2

2a 4d 12 1

所以an a1 (n 1)d 2 2(n 1) 2n （Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn

(a1 an)n(2 2n)n

n(1 n) 因a1,ak,Sk 2 成等比数列，22

2

2

所以a2k a1Sk 2 从而(2k) 2(k 2)(k 3) ，即 k 5k 6 0

解得k 6 或k 1（舍去），因此k 6 。

23.【2012高考陕西文16】已知等比数列 an 的公比为q=-（1）若

1. 2

a

=3

1

，求数列 an 的前n项和； 4

（Ⅱ）证明：对任意k N ，

a

k

，

a

k 2

，

a

k 1

成等差数列。

【答案】：（Ⅰ）an 2n（Ⅱ）k 6

【解析】：：（Ⅰ）设数列{an} 的公差为d,由题意知 所以an a1 (n 1)d 2 2(n 1) 2n （Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn

2a1 2d 8

解得a1 2,d 2

2a1 4d 12

(a1 an)n(2 2n)n

n(1 n) 因a1,ak,Sk 2 成等比数列，22

2

所以a2k a1Sk 2 从而(2k)2 2(k 2)(k 3) ，即 k 5k 6 0 解得k 6 或k 1（舍去），因此k 6 。

24.【2012高考湖北文20】（本小题满分13分）

已知等差数列{an}前三项的和为 3，前三项的积为8.

（Ⅰ）求等差数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和. 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则a2 a1 d，a3 a1 2d，

3a 3d 3, a 2, a 4,

由题意得 1 解得 1或 1

a(a d)(a 2d) 8.d 3,d 3. 111

所以由等差数列通项公式可得

an 2 3(n 1) 3n 5，或an 4 3(n 1) 3n 7.

故an 3n 5，或an 3n 7. （Ⅱ）当an 3n 5时，a2，a3，a1分别为 1， 4，2，不成等比数列；

当an 3n 7时，a2，a3，a1分别为 1，2， 4，成等比数列，满足条件. 3n 7,n 1,2,

故|an| |3n 7|

3n 7,n 3.

记数列{|an|}的前n项和为Sn.

当n 1时，S1 |a1| 4；当n 2时，S2 |a1| |a2| 5； 当n 3时，

Sn S2 |a3| |a4| |an| 5 (3 3 7) (3 4 7) (3n 7)

5

(n 2)[2 (3n 7)]3211

n n 10. 当n 2时，满足此式.

222

n 1, 4,

综上，Sn 3211

n n 10,n 1. 22

【解析】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以

及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式an a1 n 1 d求解；有时需要利用等差数列的定义：an an 1 c（c为常数）或等比数列的定义：

an

c'（c'为常数，an 1

c' 0）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数

列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 25.【2012高考天津文科18】 （本题满分13分） 已知

｛

｝是等差数列，其前n项和为Sn，

｛

｝是等比数列，

且

==2,a4 b4 27,-=10 （I）求数列｛｝与｛（II）记=

+

｝的通项公式；

，（n

,n>2）。

【解析】(Ⅰ)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q；

a4 b4 27 2 3d 2q3 27 d 3则 3

S b 10q 24a 6d 2q 10 44 1

得：an 3n 1,bn 2n

(Ⅱ)akbk (3k 1) 2k (3k 4) 2k 1 (3k 7) 2k ck 1 ck(k N*) Tn (c 2 c1) (c3

c) (2 n c 1

n

c )

n

1

c 1 1c( 3n 4n) 2

8

当n 2时，Tn 8 an 1bn 1

26.【2012高考山东文20】 (本小题满分12分)

已知等差数列{an}的前5项和为105，且a20 2a5. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)对任意m N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

5a1 10d 105,

【答案】 (I)由已知得：

a 9d 2(a 4d), 11

解得a1 7,d 7,

所以通项公式为an 7 (n 1) 7 7n. (II)由an 7n 72m，得n 72m 1，

即bm 72m 1. bk 172m 1

2m 1 49， ∵bk7

∴{bm}是公比为49的等比数列，

7(1 49m)7∴Sm (49m 1).

1 4948

27.【2012高考全国文18】(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知数列{an}中， a1 1，前n项和Sn （Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）求{an}的通项公式。

【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用。 解：（1）由a1 1与Sn

n 2

an。 3

n 2

an可得 3

，

2 2

a2 a1 a2 a2 3a1 333 22S3 a3 a1 a2 a3 a3 a1 a2 4 a3 6

33S2

故所求a2,a3的值分别为3,6。

n 2n 1

an① Sn 1 an 1② 33n 2n 1

an an 1即 ①－②可得Sn Sn 1 33

（2）当n 2时，Sn

an

an 2n 1n 1n 1n 1

an an 1 an an 1 n

3333an 1n 1

anan 1a2n 1n3n2 n故有an a1 1

an 1an 2a1n 1n 212

12 1n2 n 1 a1，所以 an 的通项公式为an 而 22

【点评】试题出题比较直接，没有什么隐含的条件，只要充分发挥利用通项公式和前n项和的关系式变形就可以得到结论。

28.【2012高考安徽文21】（本小题满分13分）

设函数f（x）=

x

+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}. 2

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn。 【答案】

x12 sinx f (x) cosx 0 x 2k (k Z)， 2232 2

f (x) 0 2k x 2k (k Z)，

332 4

f (x) 0 2k x 2k (k Z)，

332

(k Z)时，f(x)取极小值， 得：当x 2k 32

得：xn 2n 。

3

2

（II）由（I）得：xn 2n 。

3

2n 2n

Sn x1 x2 x3 xn 2 (1 2 3 n) n(n 1) 。

33

【解析】（I）f(x)

当n 3k(k N)时，sinSn sin( 2k ) 0， 当n 3k 1(k

N)时，sinSn sin

**

2 ，

324 ， 3当n 3k 2(k

N)时，sinSn sin

*

*

得： 当n 3k(k N)时，sinSn 0， 当n 3k 1(k

N)时，sinSn

*

当n 3k 2(k

N)时，sinSn *

29．【2012高考上海文23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于项数为m的有穷数列 an ，记bk max a1,a2,...,ak （k 1,2,...,m），即bk为

a1,a2,...,ak中的最大值，并称数列 bn 是 an 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列

是1，3，3，5，5

（1）若各项均为正整数的数列 an 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的 an （2）设 bn 是 an 的控制数列，满足ak bm k 1 C（C为常数，k 1,2,...,m），求证：

bk ak（k 1,2,...,m）

1

（3）设m 100，常数a ,1 ，若an an2 ( 1)

2

求(b1 a1) (b2 a2) ... (b100 a100)

[解]（1）数列{an}为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 （2）因为bk max{a1,a2, ,ak}，bk 1 max{a1,a2, ,ak,ak 1}， 所以bk 1 bk. ……6分 因为ak bm k 1 C，ak 1 bm k C，

所以ak 1 ak bm k 1 bm k 0，即ak 1 ak. ……8分 因此，bk ak. ……10分 （

3

）

对

n(n 1)

2

n， bn 是 an 的控制数列，

k 1,2, ,25

，

a4k 3 a(4k 3)2 (4k 3)

；

a4k 2 a(4k 2)2 (4k 2)；

a4k 1 a(4k 1)2 (4k 1)；a4k a(4k) (4k).

比较大小，可得a4k 2 a4k 3. ……12分

因为1 a 1，所以a4k 1 a4k 2 (a 1)(8k 3) 0，即a4k 2 a4k 1； 2 a4k a4k 2 2(2a 1)(4k 1) 0，即a4k a4k 2.

2

又a4k 1 a4k，

从而b4k 3 a4k 3，b4k 2 a4k 2，b4k 1 a4k 2，b4k a4k. ……15分

因此(b1 a1) (b2 a2) (b100 a100)

=(b3 a3) (b7 a7) (b10 a10) (b4k 1 a4k 1) (b99 a99) =(a2 a3) (a6 a7) (a9 a10) (a4k 2 a4k 1) (a98 a99) =

(a

k 1

25

4k 2

(1 a). ……18分 a4k 1)=(1 a) (8k 3)=2525

k 1

25

【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于

信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视． 30．【2012高考广东文19】（本小题满分14分）

设数列 an 前n项和为Sn，数列 Sn 的前n项和为Tn，满足Tn 2Sn n2，n N.

*

（1）求a1的值；

（2）求数列 an 的通项公式. 【答案】

【解析】（1）当n 1时，T1 2S1 1。

因为T1 S1 a1，所以a1 2a1 1，求得a1 1。

（2）当n 2时，Sn Tn Tn 1 2Sn n2 [2Sn 1 (n 1)2] 2Sn 2Sn 1 2n 1， 所以Sn 2Sn 1 2n 1 ① 所以Sn 1 2Sn 2n 1 ② ② ①得 an 1 2an 2， 所以an 1 2 2(an 2)，即

an 1 2

2(n 2)，

an 2a2 2

2。 a1 2

求得a1 2 3，a2 2 6，则

所以 an 2 是以3为首项，2为公比的等比数列，

所以an 2 3 2n 1，

所以an 3 2n 1 2，n N。

31．【2102高考福建文17】（本小题满分12分）

在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55. （Ⅰ）求an和bn；

（Ⅱ）现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。

考点：等差数列，等比数列，古典概型。 难度：易。

分析：本题考查的知识点为演绎推理，等差等比数列的定义和通项公式，前n项和公式和古典概型，直接应用。

解答：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q 则S10 10a1 45d 55 d 1 an a1 (n 1)d n b4 b1q3 8 q 2 bn b1 qn 2n 1 得：an n,bn 2n 1

（Ⅱ）a1 1,a2 2,a3 3,b1 1,b2 2,b3 4，各随机抽取一项写出相应的基本事件有

*

9个()3,,(22),,4()3共,,(4) (1,1),(1,2)(1,4)(2,1),(2,2

符合题意有(1,1),(2,2)共2个 这两项的值相等的概率为

32．【2012高考江西文17】（本小题满分12分）

已知数列|an|的前n项和Sn kc k（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3 （1）求an；

（2）求数列{nan}的前n项和Tn。 【答案】

n

2 9

【解析】(1)当n 1时，an Sn Sn 1 k(cn cn 1) 则an Sn Sn 1 k(cn cn 1)

a6 k(c6 c5)，a3 k(c3 c2)

a6c6 c5

32 c3 8，∴c=2.∵a2=4，即k(c2 c1) 4，解得k=2，∴an 2n（n）1） a3c c

当n=1时，a1 S1 2 综上所述an 2n(n N*) (2) nan n2n，则

Tn 2 2 22 3 23 n2n(1)

2Tn 1 2 2 2 3 2 (n 1)2 n2

2

3

4

n

n 1

(2)

（1）-（2）得

Tn 2 22 23 2n n2n 1 Tn 2 (n 1)2n 1

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