河北饶阳中学高二数学寒假作业高中数学选修2-1知识点

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高二数学选修2－1

第一章：命题与逻辑结构 知识点：

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若 p，则 q”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若 q，则 p”。

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，

p q是假命题．

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作 p．

若p是真命题，则 p必是假命题；若p是假命题，则 p必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对 中任意一个x，有p x 成立”，记作“ x ，p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在 中的一个x，使p x 成立”，记作“ x ，p x ”．

10、全称命题p： x ，p x ，它的否定 p： x ， p x 。全称命题的否定是特称命题。

特称命题p： x ，p x ，它的否定 p： x ， p x 。特称命题的否定是全称命题。

考点：1

、充要条件的判定

2、命题之间的关系

第二章：圆锥曲线 知识点：

11、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化

M x,y 及其他的点；③找出满足限制条件的等式；④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。

12、平面内与两个定点F1，F2F1F2）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。MF1 MF2 2a 2a 2c

6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 真 真 真 假 假 真 假 假

四种命题的真假性之间的关系：

否命题 真 假 真 假

逆否命题 真 真 假 假

1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q．

当p、q都是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q是假命题．

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q．

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F1 F2则 e。

d1d2

15、平面内与两个定点F1，F2F1F2）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。

17、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

18、设 是双曲线上任一点，点 到F点 到Fd2，d1，

F1 F2

e。 d1d2

18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物

则

线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、 两点的线段 ，称为抛物线的“通径”，即 2p．

MF1 MF2 2a 2a 2c

20、焦半径公式：

若点

x0,y0 x0,y0 x0,y0

在抛物线

y 2px p 0

2

上，焦点为F，则

F x0

p2；

若点在抛物线

y 2px p 0

2

上，焦点为F，则

F x0

p2；

若点在抛物线

x 2py p 0

2

上，焦点为F，则

F y0

p2；

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若点

x0,y0

在抛物线

x 2py p 0

2

上，焦点为F，则

F y0

p2．

2 向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的

21、抛物线的几何性质：

y2 2px

y2 2px标准方程

p 0

p 0

图形

顶点

0,0

对称轴

x轴

焦点

F p 2,0

F p

2,0 准线方程

x

p

2x

p

2

离心率

e 1

范围

x 0 x 0

考点：1、圆锥曲线方程的求解

2、直线与圆锥曲线综合性问题 3、圆锥曲线的离心率问题

第三章：空间向量 知识点：

1、空间向量的概念：

1 在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

x2 2py

p 0

y轴

F

p 0,2

y

p2

y 0 x2 2py

p 0

F

p 0, 2

y

p2

y 0

方向．

3 向量

的大小称为向量的模（或长度）

，记作 ． 4 模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． 5 与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作 a

． 6 方向相同且模相等的向量称为相等向量．

2、空间向量的加法和减法：

1 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平

行四边形法则．即：在空间以同一点 为起点的两个

已知向量a 、b

为邻边作平行四边形 C ，则以

起点的对角线 C 就是a 与b

的和，这种求向量和的

方法，称为向量加法的平行四边形法则．

2 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角

形法则．即：在空间任取一点 ，作 a ， b

，则 a b ．

3、实数 与空间向量a 的乘积 a 是一个向量，称为向量的数乘运算．当 0时， a 与a

方向

相同；当 0时， a 与a 方向相反；当 0时， a 为零向量，记为 0． a 的长度是a

的长

度的

倍．

4、设 ， 为实数，a ，b

是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律： a b

a b ；结合律： a a

．

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

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6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb 0，a//b的充要条件是存在实数 ，

使得p xa yb zc．

16、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是

使a b．

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

8、向量共面定理：空间一点 位于平面 C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使

pp xa yb zc,x,y,z R．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，

x y C；或对空间任一定点，有 x y C；或若四点 ， ， ，

a,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空

间的一个基底．

C共面，则 x y z C x y z 1 ．

9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点 ，作 a， b，则 称为向量a，

b的夹角，记作 a,b ．两个向量夹角的取值范围是： a,b 0, ．

10、对于两个非零向量a和b，若 a,b ，则向量a，b互相垂直，记作a b．

2

11、已知两个非零向量a和b，则abcos a,b 称为a，b的数量积，记作a b．即

17、设e1，e2，e3为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，

e2，e3的公共起点 为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间

直角坐标系 xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点 重合，

得到向量 p．存在有序实数组 x,y,z ，使得p xe1 ye2 ze3．把x，y，z称作向量p

在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p x,y,z ．此时，向量p的坐标是点 在空间直

角坐标系 xyz中的坐标 x,y,z ．

a b cos a,b ．零向量与任何向量的数量积为0．

12、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos a,b 的乘积． 13若a，b为非零向量，e为单位向量，则有 1 e a a e acos a,e ；

18、设a x1,y1,z1 ，b x2,y2,z2 ，则 1 a b x1 x2,y1 y2,z1 z2 ．

2 a b x1 x2,y1 y2,z1 z2 ．

2 aba与b同向 ，a a a，a 2 a b a b 0； 3 a b

aba与b反向

a b

acos a,b ； 4 5 b ab．

ab

3 a x1, y1, z1 ．

4 a b x1x2 y1y2 z1z2．

5 若a、b为非零向量，则a b a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0．

14量数乘积的运算律： 1 a b b a； 2 a b a b a b；

6 若b 0，则a//b a b x1 x2,y1 y2,z1 z2． 7

a

a b

8

cos a,b

ab

3

a b c a c b c．

15、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组 x,y,z ，

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9 x1,y1,z1 ， x2,y2,z2 ，则

d

称为点 的位置向量．

19、在空间中，取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来表示．向量

20、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点 以及一个定方向确定．点 是直线l上一

点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点 ，有 ta，这样点 和向量a

不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点．

21、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点 ，它

b． 为平面 上任意一点，们的方向向量分别为a，存在有序实数对 x,y ，使得 xa yb，

这样点 与向量a，b就确定了平面 的位置．

22、直线l垂直 ，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面 的法向量．

23、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//b a//b

n1 n2

就是二面角的平面角的大小．若二面角 l 的平面角为 ，则cos ．

n1n2

29、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 的模 计算．

30、在直线l上找一点 ，过定点 且垂直于直线l的向量为n，则定点 到直线l的距离为

n

d cos ,n ．

n

31、点 是平面 外一点， 是平面 内的一定点，n为平面 的一个法向量，则点 到平面

n

的距离为d cos ,n ．

n考点：1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直

2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直 3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题

典型例题：

★★1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余

弦值为

★★★2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90 ，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.

（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小． ★★★3.如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA 平面ABCDE，

AB//CD，AC//ED，AE//BC， ABC 45 ,AB 22,BC 2AE 4，三角形PAB是等腰三角形。

（Ⅰ）求证：平面PCD 平面PAC；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；

（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积。

a b R ，a b a b a b 0．

24、若直线a的方向向量为a，平面 的法向量为n，且a ，则a// a//

a n a n 0，a a a//n a n．

25、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为a，b，则 // a//b

a b， a b a b 0．

26、设异面直线a，b的夹角为 ，方向向量为a，b，其夹角为 ，则有

a b

cos cos ．

ab

27、设直线l的方向向量为l，平面 的法向量为n，l与 所成的角为 ，l与n的夹角为 ，

l n

则有sin cos ．

ln

28、设n1，n2是二面角 l 的两个面 ， 的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）

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