人教A版选修1-2之2.2.1综合法

紧扣课本教材的课件,已经实践过了

2.2 直接证明与间接证明

2.2.1 综合法

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复习推 理合情推理(或然性推理) 或然性推理)

演绎推理 必然性推理) (必然性推理) 三段论 一般到特殊) (一般到特殊)

归纳(特殊到一般) 特殊到一般) 特殊到一般

类比 特殊到特殊) (特殊到特殊)

演绎推理是证明数学结论、 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程. 重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现, 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推 理.

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合情推理是发现 的方法 合情推理是发现的方法， 演绎推理是数学中严 发现 的方法， 证明的工具 的工具. 格证明的工具. 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的. 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的. 今天,我们就来认识一些基本的证明方法…… 今天,我们就来认识一些基本的证明方法……

合 综 法 接 明 直 证 证 的 法 明 方 析 分 法 间 证 ( 证 ) 接 明 反 法

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探究( 探究(一):综合法

例 已知a,b>0,证明

a(b + c ) + b(c + a ) ≥ 4abc2 2 2 2

思考1 上式有什么特点？ 右边是3个数 ， 的乘积的4 右边是3个数a,b,c的乘积的4倍，左边 为两项之和， 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积. 另两个数的平方和之积.

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思考2 思考2:利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？ 的平方和与这两个数的积的不等关系？ 基本不等式 思考3:若已知a>0,b>0,如何利用不 思考3 若已知 > > 等式性质证明 2 2 + 2 2 a (b + c ) + b(c + a ) 4abc + +

a(b + c ) + b(c + a ) ≥ 4abc2 2 2 2

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例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 已知a>0,b>0,求证a(b a>0,b>0,求证 证明:因为b2+c2 证明:因为b≥2bc,a>0

所以a(b 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c 又因为c2+b2≥2bc,b>0

所以b(c 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

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例2 在 ABC中, 设CB = a, CA = b, 1 2 2 2 求证 : S ABC = | a | | b | ( a b ) 2分析：由已知条件和结论我们联想到数量 分析： 积定义和三解形的面积公式： 积定义和三解形的面积公式：S = 1 ab 2 sin C

由数量积定义和上公式结合结论探求证 明思路

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(自学课本)例：在△ABC中，三个内角A、 自学课本) B、C对应的边分别为 、b、c,且A、B、C 对应的边分别为a、 、 , 成等差数列， 、 、 成等比数列 求证： 成等比数列， 成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△A 为等边三角形. BC为等边三角形.

余弦定理 : b = a + c 2ac cos B2 2 2

学会语言转换 找出隐含条件

文字语言 图形语言 符号语言

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证明： 证明： 成等差数列， 由A,B,C成等差数列，有2B=A+C,--------

----① 成等差数列 ， ① 因为A,B,C是三角形的内角，所以 是三角形的内角， 因为 是三角形的内角 所以A+B+C=180o ② 所以B=60o。-----------------------------------------③ 所以 ③ 成等比数列， 由a,b,c成等比数列，有b2=ac, ----------------④ 成等比数列 ④ 由余弦定理得， 由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有④ 再有④得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0 , 因此a=c。从而有 因此 。从而有A=C-------------------------------⑤ ⑤ 则由② 则由② ③ ⑤得A=B=C=60o. 所以三角形ABC是等边三角形。 是等边三角形。 所以三角形 是等边三角形

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