高一文科数学上学期期末考试试题
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高一文科数学上学期期末考试试题
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的. 1.若sin??????A.第一、二象限
4,则?角的终边在 ( ) 5B.第二、三象限
C.第一、四象限
D.第三、四象限
???????2.若a?(1,2),b?(4,k),c?0,则(a?b)c? ( )
A.0
? B.0
C.4?2k D.8?k
3.已知a,b为非零实数,且a?b,则下列不等式一定成立的是 ( )
11? C.|a|?|b| D.2a?2b ab?????(a?a)b??????4.若向量a与b不共线,a?b?0,且c?a???,则向量a与c的夹角为 ( )
a?bA.a?b B.
22A.
ππ B. 26 C.
π 3 D.0
5.若a≥0,b≥0,且a?b?2,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.ab≤212222 B.ab≥ C.a?b≤2 D.a?b≥2 222226.设m,x?R,M?x?2m,N?mx?m?1,则M,N的关系为 ( ) A.M?N B.M?N C.M≥N D.M≤N 7.函数y?2sin?xcos?x (??0)的最小正周期为?,则函数f(x)?2sin(?x??2)的
一个单调增区间是 ( ) A.[?,]
8.已知函数f(x)?tan(2x?b?)的图象的一个对称中心为(??22 B.[,??
?2 C.[?,]
??2 D.[0,]
?2?3,0),若|b|?1,则f(x)的 23eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!
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解析式为 ( ) A.tan(2x?C.tan(2x???) B.tan(2x?) 36?)或tan(2x?) D.tan(2x?)或tan(2x?) 6363???9.已知偶函数f(x)满足:f(x)?f(x?2),且当x?[0,1]时,f(x)?sinx,其图象与
?????1P?P直线y?在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P则P13P241,P2?,
2A.2
B.4
C.8
D.16
等于( )
????????10.设S是?ABC的面积,A,B,C的对边分别为a,b,c,且2SsinA?(BA?BC)sinB,
则 ( ) A.?ABC是钝角三角形 B.?ABC是锐角三角形 C.?ABC可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 D.无法判断
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
????????????11.在平行四边形ABCD中,若AB?(2,4),AC?(1,3),则AD?____.(用坐标表示)
????????12.已知三点A(1,2),B(2,?1),C(2,2),若E,F为线段BC的三等分点,则AE?AF= .
13.函数f(x)?x(x≥1)的最大值为________.
x2?2x?414.已知关于x的方程sinx?cosx?a的解集是空集,则实数a的取值范围是___________. 15.已知实数a、b、c满足条件ab?bc?ca?1,给出下列不等式: ①ab?bc?ca≥1;②④abc?abc?abc≤; 其中一定成立的式子有_________.
2222222221≥23;③ (a?b?c)2?2; abc13答题卡
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题号 答案 题号 答案 1 11 2 3 12 4 5 13 6 7 14 8 9 15 10 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16.(本小题满分12分)解不等式:log1(x2?4x?3)?log1(?x?1).
22
?17.(本小题满分12分)若将函数f(x)?sinx的图象按向量a?(??,?2)平移后得到函数
g(x)的图象.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数F(x)?f(x)?
1的最小值. g(x)????????????18.(本小题满分12分)已知向量OA?(3,?4),OB?(6,?3),OC?(5?x,?3?y).
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(Ⅰ)若点A,B,C能构成三角形,求x,y应满足的条件; (Ⅱ)若?ABC为等腰直角三角形,且?B为直角,求x,y的值.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,tanA?(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若△ABC最大边的边长为17,求最小边的边长.
20.(本小题满分13分)“5?12”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,都会选择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到
D P C
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救治。设有三个乡镇,分别位于一个矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处,,且与A,B等距离的一点O处AB?10km,BC?5km,现要在该矩形的区域内(含边界)建造一个医疗站,记O点到三个乡镇的距离之和为y. (Ⅰ)设?BAO??(rad),将y表示为?的函数;
(Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三个乡镇到医疗站的距离之和最短.
21. (本小题满分14分)已知?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
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(Ⅰ)证明:
a?bc; ?2a?ba?c222222(Ⅱ)证明:不论x取何值总有bx?(b?c?a)x?c?0; (Ⅲ)若a?c≥2,证明:
111??.
a?c?1(c?1)(a?1)6
黄冈中学
湖北省 2008春季高一数学期末考试试题(文)
鄂南高中
命题:张科元 审稿:王宪生 校对:胡华川
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的. 1.若sin??????A.第一、二象限 [提示]:?sin???4,则?角的终边在( D ) 5B.第二、三象限
C.第一、四象限
D.第三、四象限
4?0,∴?角的终边在第三、四象限. 5???????2.若a?(1,2),b?(4,k),c?0,则(a?b)c? ( B )
A.0
? B.0
C.4?2k D.8?k
????[提示]:?(a?b)c?0.
3.已知a,b为非零实数,且a?b,则下列不等式成立的是( D ) A.a?b B.
2211? C.|a|?|b| D.2a?2b abx[提示]:不知a,b的正负,A ,B ,C都不能确定,而函数y?2单调递增.
?????(a?a)b????????4.若向量a与b不共线,a?b?0,且c?a?,则向量a与c的夹角为( A ) a?bA.
ππ B. 26 C.
π 3 D.0
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??????(a?a)b?a??a????????????a?b?a?a?a?aa?c?????????0. [提示]:设向量a与c的夹角为?,cos???|a|?|c||a|?|c||a|?|c|5.若a?0,b?0,且a?b?2,则下列不等式一定成立的是(D)
A.ab?212222 B.ab? C.a?b?2 D.a?b?2 22a2?b2,∴a2?b2?2. 222a?b?[提示]:?ab?226.设m,x?R,M?x?2m,N?mx?m?1,则M,N的关系为 ( A ) A.M?N B.M?N C.M?N D.M?N [提示]:?M?N?x?mx?m?1?(x?22m232)?m?1?0. 247.函数y?2sin?xcos?x (??0)的最小正周期为?,则函数f(x)?2sin(?x?一个单调增区间是(C) A.[?,]
?2)的
??22 B.[,??
?2 C.[?,]
??2 D.[0,]
?2[提示]:∴??1,f(x)?2sin(x??y?2sin?xcos?x?sin2?x,(??0).在[?,]上单调递增.
8.已知函数f(x)?tan(2x?b?)的图象的一个对称中心为(解析式为(D) A.tan(2x?C.tan(2x??2 )?2cosx,
??2?3,0),若|b|?1,则f(x)的 2??) B.tan(2x?) 36?)或tan(2x?) D.tan(2x?)或tan(2x?) 6363?k?2k111[提示]:?2??b?? ,∴b??,(k?Z),又|b|?,∴k?1,2,b??或.
32322369.已知偶函数f(x)满足:f(x)?f(x?2),且当x?[0,1]时,f(x)?sinx,其图象与
????????1P?P直线y?在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P则P等于( B ) 13P241,P2?,
2A.2 B.4 C.8 D.16
??????????[提示]:依题意P1P3与P2P4同向,且P1,P2,P3,P4四点共线,P1与P3, P2与P4的横坐标都??????????????????????????????|PP|?2|PP|?2PP?PP?|PP||PP相差一个周期,所以13,24,13241324|?4.
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????????10.设S是?ABC的面积,A,B,C的对边分别为a,b,c,且2SsinA?(BA?BC)sinB,
则 (A)
A.?ABC是钝角三角形 B.?ABC是锐角三角形 C.?ABC可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 D.无法判断
????????1[提示]:?2SsinA?(BA?BC)sinB,∴2a?bcsinA?b?cacosB,∴sinA?cosB,
2∴?B为锐角,sinA?cosB?sin(角三角形,若?A为锐角,则A??2?B),若?A为钝角,且满足上式,则?ABC是钝
?2?B,?A?B??2,C??2,?ABC是钝角三角形.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
????????????11.在平行四边形ABCD中,若AB?(2,4),AC?(1,3),则AD?____.(用坐标表示) ????????????????????[提示]:?AB?DC?(2,4),∴AD?AC?DC?(1,3)?(2,4)?(?1,?1).
????????12.已知三点A(1,2),B(2,?1),C(2,2),若E,F为线段BC的三等分点,则AE?AF= 3.
[提示]:?B(2,?1),C(2,2),E,F为线段BC的三等分点,∴E(2,0),F(2,1),
????????????????AE?(1,?2),AF?(1,?1),∴AE?AF?1?2?3.
1x的最大值为_________. ,(x?1)26x?2x?4x111[提示]:?f(x)?2???,当且仅当x?2时取等号.
x?2x?4x?4?224?26x14.已知关于x的方程sinx?coxs?a的解集是空集,则实数a的取值范围是
13.函数f(x)?_______(???2)?(2,??)_______. [提示]:?a?sinx?cosx?2sin(x?)?[?2,2],又其解集为空集,∴a?(??,
4??2)?(2,??).
15.已知实数a、b、c满足条件ab?bc?ca?1,给出下列不等式: ①ab?bc?ca?1;②
222222112222③ (a?b?c)?2;④abc?abc?abc?; ?23;abc3其中一定成立的式子有__③④_______. [提示]:a?b?c?32时排除①;a?2,b?3,c??1时排除②;而(a?b?c) 3?a2?b2?c2?2(ab?bc?ca)?3(ab?bc?ca)?3?2,∴③成立;(ab?bc?ca)2
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?3[(ab)(bc)?(bc)(ca)?(ca)(ab)]?3(a2bc?ab2c?abc2),∴④成立.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16.(本小题满分12分)解关于x的不等式:log1(x2?4x?3)?log1(?x?1).
2222[解答]:由x?4x?3?0,?x?1?0,得x?1,所以依对数的性质有:x?4x?3??x?1,∴x?3x?2?0,∴x?2或x?1,又x?1,∴x?1,不等式的解集为?x|x?1?.
2?17.(本小题满分12分)若将函数f(x)?sinx的图象按向量a?(??,?2)平移后得到函数
g(x)的图象.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数F(x)?f(x)?1的最小值. g(x)?[解答]:(Ⅰ)设P(x,y)是函数f(x)?sinx的图象上任意一点,按向量a?(??,?2)平移
''???x?x???x?x??后在函数g(x)的图象上的对应点为P(x,y),则:?',∴?,即 '???y?y?2?y?y?2'''y'?2?sin(x??),所以函数g(x)??sinx?2;
(Ⅱ)?F(x)?f(x)?111?sinx??sinx?2??2? g(x)sinx?2sinx?22(sinx?2)?11,即sinx??1时,F(x)min?0. ?2?0,当sinx?2?sinx?2sinx?2????????????18.(本小题满分12分)已知向量OA?(3,?4),OB?(6,?3),OC?(5?x,?3?y).
(Ⅰ)若点A,B,C能构成三角形,求x,y应满足的条件; (Ⅱ)若?ABC为等腰直角三角形,且?B为直角,求x,y的值.
????[解答]:(Ⅰ) 若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线,?AB?(3,1),
????AC?(2?x,1?y), ∴3(1?y)?2?x,∴x,y满足的条件为3y?x?1(若根据点A,B,C能构成三角形,必须|AB|?|BC|?|AC|,相应给分);
?????????????????AB?(3,1),BC?(?x?1,?y),(Ⅱ)若?B为直角,则AB?BC,∴3 (?x1)??y0?,
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?????????x?0?x??222 又|AB|?|BC|,∴(x?1)?y?10,再由y?3(?x?1),解得?或?.
?y??3?y?319.(本小题满分12分)在△ABC中,tanA?(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若△ABC最大边的边长为17,求最小边的边长. [解答]:(Ⅰ)?C?π?(A?B),?tanA?13,tanB?. 451?tanC??tan(A?B)? 413?45??1.又?0?C?π,?C?3π; ?1341??45(Ⅱ)?C?3????,?AB边最大,即AB?17.又?tanA?tanB,A,B??0,?, 4???41717ABBC,? sinA?.由得:?1717sinCsinA?角A最小,BC边为最小边.?cosA?BC?AB?sinA?2,所以,最小边BC?2. sinC20.(本小题满分13分)“5?12”汶川大地震中,受灾面积大,伤亡惨重,医疗队到达后,
都会选择一个合理的位置,使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇,分别位于一个矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处,AB?10km,BC?5km,现要在该矩形的区域内(含边界),且与A,B等距离的一点O处建造一个医疗站,记O点到三个乡镇的距离之和为y.
(Ⅰ)设?BAO??(rad),将y表示为?的函数; (Ⅱ)试利用(Ⅰ)的函数关系式确定医疗站的位置,使三个乡镇到医疗站的距离之和最短.
[解答]:(Ⅰ)如图,延长PO交AB于点Q,由题设可知
A O B
D P C
1AB?5,AO?BO,PO?5?OQ,在Rt?ABC中,2510?AO?,OQ?5tan?,?y?AO?BO?PO??5?5tan?,又?0???,
cos?cos?410??y??5tan??5,(0???);
cos?4102?sin?2?sin??(Ⅱ)?y??5tan??5?5??5,令u?,0???,则
cos?cos?cos?4BQ?AQ?3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网!
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ucos??sin??2,?u2?1sin(???)?2,(tan??u),?sin(???)?2u?12?1,
?u?3或u??3(舍),当u?3时,??站的位置O满足???3,????[0,],所以y最小,即医疗
64??6,AO?BO?10353km,PO?5?km,可使得三个乡镇到医疗33站的距离之和最短.
21. (本小题满分14分)已知?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (Ⅰ)证明:
a?bc; ?2a?ba?c222222(Ⅱ)证明:不论x取何值总有bx?(b?c?a)x?c?0; (Ⅲ)若a?c?2,证明:
111??.
a?c?1(c?1)(a?1)6[解答]:(Ⅰ)?a,b,c?0,∴要证
2a?bc,即证(a?b)(a?c)?(2a?b)c,整理?2a?ba?c得:a?ab?ac,即证a?b?c,而a?b?c在三角形中显然成立,则原不等式成立; (Ⅱ)令y?bx?(b?c?a)x?c,由余弦定理b?c?a?2bccosA,
222222222???(b2?c2?a2)2?4b2c2?4b2c2cos2A?4b2c2?4b2c2(cos2A?1),在三角形中
cos2A?1,???0,再由b2?0得:不论x取何值总有b2x2?(b2?c2?a2)x?c2?0;(Ⅲ)?a?c?0,∴
111?c?11???? ??a?c?1(c?1)(a?1)c?1?a?c?1a?1?1?c?a?c?11?????c?1?a?c?a?c?1a?1?1a21111??2?????31c?12a?3a?1c?12?(?)c?12aa2111??,即原不等式成立. 2?126
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ucos??sin??2,?u2?1sin(???)?2,(tan??u),?sin(???)?2u?12?1,
?u?3或u??3(舍),当u?3时,??站的位置O满足???3,????[0,],所以y最小,即医疗
64??6,AO?BO?10353km,PO?5?km,可使得三个乡镇到医疗33站的距离之和最短.
21. (本小题满分14分)已知?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (Ⅰ)证明:
a?bc; ?2a?ba?c222222(Ⅱ)证明:不论x取何值总有bx?(b?c?a)x?c?0; (Ⅲ)若a?c?2,证明:
111??.
a?c?1(c?1)(a?1)6[解答]:(Ⅰ)?a,b,c?0,∴要证
2a?bc,即证(a?b)(a?c)?(2a?b)c,整理?2a?ba?c得:a?ab?ac,即证a?b?c,而a?b?c在三角形中显然成立,则原不等式成立; (Ⅱ)令y?bx?(b?c?a)x?c,由余弦定理b?c?a?2bccosA,
222222222???(b2?c2?a2)2?4b2c2?4b2c2cos2A?4b2c2?4b2c2(cos2A?1),在三角形中
cos2A?1,???0,再由b2?0得:不论x取何值总有b2x2?(b2?c2?a2)x?c2?0;(Ⅲ)?a?c?0,∴
111?c?11???? ??a?c?1(c?1)(a?1)c?1?a?c?1a?1?1?c?a?c?11?????c?1?a?c?a?c?1a?1?1a21111??2?????31c?12a?3a?1c?12?(?)c?12aa2111??,即原不等式成立. 2?126
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