2009高考数学考点预测(29)

2009高考数学考点预测（29）：

转化与化归的思想方法

化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解

决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等。化归灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力。高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。

1. 转化运算．

例1.若动直线x?a与函数f(x)?sinx和g(x)?cosx的图像分别交于M，N两点，则

MN的最大值为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．2

分析: 动直线x?a与函数f(x)?sinx和g(x)?cosx的图像分别交于M，N两点, 横坐标相同，那么MN就是纵坐标之差，即MN?sinx?cosx求最值。

解: MN?sinx?cosx????2sin?x??最大值为2 4??评注:审题要审准，读懂题意，将问题学会转化。

x例2．（2008湖北卷，理14）已知函数f(x)?2,等差数列{ax}的公差为2.若

f(a2?a4?a6?a8?a10)?4,则log2[f(a1)?f(a2)f(a3)??f(a10)]? . 分析：题目中的已知条件很容易求得a2?a4?a6?a8?a，1而所求的为

log2[f(a1)?f(a2)f(a3)??f(a10)]可以转化为等差数列{ax}的前10项之和，根据公差，

可以把前10项之和转化为用a2?a4?a6?a8?a10表示出来，从而求得。 解：由f(x)?x2和f(a2?a4?a6?a8?a10)?4知a2?a4?a6?a8?a10?2，

?f(a10)]?log2f(a1)?log2f(a2)??log2f(a10)

log2[f(a1)?f(a2)f(a3)?=a1?a2?a3??a10?2?a2?a4?a6?a8?a10??5?2??6

评注：仔细分析题目，把运算进行转化，可以大大地节省时间，提高做题的效率。本题中把等差数列{ax}的前10项之和转化为用a2?a4?a6?a8?a10表示出来，比较快捷，减少计算量。

2．新定义运算转化为普通运算

例3．（2008山东省泰安市）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义集合A#B为阴影

x部分表示的集合．若x,y?R,A?x|y?2x?x2，B?y|y?3????x?0??， 则A#B

为（ ）

A．?x|0?x?2? B．?x|1?x?2?

C．x|0?x?1或x?2 D．x|0?x?1或x?2

分析：根据图形语言可知定义的A#B转化为原有的运算应该是表示为eA要求出AB?????AB?，所以需

B和AB，借助数轴求出并集与交集。

解：A?x|y?2x?x2?x2x?x2?0?x0?x?2，0 1 2 x

??????B??y|y?3x运算，得A#B=eA答案：D

?x?0????yBy?1?，则AB??xx?0?,AB??x1?x?2?，根据新

?AB???x0?x?1或x?2?故选D

评注：本题是集合中的新定义运算题，综合考查了图形语言、集合的描述法表示，函数的定义域和值域，以及集合的交并补的运算。解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出。

例4．（2008山东省郓城一中）定义一种运算a?b???a,a?b，令

?b,a?b5??????f?x??cos2x?sinx?，且x??0,?，则函数f?x??的最大值是（ ）

42???2???A．

5 4B．1

C．?1 D．?5 45的大小关系，4分析：根据新定义，知要确定函数f?x?的解析式，需要比较cos2x?sinx与

即需要求cos2x?sinx的取值范围，另外，还要注意自变量的取值范围，再确定f?x?的解析式，从而求出函数的最大值。

?????2?1?5?解：设y?cosx?sinx??sinx?sinx?1???sinx???，

2?4?222∵x??0,55???20?sinx?1，∴，∴，即， 1?y?1?cosx?sinx??44?2?根据新定义的运算可知f?x??cos2x?sinx，x??0,2???? 2??2??????1?51?5?????∴f?x?????sin?x????????cosx???（x??,??）

2?2?2?42?4?2?????∴函数f?x?????5?的最大值是，故选A

42?答案：A

评注：解决新定义问题，首先要把定义读懂理解透，把陌生的新内容转化为熟悉的已知的内容，在此基础上进一步研究熟悉的问题。

3．转化函数关系

例5．（2008山东卷，文15）已知f(3x)?4xlog23?233， 则f(2)?f(4)?f(8)??f(28)的值等于 ．

x分析：本题中的函数不是以x为整体，而是以3为整体给出的解析式，所以要求函数值，需要先求关于x的解析式，再代入求值。

解：∵f(3x)?4xlog23?233?4log23x?233，∴f?t??4log2t?233， 则f(2)?f(4)?f(8)??f(28)

??4log228?233???4log22?233???4log24?233???4log28?233???4?1?2?3??8??8?233?2008

评注：有些题目中往往所给的解析式不是关于x的解析式，这时需要我们把解析式进行转化，本题中先把函数进行转化，然后进行运算。

4．函数与导函数之间的转化

例6．（2008湖北卷，理7）若f(x)??取值范围是 （ ）

12x?bln(x?2)在(-1,+?)上是减函数，则b的2A. [?1,??) B. (?1,??) C. (??,?1] D. (??,?1)

分析：把已知条件函数在某区间上是单调减函数需要转化为函数的导函数在此区间上是恒负，再分化出b，转化为函数研究最值问题解决。 解：∵f(x)??12bx?bln(x?2)在(-1,+?)上是减函数，∴f'?x???x??0在2x?2??1,???上恒成立，即b?x?x?2?在??1,???上恒成立，设g?x??x?x?2???x?1?2?1在??1,???上单调递增，∴g?x???1，∴当b??1时，b?x?x?2?在??1,???上恒成立，即

1f(x)??x2?bln(x?2)在(-1,+?)上是减函数。故选C

2答案：C

评注：函数的单调性通常转化为导函数的正负判断，而不等式恒成立又常常转化为函数研究最值问题，本题中还要注意做题的严密性，等号不能丢掉。

例7．（2008福建卷，理12）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）

分析：注意观察导函数的图象以及原函数的图象，并把所得到的信息转化为原函数的信息，加以排除选择。

解：令F(x)?f(x)?g(x)，则F?(x)?f?(x)?g?(x)，当x?x0时，由图象知

f?(x)?g?(x)，即F?(x)?0，F(x)是增函数，则答案Ａ，Ｃ错， 当x?x0时，f?(x)?g?(x)，即F?(x)?0，F(x)是减函数，则答案Ｂ错，故选Ｄ．

答案：Ｄ

评注：对于由图形给出的信息要从中提炼出来，并适当地用数学语言表述准确，本题中的两个函数可以转化为一个函数，进行构造，导函数的正负转化为原函数的增减。

5.三视图转化为立体图

例8．（2009莱阳模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（ ） A．V?32,n?2 B．V?C．V?64,n?3 332,n?6 D．V?16,n?4 364，故选B 3分析：由三视图转化为立体图，再做解答。

解：根据三视图，可知此几何体为一个如图所示的四棱锥，其体积为

答案：B

评注：高考题注重对立体几何中的三视图的考查，一般是给出几何体的三视图，让我们还原为立体图，然后求出一些几何量。 例9．（2008山东淄博市模拟）一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）

正视图 侧视图 俯视图

3 A．

22B．

3P

C．12 D．6

分析：先把三视图还原为立体图，再由立体图进行解答。

解：有三视图可知，此几何体为正六棱锥，如图，其中正视图

为PBE，是正三角形，则BE?2，∴底面边长为1，侧棱长为2， 则高为3，设M,N分别为AF,CD的中点，则PMN为侧视图，

D N O C B

13MN?3，∴侧视图的面积为?3?3?，故选A。

22答案：A

E

F 评注：正确对待三视图，要会还原为立体图，找出相应的量解出， 注意对应的量不能出错。

M

A

6．极坐标与参数方程转化为普通方程

例10．（2008南通四县）（坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程是??4cos?．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数

?2x?t?1??2方程是：?，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长． ?y?2t??2

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