微分方程在经济学中的应用

微分方程在经济学中的应用

微分方程在经济学中的应用授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业 授课学时：2学时(90分钟) 授课目的: (1)学会解微分方程(2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用

授课教师: 张丽莉

微分方程在经济学中的应用

一、多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马 经济增长模型多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设 经济增长模型的基本假设: 多马 经济增长模型的基本假设

全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是 投资品； 储蓄是国民收入的函数； 生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本， 这两种要素之间相互不能替代； 劳动力按照一个固定不变的比率增长； 不存在技术进步，也不存在资本折旧问题； 生产规模报酬不变。

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设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t 时刻的国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型：S (t ) = αY (t ) I (t ) = β dY dt S (t ) = I (t ) Y (0) = Y0

(1)

Y β Y0 其中α 、 均为正的常数，为初期国民收入，0 > 0 .

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第一个方程表示储蓄与国民收入成正比 (α 称为储蓄率), 第二个方程表示投资与国民收入的变化率成 正比(β 称为加速数), 第三个方程表示储蓄等于投资. 由(1)中前三个方程消去S(t)和I(t),可得关 于Y(t)的微分方程:dY α = λY , λ = > 0 dt β

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可分离变量方程形如f ( x) dx = g ( y ) dy

的一阶微分方程，称为可分离变量方程 . 将方程两端分别对x和y积分,得到

∫ f ( x)dx = ∫ g ( y ) dy + C其中C为任意常数.

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α dY 方程 = λY , λ = > 0是可分离变量方程 dt β

即 两端积分得到 ln Y = λt + c1 其通解为 Y = ce λ t , c是任意的常数. 由初始条件 Y (0) = Y0 ,得 c = Y0λt 于是有 Y = Y (t ) = Y0 e.

1 dY = λ dt Y

由此可得: S (t ) = I (t ) = αY (t ) = α Y0 e λt 由 λ > 0 可知， Y (t ) , S (t ) , I (t ) 均为时间 t 的单调增加 函数，即它们都是不断增长的.

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多马模型的结论与意义从凯恩斯的理论框架开始，但避免了凯恩斯投资率 不会增加资本存量规模的假定(短期分析),从而 变成了长期理论。 该模型产生了一种均衡条件，它意味着经济增长的 不变比率。 模型提出储蓄或资本的形成是经济增长的决定性变 量，一个经济的增长能力依赖于一个经济的储蓄能 力，政府可以通过调节储蓄水平、刺激资本积累来 实现经济的长期增长。

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多马经济增长模型的缺陷资本产量比不变的假定意味着资本和劳动力 根本不能替代，这一假定是不现实的。 该模型过于强调储蓄和资本积累的作用，从 而将经济增长推向“唯资本论”的方向。 没有考虑到技术进步在经济发展中的作用。 政府干预的结论带有浓厚的凯恩斯主义的色 彩，而对市场机制的作用

有所忽视。

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二、索洛(Solow, R. M.)经济增长模型索洛模型假设： 索洛模型假设： 该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投 资转化率假设为1; 投资的规模收益是常数； 该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假 设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布道格拉斯生产函数。

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设Y(t)为t时刻的国民收入，K(t)为t时刻的资 本存量，L(t)为t时刻的劳动力，索洛曾提出 如下的经济增长模型：Y = F ( K , L) dK = sY (t ) dt L = L0 e λ t

(2)

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L λ 其中s为储蓄率(s>0), 为劳动力增长率 (λ > 0), 0 为 初始劳动力 ( L0 > 0) , F ( K , L) 为K和L的一次齐次函数， 称为生产函数.由(2)的前两式，可得dK K = sF ( K , L) = sLF ( , 1) dt L

令k =

K ――称为资本劳动力比， L

表示单位劳动力平均占有的资本.

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将

dL = λL , 可得 K = kL 代入上式并利用 dt dk + λk = sF (k , 1) (3) dt

为了求出方程(3)的解，需给出生产函数 F ( K , L ) 的具体形式. 为此，下面取生产函数 柯布―道格拉斯(C0bb - Douglas) 生产函数，即设F ( K , L) = AK α L1α = ALk α

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其中 A > 0 , 0 < α < 1均为常数. 易知 F (k , 1) = Ak α , 将其代入(3)得 dk + λk = sAk α dt

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伯努利(Bernoulli)方程形如

dy n + p( x) y = q( x) y dx的方程，称为伯努利方程(它是由James Bernoulli在1695年提出的),可以化成一阶线 性方程来求解，其中n为常数.

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将方程两端除以 y n,得到yn

dy + p( x ) y 1 n = q ( x ) dx

( 4)

令

y 1 n = z ,

有n

(1 n) y

dy dz = dx dx

( 5)

将(5)代入(4),得到dz + (1 n) p ( x) z = (1 n)q ( x) dx

y 1 n = z 这是一阶线性方程，可以求解.求出后再用

代回，即得伯努利方程的解.

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dk α + λk = sAk dt这是以 k = k (t ) 为未知函数的伯努利方程.

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令z=k

1α

,则

dz + (1 α )λz = (1 α ) sA dt

这是关于z 的一阶线性方程，其通解为 将 z = k 1αK1α

z= + ce (α 1) λ t λ K 1α 代入上式，得 =( ) L+ ce(α 1) λ t

sA

=[

sA

λ

]L

1α

=

s

λ

AL10α e (1α ) λ t + cL10α

如果 K (0) = K 0 , 则由上式有K 0 1α s s 1α c = ( ) A = k0 A L0 λ λ

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于是有 K = K (t ) = [a + be

1 (1α ) λ t 1α

]

其中设 1α s 1α a = k 0 λ A L0 b = s AL1α 0 λ

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索洛经济增长模型的一些结论与意义增长必须用人均数据(output per capita)来衡量， 强调技术进步时人均收入增长的源泉。 所有增长最终可以归结到两种途径：资本(物质和 人力)积累和技术进步。 重新假定生产要素(资本与劳动)具有相互替代性， 使资本—产出比由固定不变成为可变。 强调市场机制在经济增长过程中的作用。无论经济 处于什么样的初始状态，市场机制只要是完全的， 就可以选择合适的资本—产出比，保证充分就业。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wd3n.html