复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算

一、主要内容:

复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求:

1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.

4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点:

复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.

四、学习建议:

1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.

前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量

来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和

辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).

既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r=

三角形式

Z=a+bi(a,b∈

R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)

复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式

①定义：复数z=a

（a,b∈R）表示成r （cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cos θ

+ isinθ）

其中z r θ为复数z的辐角。

②非零复数z辐角θ的多值性。

以ox轴正半轴为因此复数z的辐

③辐角主值 表示法；用arg 定义：适合[0，

始边，向量oz所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角 角是θ+2k （k∈z）

z 表示复数z的辐角主值。

2 ）的角θ叫辐角主值 0 argz 2

唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。

④不等于零的复数的模z r是唯一的。

⑤z=0时，其辐角是任意的。

⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）

这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮

美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 2）复数的向量表示 在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2（如图）

何量oz1对应于z1

何量oz2对应于z2

何量z1z2对应于z2 z1 z

显然oz∥z1z2

则argz1=∠xoz1=θ

argz2=∠xoz2=θ

1

与复数z2－z1对应的向量为oz

2

argz（z2－z1）=arg z=∠xoz=θ

3）复数运算的几何意义

主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化

如z1=r1（cosθ1+isinθ1） z2=r2（cosθ2+isinθ2）

①乘法：z=z1· z2=r1·r2 [cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

如图：其对应的向量分别为oz1oz2oz

显然积对应的辐角是θ1+θ2

< 1 > 若θ2 > 0 则由oz1逆时针旋转θ2角模变为oz1的r2

倍所得向量便是积z1·z2=z的向量oz。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz1顺时针旋转2角模变为r1·r2

所得向量便是积z1·z2=z的向量oz。

为此，若已知复数z1的辐角为α，z2的辐角为β求α+β时便可求出z1·z2=za z 对应的辐角就是α+β

这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

②除法 z z1 z2

z1z2

r1r2

[cos( 1 2) isin( 1 2)] （其中 z2≠0）

除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：

< 1 > 2 0时oz1顺时针旋转 ２角。

< 2 > ２ 0时oz1逆时针旋转２角。

例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:

(1) Z1=-2(cosθ+isinθ) (2) Z2=cosθ-isinθ (3) Z3=-sinθ+icosθ (4) Z4=-sinθ-icosθ (5) Z5=cos60°+isin30°

分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率. 解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(-cosθ-isinθ)

复平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]

（2）由“加号连”知，不是三角形式

复平面上点Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式 “2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.

∴ Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ) 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一. （3）由“余弦前”知，不是三角形式

复平面上点Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式

“

+θ”将θ变换到第二象限.

∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(

+θ)+isin(+θ)

同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-

θ)+isin(π-θ)

（5）Z5=cos60°+isin30°

=+

i=(1+i)=·(cos

+isin)=(cos

+isin)

小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.

例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.

分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.

解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2

-1)+2i·sincos=2cos(cos

+isin)........(1)

∵ π<θ<2π ∴

<<π, ∴cos<0

∴(1)式右端=-2cos(-cos

-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)]

∴ r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)

∵

<<π ∴

π<π+<2π， ∴argZ=π+.

小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或

ArgZ=

错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ，Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.

例3．将Z=(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值.

分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.

解:====cos2θ+isin2θ

∵

π<θ<3π, ∴<2θ<6π,

∴π<2θ-4π<2π，∴ argZ=2θ-4π

小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.

2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量内的辐角称辐角主值，记为argZ.

要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题. 例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围. 解:法一，数形结合

由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.

显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,

另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知

所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围

∠AOC=∠

BOC=，∴argZ∈

[0,]∪[π,2π)

法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)

则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,

∴ |Z|=

2

2

≤

2

=,

∵ (x-2)+y≤1, ∴(x-2)≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3, ∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.

小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.

例5．复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.

分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.

解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠

xOA=π,而

|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|

将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，

|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3

, ∴ 所求

最小值=3

.

法二:由

arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA，

且过点（-3，0）的射线BM，

∴ |Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点

结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，

|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3 ∴所求最小值=3

.

,

P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连

小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方

法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便. 例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.

解：∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(Z-4i)最大

值为π.

3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.

两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.

由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形，平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.

复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算. 例7．若

与

分别表示复数Z1=1+2i, Z2=7+

i, 求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.

解:欲求∠Z2OZ1

，可计算

====

∴∠Z2OZ1=

且=，

由余弦定理，设|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos

∴ |Z1Z2|= 而k2+(

k,

=3k2

k)2=(2k)2，∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形.

小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.

例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程. 解:如图，建立复平面x0y，设向量

x1+y1i, x2+y2i.

由对称性，|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8,

∴ x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i

、

对应复数分别为

∴

设抛物线方程为y2=2px(p>0)则有y12=2px1, y22=2px2,

∴ x1=

, y1=p, 又|OA'|=1，

22

∴

(

)2+p2=1, ∴p=

或

-（舍）

∴抛物线方程为y=

2

x，直线方程为

:y=x.

小结:对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效. 五、易错点

1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定. 2．注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.

ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值.

3．复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式.

4．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向. 六、练习

1．写出下列复数的三角形式

(1) ai(a∈R)

(2) tgθ+i( 2．设Z=(-3

+3

<θ<π） (3) -（sinθ-icosθ)

i)n, n∈N，当Z∈R时，n为何值？

3．在复平面上A，B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α，判断ΔAOB形状，并证明SΔAOB= 参考答案:

|d|2.

1．（1）

ai=

（2）

tgθ+i(<θ<π）=-[cos(π-

θ)+isin(π-θ)]

（3）

-(sinθ-icosθ)=[cos(

+θ)+isin(+θ)]

2．n为4的正整数倍

3．法一:∵α≠0，β=（1+i)α

∴

∵

=1+i=(cos

+isin), ∴∠

AOB=,

分别表示复数α，β-α，

由β-α=αi

，得=i=cos

+isin，

∴∠OAB=90°, ∴ΔAOB为等腰直角三角形. 法二:∵

| 又

|

|=|α|, |

|=|β-α|=|αi|=|α|, ∴||α|,|

|+|

2

2

2

|=|

2

|

2

|=|β|=|(1+i)α|=|=|α|+|α|=2|α|=||

2

∴ΔAOB为等腰直角三角形，∴SΔAOB

=||·||=|α|.

2

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选择题

1．若复数z=(a+i)2的辐角是

A、1

B、-1

，则实数a的值是（ ） C、-

D、-

2．已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a， b满足|a-b|=3， 则p的值是（ ）

A、-2 B、- C、

D、1

3．设π<θ<，则复数

的辐角主值为（ ）

A、2π-3θ

B、3θ-2π

C、3θ

D、3θ-π

4．复数cos+isin经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于（

A、3

B、12

C、6k-1(k∈Z)

D、6k+1(k∈Z)

5．z为复数，()

|z-3|

=()

|z+3|

()-1

的图形是（ ）

A、直线

B、半实轴长为1的双曲线

C、焦点在x轴，半实轴长为的双曲线右支

D、不能确定

答案与解析

答案：1、B 2、C 3、B 4、C 5、C

解析：

1．∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai， argz=，∴

，∴a=-1，本题选B.

2．求根a，b=（Δ=1-4p<0） ∵|a-b|=||=3，

∴ 4p-1=9， p=，故本题应选C.

3．==cos3θ+isin3θ.

∵ π<θ<

，∴3π<3θ<，∴π<3θ-2π<

，故本题应选B.

）

4．由题意，得(cos+isin)n=cos+isin=cos-isin

由复数相等的定义 ，得

解得=2kπ-，(k∈Z)，∴n=6k-1.故本题应选C.

5．依题意，有 |z-3|=|z+3|-1，∴ |z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义，此方程表示焦点(±3，0)，2a=1， a=的双曲线右支，故本题应选C.

复数三角形式的运算·疑难问题解析

1．复数的模与辐角： (1)复数模的性质：｜z1·z2｜=｜z1｜·｜z2｜

(2)辐角的性质：积的辐角等于各因数辐角的和．

商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 一个复数n次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的n倍．

注意：(1)辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点．如下面两个问题： 若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求α+β的值．(α+β∈(3π，4π))

若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求arg[(2-i)(3-i)]的值．

(2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和，商的辐角主值不一定等于辐角主值的差. 2．关于数的开方

(1)复数的开方法则：r(cosθ+isinθ)的n次方根是

几何意义：

设

对应于复平面上的点，则有：

所以，复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点． (2)复数平方根的求法．

求-3-4i的平方根．

解法一 利用复数代数形式．设-3-4i的平方根为x+yi(x，y∈R)，则有 (x+yi)2=-3-4i, 即(x2-y2)+2xyi=-3-4i， 由复数相等条件，得

∴-3-4i的平方根是±(1-2i)． 法二 利用复数的三角形式．

3．复数集中的方程．

关于实系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c∈R，x1，x2为它的两个根) (1)当△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根 当△=b2-4ac＜0时，方程有一对共轭虚根

2

(4)二次三项式的因式分解：ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

关于复系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c∈C，且至少有一个虚数，x1x2为它的两个根)

(4)二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然适用．

关于二项方程的解法

形如anxn+a0=0(a0，an∈C且an≠0)的方程叫做二项方程，任何一个二项方程都可以化成xn=b(b∈C)的形式，因此都可以通过复数开方来求根．

可以充分利用复数z的整体性质，复数z的三种表示方法及其转换来解方程． 已知方程x2-4x+p=0两虚数根为α、β，且|α-β|=2求实数p的值． 解法1 ∵实系数一元二次方程虚根共轭设α=a+bi，

β=a-bi，(a，b∈R) ∴α+β=2a=4，∴a=2

又∵|α-β|=2, ∴|2bi|=2得b=±1 即两根为2+i，2-i由韦达定理得：p=(2+i)(2-i)=5

法2 由韦达定理可得：α+β=4，αβ=p

于是|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|42-4p|=4， 即|4-p|=1 又∵△=42-4p＜0 p＞4， ∴p-4=1， 得p=5

说明 注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别．

一等式成立．若有两个虚根则

2

2

上述等式不成立．因为｜α-β｜≠(α-β)．因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要避免出现混淆与干扰．

已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根，求实数a的值．

分析 已知方程有模为1的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数a要注意分域讨论． 解 (1)若所给方程有实根则△=(3a)-4×2(a-a)=a+8a＞0， 即a＜-8或a＞0 由条件得根必为1或-1，

①将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解．

(2)若所给方程有虚根则△=a+8＜0， 即-8＜a＜0

2

2

2

2

即a2-a-2=0， ∴a=-1或a=2(舍)

已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有实数根，求实数m．

分析 求实数m的范围，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数．

利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等，解方程组来求实数m均可以．现仅介绍一种方法． 解 ∵x，m∈R，方程变形可得，(x2+x+3m)-(2x+1)i=0

复数例题讲解与分析

例1．已知x, y互为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y.

[思路1]：确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设z=a+bi或三角形式，化虚为实。

222

[解法1]：设x=a+bi(a,b∈R), 则y=a-bi, 代入原等式得：(2a)-3(a+b)i=4-6i.

或 或 或，

∴

或 或 或

。

[思路2]：“x, y互为共轭”含义？→x+y∈R, xy∈R,则(x+y)-3xyi=4-6i

2

.

[解法2]：∵x=，∴x+y∈R, xy∈R, ∴由两复数相等可得：

∴由韦达定理可知：x,y同是方程：z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的两根， 分别解两个一元二次方程则得x,y……（略）。

，

例2．已知z∈C,|z|=1且z≠-1,则复数

2

（ ）

A、必为纯虚数 B、是虚数但不一定是纯虚数 C、必为实数 D、可能是实数也可能是虚数 [思路分析]：选择题，从结论的一般性考虑，若z=±1，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演

解：[法1] 设z=a+bi, a,b∈R, a2+b2=1,a≠0.

则===∈R，故，应选C。

[法2] 设z=cosθ+isinθ (θ∈R,且θ≠kπ+

)，

则===∈R。

[法3] ∵z·=|z|2, ∴当|z|=1时有z·=1,

∴===∈R.

[法4] ∵当|z|=1时有z·=1，

∴

==∈R.

[法5] ∵复数z为实数的充要条件是z=,

而

()=, 又∵|z|=1时，=，

∴

==， ∴∈R。

[评注]：复习中，概念一定要结合意义落实到位，一方面深化理解（比如复数定义：“形如a+bi (a,b∈R)的数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；……。）

同时对一些概念的等价表达式要熟知。（比如：z=a+bi∈

R z=a+bi是纯虚数

a=0且b≠0 (a,b∈

R)

z+

=0 (z≠0)

b=0(a,b∈

R) z=

z≥0；

2

z2<0；…….)

在面对具体问题时要有简捷意识（比如该例方法1，有同学可能会在算到化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行），多方理解挖掘题目立意。 例3．求使关于x的方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根的实数m.

时不注意及时

[思路分析]：根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。 解：设x0为方程的一个实根，则有

x0+mx0+2+(2x0

+m)i=0

2

，解得：m=±2。

例4．设 z∈C， arg(z+2)=, arg(z-2)=, 求z。

[思路分析]：常规思路，设z=a+bi, 由已知列关于a,b的方程求解；数形结合思想，由题设可知z+2对应的

点A在射线OA上，∠

AOX=，z-2对应的点B应在射线OB上，

∠

BOX=，z对应的点Z应在AB中点上，|AB|=4，AB//Ox轴，∠

AOB=

i.

，

故而易得：z=-1+ 解：（略）

例5．设x,y∈R, z1=2-x+xi, z2=y-1+(-y)i,

已知|z1|=|z2|，argk∈Z}中元素的个数。

=, (1)求()

100

=? (2)设z=, 求集合A={x|x=z+z,

2k-2k

[思路分析]：理解已知，|z1|=|z2|，arg=含义？→=i, 即z1=z2i→两复数相等→x, y.

(1)解：∵|z1|=|z2|, ∴|

|=1,

又arg=, ∴

=||(cos

+isin

)=i, 即z1=z2i,

∴ 2-

x+xi=[y-1+(-y)i]i

即，解得 x=y=+,

∴ (

)

100

=(+i)

100

=(-+i)=

50

=--i.

[简评] 1 本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法，如果把两个已知条件割裂开来去考虑，则需要解关于x, y的二元二次方程组，其运算肯定很麻烦；

2 在计算题中对1的立方根之一：w=-1+

+

+i的特性要熟知即 w=

33

=1, ==w,1+w+w=0,

22

=0, 关于此点设计问题是命题经常参考的着眼点。

(2) [思路分析]：由(1)知 z=可怎么理解呢？ (z)+(z), z+

2k

2-k

2k

+

2k

i，z的特性：z3=-1=, ……

3

, |z|=1, =； z=cos

+isin

, z2=w, ……，z2k+z-2k

解[法1]：令w=-

+

i，则z2k+z-2k=wk+w-k,

∵w3=1,而k∈z, ∴k=

当k=3m时，z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,

当k=3m+1时，z2k+z-2k=w3m·w+w-3m·w-1=w+w-1=w+

综上可知，集合A中有2个元素。

=-1,

当k=3m+2时，z2k+z-2k=w3m·w2+w-3m·w-2=w2+w-2=w3·w-1+w-3·w=w-1+w=-1,

[法2]：∵|z|=1, ∴

=,

∴z2k+z-2k=z2k+

2k

=cos

+isin+cos

-isin=2cos

=

由此可判定集合A中有2个元素。

例6．设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π), w= [思路分析]：欲用已知，需化简w,

, 并且|w|=, argw<,求θ。（93年全国理）

解：w=

=tg2θ(sin4θ+icos4θ)

==

∴ |w|=|tg2θ| 由|w|=

得 tg2θ=±.

∵ 0<θ<π, 故有(i)当tg2θ=时，得θ=或θ=.

此时 w=(cos

+isin)，∴argw=<,适合题意。

(ii)当 tg2θ=-

时，得θ=π或θ=π，此时，w=(cos

π+isinπ).

∴argw=

π>, 不合题意，舍去，

故综合(i), (ii)知，θ=或θ=.

[简评] 10 复数与三角的综合题目是命题的一个方向，其中应用三角公式“1±cosa的升幂式”及“诱导公式”化复数代数形式为标准三角形式应用频率较高。

2 此题在w的化简中亦可利用 |z|=1, z·=|z|来化简：

w=变换。

=

5

==……以下略，这样可省去较为繁锁的三角

例7．已知|z|=1,且z+z=1, 求z。

[思路分析1]：已知含未知数的等式求未知数，方程问题，设元化虚为实， 解：[法1]设z=cosθ+isinθ，则由z5+z=1可得：

由(1)+(2)得：cos4θ=-

22

……（以下略）。

[思路分析2]：复数的概念，运算都有几何意义，由z5+z=1，若设z5, z,1对应点为A，B，C则四边形OACB为平行四边形。

★[法2]：设z5,z,1在复平面上对应点分别为A，B，C，则由z5+z=1，可知，四边形OACB为平行四边形，

又∵ |z|=|z|=1=|z|

55

∴

OACB为边长为1的菱形且∠AOB=120°，∴ 易求得：z=+i或 z=-i。

可以验证当z=±

i时，z5

=

i符合题意。

[简评]：10 数形结合思想方法应是处理复数有关问题的习惯思路，因复数中的概念，运算都有一定的几

何含义，这源于z=a+bi本身就表示一个点，当a,b确定，z表示定点，当a,b不定则z就能表示一个动点轨迹，

如 z=x+i就可表示双曲线。故在解题时变换角度从几何意义去分析，往往会事半功倍。

20 此题还可这样联系，由z5+z=1得 z-1=-z5，两边取模|z-1|=|-z|5=|z|5=1，从而知z应是圆|z|=1与 |z-1|=1的交点。

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