数学模型复习题

06级信本《数学模型》复习资料

各位同学，这份资料是根据12月30号老师那边透露的信息重新整理出来的，相信这些都是重点的东西，大家一定要认真复习，争取考好数模，祝大家考试顺利

第一部分（简答题）

1．叙述模型和数学模型的概念，并举例说明.

（1）模型是指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 （2）对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型. 2．写出数学建模过程流程图;

数学建模过程流程图为： 实际问题

抽象、简化、假设 确定变量、参数 归结 数学模型 数学地、数值地

求解模型 估计参数 否 检验模型 (用实例或有关知识) 是 符合否？ 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益 3．建立数学模型的基本步骤有哪些？

1． 模型准备(背景、目的、现象、数据、特征)

2． 模型假设(合理性、简化性.但过份简单、过份详细都不对,或反映不了原问题或无法表达模型,要充分发挥想象力、洞察力、判断力,不断修改或补充假设) 3． 模型构成(建立数学结构)

4． 模型求解(包括推理、证明、数学地或数值地求解)

5． 模型分析(数学意义分析、合理性分析、误差分析、灵敏性分析) 6． 模型检验(接受实际检验、往往在假设上) 7． 模型应用(取决于建模的目的)

4．写出5个数学模型按照应用领域分类的模型名称.

1

?人口模型??交通模型?环境模型（污染模型）??按模型的应用领域分类 数学模型 ?生态模型?城镇规划模型??水资源模型???再生资源利用模型

5．写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称. ?初等数学模型??几何模型?微分方程模型??按建模的数学方法分类数学模型 ?图论模型?组合数学模型??概率模型???规划论模型

6．写出5个数学模型按照建模目的分类的模型名称.

?描述模型??分析模型??预报模型按建模目的来分类 数学模型 ?

?优化模型?决策模型???控制模型7. 长方形椅子摆放问题、人口问题（习题8）、习题9.{这些以小题形式出现} （1）椅子摆放问题认真看书，要知道模型的假设和模型。（6-7页）

（2）人口问题也要知道模型是怎么建的，两种模型，指数增长和阻滞增长（9-13页） （3）习题8和习题9的解答过程如下（考小题，这里大家要理解是如何做的）（23页） 8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t),单位时间内人口的增量与

xm?x(t)成正比（其中xm为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模

型、阻滞增长模型的结果比较.

解：现考察某地区的人口数，记时刻t的人口数为x?t?（一般x?t?是很大的整数）,且设x?t?为连续可微函数.又设x?t?|t?0?x0.任给时刻t及时间增量?t,因为单位时间内人

2

口增长量与xm?x(t)成正比, 假设其比例系数为常数r.则t到t??t内人口的增量为：

x?t??t??x?t??r(xm?x?t?)?t. 两边除以?t,并令?t?0,得到

?dx?r(xm?x)? 解为x(t)?xm?(xm?x0)e?rt ?dt?x(0)?x0?

如图实线所示，

x 指数模型 当t充分大时 xm 它与Logistic模型相近.

x0 Logistic模型 o t

9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面 或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：

（1） 某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？

（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者 进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n支球队比赛呢？

解：（1）方法一：以时间t为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x为纵坐标， 第一天的行程x(t)可用曲线（?）表示 ，第二天的行程x(t)可用曲线（??）表示，（?）（??）是连续曲线必有交点p0(t0,d0),

两天都在t0时刻经过d0地点. x d 方法二：设想有两个人， (?) 一人上山，一人下山，同一天同 p0 时出发，沿同一路径,必定相遇. d0 (??)

3

t

早8 t0 晚5

方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为f(t)(即t时刻走的路程为f(t)),同样设从山顶到山下旅店的路函数为g(t),并设山下旅店到山顶的距离为a(a>0).由题意知：f(8)?0,f(17)?a,g(8)?a,g(17)?0.令h(t)?f(t)?g(t),则有h(8)?f(8)?g(8)??a?0，h(17)?f(17)?g(17)?a?0，由于f(t),g(t)都是时间t的连续函数,因此h(t)也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,?t0?[8,17],使h(t0)?0,即f(t0)?g(t0).

（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n队需赛n?1场，若2k?1?n?2k，则需赛k轮. 8．传染病模型、战争模型、房室模型、军备竞赛模型.

注：这几个模型大家要能够理解模型是如何建立的要写得出相应的模型，一定要记得住写得出。

传染病模型（三个）见课本【136页（5）式，137页（9）式，139页（14）式】 战争模型见课本【148页（1）式，149页（3）式150页（8）（9）式】 房室模型见课本【154页（3）式】

军备竞赛模型见课本【181页（1）式，军备竞赛模型要能够计算它的平衡点所以181页（2）式-182页（3）（4）（5）式都要明白。

9．层次分析模型（写出层次结构图、层次分析步骤等）.

这里给出两个例子：层次分析模型大家要能够根据题目的已知条件画出层次结构，【课本231页】几个基本步骤要知道，【课本235页】那些图作为参考大家要理解是怎么构造的。 （1）于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.

4

解：目标层 越海方案的最优经济效益

准则层

方案层

建桥梁 修隧道 设渡轮 省时 收入 岸间商 业 当地商业 建筑就 业 （2）述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？

答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.

10．循环比赛（由得分向量写出竞赛图或邻接矩阵、双向连通图、排名次等）.

循环比赛虽然考小题，但是这里把练习答案附上，以便大家能更好更深刻理解，怎么样根据题画图写矩阵和排名次。

7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.

解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为3?1?4?5?2?3.所以此竞赛图是双向连通的.

4?5?1?2?32?4?5?3?12 1 3 5?3?1?2?4 3?1?4?5?2

等都是完全路径.

此竞赛图的邻接矩阵为

5 4

5

?v??g?(d?)，其中?是未定函数 .

线性规划问题也是出题重点，一点要会做，相信会出大题的。注意看书【82页】 6．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：

品种 甲 乙 原材料 2 3 能源消耗(百元) 1 6 劳动力(人) 4 2 利润(千元) 4 5 现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.

解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为

maxS?4x?5ys.t.2x?3y?1400 x?6y?24004x?2y?2000x?0,y?0,x,y?Z

模型的求解：

用图解法.可行域为：由直线 l1:2x?3y?1400l2::x?6y?2400l3:4x?2y?2000及x?0,y?0

组成的凸五边形区域.

直线l:4x?5y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l3的交点时，S取最大值. 由??2x?3y?1400?4x?2y?2000 解得：x?400,y?200

Smax?4?400?5?200?2600（千元）.

故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元. 7. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：

货物 甲 乙 体积 （立方米/箱） 5 4 重量 （百斤/箱） 2 5 利润 （百元/箱） 20 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.

解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为

11

max z?20x1?10x2

?5x1?4x2?24? st?2x1?5x2?13

?x,x?0,x,y?Z?12这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线 l1:5x1?4x2?24

l2:2x1?5x2?13 及x1?0,x2?0组成直线 l:20x1?10x2?c在此凸四边形区域内

平行移动x2 .

l1

l2

l

x1

易知：当l过l1与l?5x1由??2x1?4x2?242

的交点时，z取最大值

?4?1?x1 解得 ??5x2?13?x2

zmax?20?4?10?1?90.

8．量纲分析、存贮问题（包括第九章）、数学规划模型、捕鱼问题、差分方程、概率模型. 注：上边的题目已经包括了8当中的问题，其中只有【存储模型和概率模型没有给出，但是大家应该下去好好看看书，把相应的模型记住，以便不时之需】

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wcx3.html