电磁场与电磁波（第三版）课后答案第8章

第八章习题解答

8.1 为什么一般矩形波导测量线的纵槽开在波导的中线上？

解：因为矩形波导中的主模为TE10模，而由TE10的管壁电流分布可知，在波导宽边中线处只有纵向电流。因此沿波导宽边的中线开槽不会因切断管壁电流而影响波导内的场分布，也不会引起波导内电磁波由开槽口向外辐射能量。(如题8.1图)

a/2

题8.1图

8.2 下列二矩形波导具有相同的工作波长， 试比较它们工作在TM11模式的截止频率。

(1) a?b?23?10mm2；

(2) a?b?16.5?16.5mm2。

?m???n?? 解：截止频率 f?c?????2????a??b? 当介质为空气??????1

00c（1）当a?b?23mm?10mm，工作模式为TM11（m=1,n=1），其截止频率为

13?1011?1??1? fc???????16.36?GHz?2?23??10?（2）当a?b?16.5mm?16.5mm，工作模式仍为TM11（m=1,n=1），其截止频

率为的

22223?1011?1??1? fc???????12.86?GHz?2?16.5??16.5? 由以上的计算可知：截止频率与波导的尺寸、传输模式及波导填充的介质有关，与工作频率无关。

8.3 推导矩形波导中TEmn模的场分布式。 解：对于TE波有Ez?0,Hz?0

22Hz应满足下面的波动方程和边界条件：

?22?H?kHz?0z??Eyx?0?0?? （1） ?Eyx?a?0??Exy?0?0???Exy?b?0由均匀导波系统的假设， 将其代入式(1)，得

Hz?x,y,z??Hz?x,y?e??z

?Hz2?Hz2?Hz22???kHz?0 22?x?y?z??2?222?????k???Hz?x,y??0??x2?y2????2?22? （2） ??h??x2?y2?Hz?x,y??0??其中h2??2?k2

该方程可利用分离变量法求解。设其解为：

H?x,y??f?x?g?y? (3)

z将式(.3) 代入式 (2)，然后等式两边同除以f?x?g?y?，得

d2f?x?d2g?y?112 ? ??h22f?x?dxg?y?dy上式中等式左边仅为x的涵数，等式右边仅为y的函数，要使其相等，必须各等于常数。于

是，该式可分离出两个常微分方程

2df?x? ?kx2f?x??0 (4a) 2dxd2g?y?2 (4b) ?kyg?y??02dykx2?ky2?h2 (5)

式(4a)的通解为 f?x??Asinkxx?Bcoskxx (6) 由于在x=0和x=a的边界上，满足

?0 Eyj???Hz 由纵向场与横向场的关系，得 Ey?2kc?xEyx?0x?a?0

则在x=0和x=a的边界上，Hz?x,y?满足

于是将其代入式 (6)得

A?0

?Hz?xx?0?0

?Hz?xx?a?0

m??m?0,1,2,3......? am?

所以 f?x??Bcosxakx?同理得式(4)的通解 g?y??Csinkyy?Dcoskyy 满足的边界条件为

?Hz?y于是得

y?0?0

?Hz?yy?b?0

C?0

n?ky??n?0,1,2,3,......?

bg?y??Dcos所以，得到矩形波导中TE波的纵向场分量

n?

yb式中H0=CD由激励源强度决定

2222?m?Hz?x,y??H0cos??a??n?? x?cos?y???b?2 本征值由式 h?k?k??m????n??

xy?????a??b?利用纵向场与横向场的关系式可求得TE的其他横向场分量

j???n???m???n??

Hcosx?sin?y???0?h2?b?ab????j???m???m???n??

Ey?x,y???2?Hsinxcosy??0???h?a??a??b?jk?m???m???n?? Hx?x,y??2z?Hsinxcosy??0???h?a??a??b?jk?n???m???n??

Hy?x,y??2z?Hcosx?sin?y??0?h?b?ab????8.4 设矩形波导中传输TE10模，求填充介质（介电常数为?）时的截止频率及波导波

Ex?x,y??长。

解：截止频率 f?c12????m???n?? ??????a??b?12???2?1 ??????2a???a?222对于TE10（m=1,n=0），得 f?c 波导波长

?g?2???fc2???1?2f??fc2 1?2f式中??2????为无界空间介质中的

8.5 已知矩形波导的横截面尺寸为a?b?23?10mm2，试求当工作波长??10mm时，波导中能传输哪些波型？??30mm时呢？ 解：波导中能传输的模式应满足条件

????c?mn （工作波长小于截止波长）

?c?2?22 m?n???????????a??b?或 f??fc? （工作频率大于截止频率）

mn在矩形波导中截止波长为

由传输条件

??222?m??n? ??????23??10?当?=10mm时上式可写为 n<10??2???m??

??????能满足传输条件的m和n为

2212???10??23???（1）m=0,n<2有以下波型 TE01

（2）m=1,n<1.95有以下波型 TE10,TE11,TM1 （3）m=2,n<1.8有以下波型 TE,TE,TM20212 （4）m=3,n<1.5有以下波型 TE30,TE31,TM3（5）m=4,n<0.95有以下波型 TE

40当?=30mm时，应满足 n<10??2???m??

??????2212???30??23???（1）m=0,n<0.66（无波型存在） （2）m=1,n<0.5有以下波型 TE10

（3）m=2,不满足条件。 故此时只能传输TE10模

8.6 一矩形波导的横截面尺寸为a?b?23?10mm2由紫铜制作，传输电磁波的频率为f?10GHz。试计算：

（1）当波导内为空气填充，且传输TE10波时，每米衰件多少分贝？

（2）当波导内填充以?r?2.54的介质，仍传输TE10波时，每米衰件多少分贝？ 解：当波导内为空气填充时，其工作波长为

8v3?10?2????3?10??3cm? 9f10?10当波导内填充以?r?2.54的介质时。其工作波长为

v3?108?2????1.88?10?1.88?cm? 9f2.54?10?10?f? ?查表得紫铜的电导率??5.8?107?S/m?，于是

波导壁的表面电阻 R?s3.14?10?109?4?3.14?10?7Rs??0.0261??? 75.8?10矩形波导中传输TE10波时，由导体引起的衰减为

2?b?????c??1?2??? 2a?2a????????b?1????2a?Rs（1）当波导内为空气填充，???0?377???，得 ?02?b?????c??1?2???2a?2a????????b?1????2a?Rs?20?30?2?

??1????2232?23??????30??10?10?3771????2?23??0.011?Np/m?0.0261?c?0.011?8.686?0.094?dB/m?

（2）当波导内填充以?r?2.54的介质时

用分贝表示

2?b?????c??1?2???2a?2a????????b?01????2a?Rs?r?20?1.88?2?

??1????2232?23??????1.88??10?10?3771????2?23??0.013?Np/m?0.0261?2.54用分贝表示

?c?0.013?8.686?0.113?dB/m?

8.7 试设计??10cm的矩形波导。材料用紫铜，内充空气，并且要求TE10模的工作

频率至少有30%的安全因子，即0.7fc2?f?1.3fc1，此处fc1和fc2分别表示TE10波和相邻高阶模式的截止频率。

解；由题给：0.7fc2?f?1.3fc1

即 0.7?fc?TE?f?1.3?fc?TE

2010若用波长表示，上式变为

0.7??c?TE?20?1?1.3??c?

0TE10.71?a10 即

1.31?2a10由此可得 6.5?a?7 选择：a?6.8?cm?

为防止高次模TE01的出现，窄边b的尺寸应满足 ????c?TE?2b

01即 0?b?5?cm?

考虑到传输功率容量和损耗情况，一般选取 b??0.42 故设计的矩形波导尺寸为 a?b?6.8?3.4cm0.5 ?a?? 8.8 矩形波导的前半段填充空气，后半段填充介质（介电常数为?），问当TE10波从

空气段入射介质段时，反射波场量和透射波场量各为多大？

解：由反射系数

?=Er?2??1Z2?Z1 ??Ei?2??1Z2?Z1得 Er=?Ei

即反射波场量的大小为入射波场量的?倍 由透射系数 ?=Et2?22Z2

??Ei?2??1Z2?Z1得 Et=?Ei

即透射波场量的大小为入射波场量的?倍。因此只须求出?和?即可得到解答。 矩形波导中TE10模的波阻抗为

ZTE10??2??? 1?????c???其中

??0???r?0?r

??当介质为空气时，得

Z1??02??0? 1?????c?当介质的介电常数为???0?r时，得

Z2?????1?????c?2??0?r1???1??0??r??c?2??02??0? ?r?????c??0Z2?Z1?Z2?Z1????r??0???c?2??0???1??0???c?222于是????????1??0???r??0??2a??2a?

?22?0?0??0???0??1?????r???22??0???0??2a??2a??r???1?????c???c?2?0????r??0???c?2??2Z2?Z2?Z1???21??0?2?02??02??2a? 2解：波导中传输的功率可由波导横截面上坡印廷矢量的积分求得

???????r??0?1??0???c???c?8.9 试推导在矩形波导中传输TEmn波时的传输功率。

??????1??0???r??0??2a??2a?2P?Re11?E?H?dS?2?2ZTEmns?sEdS?2ZTEmn2?sHdS

21?2ZTEmn矩形波导中Ex?x,y?????E00ba2x?Eydxdymn2?式中E和H分别为波导横截面内的电场强度和磁场强度，ZTE为波阻抗。

j???n???m???n?Hcosx?sin??0?2?h?b??a??bn???m???n?? 得 Ex?x,y??Em?cosx?sin?y????bab??????j???m???m???n?Ey?x,y???2?x?cos??H0sin?h?a??a??bm???m???n?? 得 Ey?x,y??Em?sinxcosy??????aab????????

式中 Em?H02h于是

?y? ??y? ?1P?2ZTEmn12ZTEmn???00baEx?Eydxdy22??2???n???m???n??x?sin?y??Em???cos?babab????????dxdy??2??00??E?m??sin?m?x?cos?n?y??m????????a??a??b????22?n??Em??b???2ZTEmn2m

?n??2?m?sinydycos?????b???a0022ba?x?dx??x?dx??m??E??a???2ZTEmn2m?n??2?m?cosydysin?????b???a00222ba?n??2?m??E?NNE?mnab?NmNnabm??b??a???2ZTEmn42ZTEmn422?ab?m???2?n???NmNnEm???????8ZTEmnba????????

?ab22EmhNmNn8ZTEmn?1式中 Nm?????2??m?0??,Nn???m=?0??1?2??n? 0n?=0 8.10 试设计一工作波长??5cm的圆柱形波导，材料用紫铜，内充空气，并要求TE11波的工作频率应有一定的安全因子。

解：TE模是圆柱形波导中的主模，为保证单模传输，应使工作频率大于TE模的1111截止频率而小于第一次高模TM01的截止频率，即

?????2?a?c?TE11??和

?1.841?? ?????2?a?c?TM11???2.405??于是得 2?a2?a2.405???1.841

圆柱形波导的半径a应满足

??2.61?a?3.41

选择 a??53?3?cm?

8.11 求圆柱形波导中TE0n波的传输功率。

解

：

传

输

功

P?Re1?E?H?12?a222?dS?s2ZE2dS?TE?1???Er?E?0ns2ZTE0n00?rdrd?

柱形波导中的TE0n模的场分量

Er?0

E??kH'?E'??0Jm?hr?0Jm?hr?

c由贝塞尔函数的递推公式 J'mm?hr??krJm?h?r?mJ+?1? hrc因为m=0 则 J'm?hr??J'0?hr???J1?hr?

所以 E??E0J1?hr?

aP?2?2ZE220J?TE?1hr?rdr 0n0 而

aa?J2?hr?rdr?12120kc??hr?J1?hr?d?hr?0

?a22??J21?ha??J0?ha?J2?ha???由电场切向分量连续的边界条件可知 E??r?a??0

即 J'0?ha???J1?ha??0

J22?ha??haJ1?ha??J0?ha???J0?ha?

a2 故 ?J21?hr?rdr?aJ20?ha02? 率

则圆柱形波导中TE0n的传输功率为 P??a22ZTE0n22E0J0?ha?

8.12 试求圆波导中TE0n模由于管壁不是完纯导体而引起的衰减?c。 解：波导中由于管壁不是完纯导体而引起的衰减 ?c?Pl

2P式中：Pl表示波导中单位长度的损耗功率；P表示传输功率。

Pl?12 RJssdS?s2Rs为导体的表面电阻。而

Jsr?a??ar??arHr?a?H??azHz????azH??a?Hz?Jsr?a?a?Hzr?ar?a

由圆波导中TEmn的场分量表示式可知，当m=0时H??0，得

r?a?Hzr?a?H0J0?ha?

2?则

112Pl??RsJsdS?2s2??0RsJ?rd?2

122Rs2?aH0J0?ha?2由上题得TE0n模的传输功率

P?故

?a22ZTE0nEJ2020?ha???a2????2ZTE0n222H??0J0?ha?

?h?122R2?aHJ0?ha?s0Pl2?c??22P?a2????222??H0J0?ha? 2ZTE0n?h?RsZTE0n?h???a?????因为

2ZTE0n???f?1??c??f?2;h??c?? 所以TE0n模的衰减常数为

?c?Rsa??1?????c?????2???fc??f???fc??1?2?f????fc????? f??222R?sa??1?????f?Rs?c??f??f?a?1??c??f?8.13 已知在圆柱形波导中，TMmn波由于壁面不完纯而引起的衰减常数为

Rs/a??c?2?fc? 1????f?求证：衰减的最小值出现在f=3f处。

c证：因为

2?c?Rs/a?2?fc? 1????f?而导体的表面电阻 R?s因此?c的最小值可由

??f?Nf ?d??0求得 df1??3?2?d?d?N?f???dfdf?a??f2?fc2??????2223??3f?f?fc??2f?f?N1?f?????222?22a?2?f?fc???f?f??c??3?1?4224222?f4?3f2fc2??N??3f?3ffc?2f??f?fc??N??????023/2?3/2223/2222a?2a?f?f?fc?f?f?fc????? 得 Nf2?f2?3fc2??0

12

即 f2?3f2?0

c所以f?3f

c8.14 设计一矩形谐振腔，使在1及1.5GHz分别谐振于两个不同模式上。

解：（1）因为 ??得 S?S?1

S?11?? 1?????最小，而 ????RL?Z0?2?XL?

22212 驻波比S要最小，就要求反射系数

????RL?Z0??XL?其最小值可由

d?22 2?0求得 Z0?RL2?XL?402?30dZ0故 Z0?50???

（2）将Z?50???代入反射系数公式，得

12?min2???RL?Z0??XL???22R?Z?X?0?L???L?22最小驻波比为 Smin（3）终端反射系数

??40?50??302? ???2240?50?30??????1?311?1??min3?2 ??1??min1?1312?2??RL?Z0??jXL?RL?Z0??jXL?40?50??j30??40?50??j30?0.333e?j900

由上题的结论，电压的第一个波节点z1应满足 2即 4?180z?900?1800

102??z1??2?1800

?00180?90解得 z???0.125? 104?1808.23 有一段特性阻抗为Z0?500?的无损耗线，当终端短路时，测的始端的阻抗为

250?的感抗，求该传输线的最小长度；如果该线的终端为开路，长度又为多少？ 解：（1）终端短路线的输入阻抗为 Zin?jZ0tan?z

即

j500tan?z?j250?z?arctan0.5?26.570

02?26.57 将 ?z?代入上式得传输线的长度为 z???0.07?4 0?2?180Z0 （2）终端开路线的输入阻抗为 Zin?

jtan?z 即

500??250tan?z?z?116.570

0 将 ?z?2?代入上式得传输线的长度为 z?116.57??0.32?4 0?8.24 求如题8.24图示的分布参数电路的输入阻。

2?180

（a） （b）

（c） （d）

题8.24图 解：设传输线无损耗，则输入阻抗为 Zin?Z0?ZL?jZ0tan?z

Z0?jZLtan?z2?Z????当传输线长度z?时 Zin???0 （阻抗变换性）

44?4?ZL?n?时 ?n??当传输线长度z?Zin???ZL （阻抗还原性） 22?2?2?Z??0（a） Zin?????j0.5Z0 ?4?ZL22?ZZ??00（b）支节① Zin1?????Z0 ?4?ZL1Z022?ZZ??00支节② Zin2?????0 ?4?ZL2? 支节③ ZL3?Zin/1/Z?in20???Zin?Zin3????4????Z（c）支节① in1?4????22Z0Z0??? ZL30Z02Z02??2Z0 ZL11Z022Z02???Z0?2Z0 支节② Zin2?4??Z?1??L2Z02 支节③ ZL3?Zin//1Z?inZ222???Z0Z0Zin?Zin3?????Z0

?4?ZL3Z0???1 （d）支节① Zin1???Z0?2?222?ZZ??支节② Zin2???0?0?0 ?4?ZL2?Z支节③ ZL3?Zin1?Zin2?0 222Z0???Z0Zin?Zin3?????2Z0

?4?ZL3Z0/2 8.24 求题8.24图中各段的反射系数及驻波系数。 解:：终端反射系数 ?2?反射系数

ZL?Z0

ZL?Z0???2e?2j?z

1??2 驻波系数 S?1??2(a)

?2?

03?j4?ej53.135???2e?2j?z?ej?53.13?2?z?

ZL?Z0j2Z0?Z0?ZL?Z0j2Z0?Z0

?1??21?1???

1??21?1Z?Z0Z?Z0 (b) 支节① ?2?L?0?0

ZL?Z0Z0?Z0S????2e?2j?z?0

1??21?0??1

1??21?0Z?Z0??Z0 支节② ?2?L??1

ZL?Z0??Z0S????2e?2j?z?e?2j?z

1??21?1S????

1??21?1支节③ ?2?ZL?Z00?Z0???1?ej?

ZL?Z00?Z0???2e?2j?z?ej???2?z?

1??21?1S????

1??21?11Z0?Z0?11Z?Z0(c) 支节①、② ?2?L?2??ej?

ZL?Z01Z?Z330021???2e?2j?z?ej???2?z?

311?1??23?2 S??1??21?13Z?Z0Z?Z0支节③ ?2?L?0?0

ZL?Z0Z0?Z0???2e?2j?z?0 1??21?0S???1

1??21?01Z0?Z0Z?Z110(d) 支节① ?2?L?2???ej? ZL?Z01Z?Z330021???2e?2j?z?ej???2?z?

311?1??23?2 S??1??21?13Z?Z0??Z0 支节② ?2?L??1

ZL?Z0??Z0???2e?2j?z?e?2j?z

1??21?1S????

1??21?11Z0?Z0Z?Z110支节③ ?2?L?2???ej? ZL?Z01Z?Z330021???2e?2j?z?ej???2?z?

311?1??23?2 S??1??21?13

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