2003-2011年高考全国卷1理科数学(含答案)【大纲版】【经典】【高

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数 学（理工农医类）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：

三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=? l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示

)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=? 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.

)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=? 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R

)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=? 表示球的半径.

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1．已知2(π-∈x ，0），54

c o s =x ，则2tg x = （ ）

（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-

2．圆锥曲线θθ

ρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ）

（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ

3．设函数?????-=-2112)(x x f x 00>≤x x ，若

1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）

（C ）（∞-，2-）?（0，∞+） （D ）（∞-，1-）?（1，∞+）

4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）

（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）2

5．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长

为32时，则a （ ）

（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+

6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π

7．已知方程0)

2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m

（ ） （A ）1 （B ）43

（C ）21 （D ）83

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-

，则此双曲线的方程是 （ ）

（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x

9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）

（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1]

（C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]

10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0

P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P

和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<

（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）

11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322n n n C C C C n C C C C （ ）

（A ）3 （B ）31

（C ）61 （D ）6

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）

（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上

13．

92)21(x x -的展开式中9

x 系数是 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图

着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种答） 16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对

角线，点

M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）

① ② ③ ④ ⑤

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为?60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z 18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三

角形，?=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B

A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G 求

B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

求点1A 到平面AED 的距离

19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设

D E K

B

C

A

B

A

F

C G

P ：函数x

c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中

心位于城市O （如图）的东偏南

102

arccos

(=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北?45方向移动，台

风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以

10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的

侵袭？ 21．（本小题满分14分）

已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG

BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定

点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）

（I ）设}{n a 是集合

|22{t

s + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的

数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63

=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…

将数列

}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3 5 6

9 10 12

— — — — …………

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； ⑵求

100a

（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）

东

设}{n b 是集合

t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知

1160=k b ，求k .

2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

数学（理工农医类）答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

13．221

-

14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17． 解：设)60sin 60cos

r r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,

421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---?=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即

18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，

.32arcsin

.323

136sin .

3,32,22,2.363

21,2)4(.3,1,3

1.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中

在直角三角形的重心是连结为矩形

平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=?==∠∴===∴===?===∴==?=∈∴?∴⊥ （Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =?⊥⊥又

.36236232222,.

,.,.

,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=?=?=?⊥∴⊥=?⊥∴?⊥∴

19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<

不等式.1|2|1

|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=?>-+ 22,2,|2|2,

2,|2|2.

1|2|121.2

1,,0.2

1,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥?+-=??>?><≤≥?+∞ 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为

（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）

20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.

在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为????????+?-=?-?=.22201027300,2220102300t t 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有

.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ?+?-+?-? 2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否

存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.

按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设

(01)BE CF DG k k BC CD DA ===≤≤

由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）

直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①

直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②

从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程

022222=-+ay y x a 整理得1)(2122

2=-+a a y x 当

212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠

a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长

当212<

a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---当212>

a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，

)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a . 22．（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为

3（(0,1)=0122+）

5(0,2) 6(1,2)

9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)

— — — —

…………

（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)

第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)

（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以

100a =(8,14)＝81422+＝16640

解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s

数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意

满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t

因为100－

.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得 （Ⅱ）解：

,22211603710++==k b 令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中

因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈?+<<∈?<∈=c B c c B c c B c M

现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r

其元素个数为310C ：

}.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s 某元素个数为

}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r 某元素个数为

.1451:2327310710=+++=C C C k C 另法：规定222r t s ++=（r,t,s ），1073160222k b ==++＝（3,7,10）

则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C

依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C （0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 2

4C

…………

（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C

（0,1,10）（0,2,10）.........（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10） (2)

7C +4

2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）

(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I 卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么

P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么

P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

P n (k)=C k n

P k (1－P)n －k

一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60 1．(1－i)2·i= （ ）

A ．2－2i

B ．2+2i

C ．－2

D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f x

x

x f 则若 （ ）

A ．b

B ．－b

C ．b

1

D ．－

b

1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b

|=

（ ）

A ．7

B ．10

C ．13

D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是

（ ）

A ．y=x 2－2x +2(x <1)

B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)

球的表面积公式

S=42

R π

其中R 表示球的半径， 球的体积公式

V=3

3

4

R π， 其中R 表示球的半径

C ．y=x 2－2x (x <1)

D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)1

2(x x -的展开式中常数项是

（ ） A ．14 B ．－14 C ．42 D ．－42

6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ?B ?I ，则下列各式中错误．．

的是 （ ）

A ．(I C A)∪B=I

B ．(I

C A)∪(I C B)=I C ．A ∩(I C B)=φ

D ．(I C A) (I C B)= I C B 7．椭圆14

22

=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 为P ，则||2PF =

（ ） A ．23 B ．3 C ．27 D ．4

8．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是

（ ） A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]

9．为了得到函数)62sin(π-

=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）

A ．向右平移6π个单位长度

B ．向右平移3π个单位长度

C ．向左平移6

π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S

T 等于 （ ） A ．91 B ．94 C ．41 D ．3

1 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之

和等于9的概率为

（ ） A ．

12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为

（ ）

A ．3－21

B ．21－3

C ．－21－3

D ．2

1+3 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .

14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨

迹方程为 .

15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项

1___n a ?=??

12

n n =≥ 16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .

①两条平行直线

②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点

在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分） 求函数x

x x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值. 18．（本小题满分12分）

一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.

19．（本小题满分12分）

已知,R a ∈求函数ax e x x f 2)(=的单调区间.

20．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.

（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，

（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.

21．（本小题满分12分）

设双曲线C ：1:)0(1222

=+>=-y x l a y a

x 与直线相交于两个不同的点A 、B. （I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：

（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.12

5=

求a 的值. 22．（本小题满分14分）

已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….

（I ）求a 3, a 5；

（II ）求{ a n }的通项公式.

2004年高考试题全国卷1

理科数学（必修+选修Ⅱ）

(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)

参考答案

一、选择题

DBCBABCCBADB

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2

!n 16．①②④ 三、解答题

17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分. 解：x

x x x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+= 2

12sin 41)cos sin 1(2

1)

cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x 所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是4

1. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.

P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3

P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12

C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22

C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04

于是得到随机变量ξ的概率分布列为：

所以E ξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.

解：函数f (x )的导数：

.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='

（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.

所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II ）当,02,02,02>-<>+>x a x ax x a 或解得由时

由.02,022<<-<+x a

ax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－

a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0

a 2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a

2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－

a 2）内为增函数，在区间（－a

2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能

力.满分12分.

（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，

连结PE.

∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，

∵PA=PD ，∴OA=OD ，

于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.

由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=3

∴PO=PE ·sin60°=2

3233=?， 即点P 到平面ABCD 的距离为

23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.

)4

3,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG. 又知).0,2

33,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0

,0).0,0,2(),2

3,233,0(),4

3,43,1(=?=?-=-=--=PB BC PB GA BC PB 于是有 所以θ,.⊥?⊥

等于所求二面角的平面角， 于是,772cos -==θ

所以所求二面角的大小为7

72arccos -π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=2

1BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ，

∴∠AGF 是所求二面角的平面角.

∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.

又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°.

在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=2

3. 在Rt △PEG 中，EG=2

1AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG =2

3, 又∠AGF=π－∠GAE.

所以所求二面角的大小为π－arctan 2

3. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合

解题能力.满分12分.

解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组

??

???=+=-.1,1222

y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得

（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①

.

120.0)1(84.012242≠<-+≠-a a a a a a 且解得所以

双曲线的离心率

).,2()2,2

6(22

6,120.1112

2

+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e （II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A

.12

5).1,(125)1,(,12

5212211x x y x y x PB PA =-=

-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，

13

17,06028912,,.12125.1212172222

2

222

2

2=>=----=--=a a a

a x a a x a a x 所以由得消去所以 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.

满分14分.

解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,

a 3=a 2+31=3.

a 4=a 3+(－1)2=4,

a 5=a 4+32=13,

所以，a 3=3,a 5=13.

(II) a 2k+1=a 2k +3k

= a 2k －1+(－1)k +3k ,

所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,

同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,

……

a 3－a 1=3+(－1).

所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)

=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],

由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+2

1[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(2

1231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k =2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为：

当n 为奇数时，a n =;121)1(2

3212

1

-?-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-?-+=n

n

n a 2005年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅰ）

第I 卷

一、选择题：

1．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（ ）

A ． I S I ∩（S 2∪S 3）=

B ．S 1?（ I S 2∩ I S 3）

C ． I S I ∩ I S 2 ∩ I S 3=

D ．S 1?（ I S 2∪ I S 3）

2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为

（ ） A ．8π2 B ．8π C ．4π2 D ．4π

3．已知直线l 过点（－2，0），当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）

A ．)22,22(-

B ．)2,2(-

C ．)4

2,42( D ．)81,81(- 4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）

A ．32

B ．33

C ．34

D ．23 5．已知双曲线)0(1222

>=-a y a

x 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线 的离心率为

（ ） A ．23 B ．23 C ．26 D ．3

32 6．当20π

<

7．设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：

则a 的值为

（ ） A ．1

B ．－1

C ．251--

D ．251+-

8．设10<

A ．)0,(-∞

B ．),0(+∞

C ．)3log ,(a -∞

D ．),3(log +∞a 9．在坐标平面上，不等式组?

??+-≤-≥1||3,1x y x y 所表示的平面区域的面积为 （ ） A ．2 B ．23 C ．223 D ．2

10．在ABC ?中，已知C B A sin 2tan

=+，给出以下四个论断：①1cot tan =?B A ②2sin sin 0≤+

正确的是

（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③

11．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有

（ ） A ．18对 B ．24对 C ．30对 D ．36对

12．复数=--i i 2123

（ ）

A ．i

B ．i -

C ．i -22

D ．i +-22

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.

3．本卷共10小题，共90分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则

14．9)1

2(x x -的展开式中，常数项为 .（用数字作答）

15．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数

m= .

16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，

则

①四边形BFD ′E 一定是平行四边形.

②四边形BFD ′E 有可能是正方形.

③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形.

④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D.

以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

设函数)(),0)(2sin()(x f y x f =<<-+=?π?π图象的一条对称轴是直线.8π=

x （Ⅰ）求?；

（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；

（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切.

18．（本小题满分12分）

已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面 ABCD ，且PA=AD=DE=2

1AB=1，M 是PB 的中点. （1）证明：面PAD ⊥面PCD ；

（2）求AC 与PB 所成的角；

（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.

19．（本小题满分12分）

设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和S n >0（n=1，2，…） （1）求q 的取值范围；

（2）设,2

312++-=n n n a a b 记}{n b 的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小.

20．（本小题满分12分）

9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01）

21．（本小题满分14分）

已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.

22．（本小题满分12分）

（1）设函数)10)(1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；

（2）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，

求证.log log log log 222323222121n p p p p p p p p n n -≥++++

2005年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修I ）参考答案

一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）

1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

13．155 14．672 15．1 16．①③④

三、解答题

17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π

的图像的对称轴，,1)82sin(±=+?

∴?π .,2

4Z k k ∈+=+∴π

πππ

.43,0π??π-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).4

32sin(,43ππ?-=-

=x y 因此 由题意得 .,2

243222Z k k x k ∈+≤-

≤-πππππ 所以函数.],8

5,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）证明：,2|)432cos(2||))432(sin(|||≤-='-='ππx x y 所以曲线)(x f y =的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线025=+-c y x 的斜率为

225>，所以直线025=+-c y x 与函数)4

32sin(π-=x y 的图像不相切. 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.

方案一：

（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，

∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.

因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直，

∴CD ⊥面PAD.

又CD ?面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.

（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，

则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.

连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，

所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90°

在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .5

10cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos 所成的角为与PB AC ∴

（Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN.

在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ，

∴△AMC ≌△BMC,

∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角.

∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ，

在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM ?-22)2

(， 56

25

223=?=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=??-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-

方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A （0，0，0）

B （0，2，0），

C （1，1，0），

D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)2

1. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故

由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-== .510||||,cos ,2,5||,2||=?>=<=?==PB AC PB AC 所以

故 （Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=

..2

1,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x 要使.5

4,0210,==-=?⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN 0),5

2,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为所求二面角的平面角

.

).3

2arccos(.32|

|||),cos(.5

4,530||,530||--=?=∴-=?==故所求的二面角为BN AN 19． 本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分. 解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得

当;0,11>==na S q n 时

),2,1(,011,01)1(,11 =>-->--=≠n q

q q

q a S q n n n 即时当 上式等价于不等式组：),2,1(,0

1,01 =???<-<-n q q n ① 或),2,1(,01,01 =?

??>->-n q q n ② 解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1

综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞?- （Ⅱ）由得122

3++-

=n a n a a b .)2

3(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)12

3(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n .,0,2,2

1;,0,022

1;,0,22

11,

,001,0n n n n n n n n n n n n n S T S T q q S T S T q q S T S T q q q q S ==-=-=<<-≠<<->>->-<<-><<->即时或当即时且当即时或当所以或且又因为 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率

知识解决实际问题的能力. 满分12分.

（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=

-，所以甲坑不需要补 种的概率为 .87811=-