人教版小学数学毕业总复习知识点

【 目 录 】

第一部分 常用的数量关系---------------------------1 第二部分 小学数学图形计算公式---------------------1 第三部分 常用单位换算-----------------------------2 第四部分 基 本 概 念------------------------------3 第一章 数和数的运算--------------------------------3 第二章 度量衡--------------------------------------16 第三章 代数初步知识--------------------------------17 第四章 空间与图形----------------------------------20 第五章 简单的统计 ---------------------------------24

班级__________________ 姓名__________________

小学数学总复习资料

【常用的数量关系】

1、每份数×份数=总数； 总数÷每份数=份数 ； 总数÷份数=每份数 2、1倍数×倍数=几倍数； 几倍数÷1倍数=倍数； 几倍数÷倍数=1倍数 3、速度×时间=路程 ； 路程÷速度=时间 ； 路程÷时间=速度 4、单价×数量=总价； 总价÷单价=数量 ； 总价÷数量=单价 5、工作效率×工作时间=工作总量； 工作总量÷工作效率=工作时间；

工作总量÷工作时间=工作效率；

6、加数+加数=和； 和-一个加数=另一个加数

7、被减数-减数=差； 被减数-差=减数； 差+减数=被减数 8、因数×因数=积； 积÷一个因数=另一个因数

9、被除数÷除数=商 ； 被除数÷商=除数； 商×除数=被除数

【小学数学图形计算公式】

1、正方形（C:周长， S：面积， a:边长） 周长=边长×4； C=4a 面积=边长×边长； S=a×a 2、正方体（V：体积， a：棱长）

表面积=棱长×棱长×6； S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长； V= a×a×a

3、长方形（C:周长， S：面积， a:边长， b：宽 ）

周长=（长+宽）×2； C=2(a+b)

面积=长×宽 ； S=a×b

4、长方体（V：体积， S：面积， a:长， b：宽， h:高） （1）表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2； S=2(ab+ah+bh) （2）体积=长×宽×高； V=abh 5、三角形（S：面积， a:底， h:高） 面积=底×高÷2 ； S=ah÷2

三角形的高=面积×2÷底 三角形的底=面积×2÷高 6、平行四边形（S：面积， a:底， h:高） 面积=底×高； S=ah

7、梯形（S：面积， a:上底， b：下底， h:高）

面积=(上底+下底)×高÷2； S=(a+b)×h÷2

8、圆形（S：面积， C：周长，π：圆周率， d：直径， r：半径 ） （1）周长=π×直径π=2×π×半径； C=πd=2πr （2）面积=π×半径×半径； S= πr2

9、圆柱体（V：体积， S：底面积， C：底面周长， h：高， r：底面半径 ） （1）侧面积=底面周长×高=Ch=πdh=2πrh （2）表面积=侧面积+底面积×2 （3）体积=底面积×高

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10、圆锥体（V：体积， S：底面积， h：高， r：底面半径 ） 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数=平均数

12、和差问题的公式：已知两数的和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题，简称和差问题。

(和+差)÷2=大数； (和-差)÷2=小数

13、和倍问题的公式：已知两个数的和与两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用

题，我们通常叫做和倍问题。

和÷(倍数-1)= 小数； 小数×倍数=大数（或者：和-小数=大数） 14、差倍问题的公式：差倍问题即已知两数之差和两数之间的倍数关系，求出两数。 差÷(倍数-1)= 小数； 小数×倍数=大数（或者：小数+差=大数） 15、相遇问题： 相遇路程=速度和×相遇时间； 相遇时间=相遇路程速度和；

速度和=相遇路程÷相遇时间

16、浓度问题

溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量； 溶液的重量×浓度=溶质的重量； 溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度； 溶质的重量÷浓度=溶液的重量 17、利润与折扣问题： 利润=售出价-成本； 利润率=利润÷成本×100%；

利息=本金×利率×时间； 涨跌金额=本金×涨跌百分比； 税后利息=本金×利率×时间×（1-利息税）

【常用单位换算】

（一）长度单位换算

1千米=1000米； 1米=10分米； 1分米=10厘米；1米=100厘米；1厘米=10毫米 （二）面积单位换算： 1平方千米=100公顷； 1公顷=10000平方米；

1平方米=100平方分米； 1平方分米=100平方厘米； 1平方厘米=100平方毫米 （三）体积（容积）单位换算：1立方米=1000立方分米； 1立方分米=1000立方厘米；

1立方分米=1升； 1立方厘米=1毫升； 1立方米=1000升

（四）重量单位换算： 1吨=1000千克； 1千克=1000克； 1千克=1公斤 （五）人民币单位换算： 1元=10角； 1角=10分； 1元=100分 （六）时间单位换算： 1世纪=100年； 1年=12月；

【大月（31天）有：1、3、5、7、8、10、12月】； 【小月（30天）有：4、6、9、11月】 【平年：2月有28天；全年有365天】； 【闰年：2月有29天；全年有366天】 1日=24小时； 1时=60分=3600秒； 1分=60秒；

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【基 本 概 念】

第一章 数和数的运算

一、概念 （一）整 数

1.自然数、负数和整数 （1）、自然数 ：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3??叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 1是自然数的基本单位，任何一个自然数都是由若干个1组成。 0是最小的自然数，没有最大的自然数。

（2）、负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数，“-”叫做负号。

自然数

(3)整 数 零 (0既不是正数，也不是负数) 负整数（-1、-2、-3、-4??） 2、零的作用

（1）表示数位。读写数时，某个单位上一个单位也没有，就用0表示。 （2）占位作用。

（3）作为界限。如“零上温度与零下温度的界限”。 3、计数单位 ：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿??都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位 ：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5、数的整除 ：整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被

b整除，或者说b能整除a 。

（1）如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 （2）一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。

例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 （3）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

如：3的倍数有：3、6、9、12??其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

（4）个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。 （5）个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 （6）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除， 例如：12、108、204都能被3整除。

（7）一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

（8）能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 （9）一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

（10）一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。

例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

正整数（1、2、3、4、??）

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（11）能被2整除的数叫做偶数。

不能被2整除的数叫做奇数。

0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 （12）一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。

100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、

53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 （13）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

例如 4、6、8、9、12都是合数。

（14）1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约

数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

（15）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。

（16）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：把28分解质因数 （17）几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12； 18的约数有1、2、3、6、9、18。

其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。

（18）公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： ①1和任何自然数互质。 ②相邻的两个自然数互质。 ③两个不同的质数互质。 ④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

⑤两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。

⑥如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。 ⑦如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。

（19）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，

如：2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ??

3的倍数有3、6、9、12、15、18 ??

其中6、12、18??是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。

①如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 ②如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 ③几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

（二）小数

1 、小数的意义

（1）把整数1平均分成10份、100份、1000份?? 得到的十分之几、百分之几、千分之

几?? 可以用小数表示。 （2）一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几?? （3）一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点

左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

（4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。 2、小数的分类

（1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 （2）带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。

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（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。

求比两个数的和多（少）几个数的应用题。 比较两数差与倍数关系的应用题。 （3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。

已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。 已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。 （4）解答连乘连除应用题。 （5）解答三步计算的应用题。

（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、

结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。 (7) 解答加法应用题：

a.求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。

b.求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。 （8）解答减法应用题：

a.求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。

b.求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。

c.求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。 （9）解答乘法应用题：

a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。

b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。

（10）解答除法应用题：

a.把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。

b.求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。 c.求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。 d.已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。

（11）常见的数量关系： 总价= 单价×数量； 路程= 速度×时间；

工作总量=工作时间×工效 ； 总产量=单产量×数量

3、典型应用题 ： 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。 （1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。

解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。

算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。

数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。

加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。 数量关系式：（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。

差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。

数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数

最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数 最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。

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例： 一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，

则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是

11001601100，

，汽车共行的时间为：

+

160 =

275 , 汽车的平均速度为： 2 ÷

275 =75 （千米）

（2） 归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变

化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。

根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题和两次归一问题。 根据求出单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题和反归一问题。 一次归一问题：用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。” 两次归一问题：用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。” 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。

数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一） 总数量÷单一量=份数（反归一）

例 ： 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ，照这样计算，织布6930米，需要多少天？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0÷（477 4÷31）=45（天） （3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数

量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。

特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。

数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量 例： 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先

求出总量，再求单一量。 800 × 6 ÷ 4=1200 （米）

（4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做

和差问题。

解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。 解题规律：（和＋差）÷2 = 大数 大数－差=小数

（和－差）÷2=小数 和－小数= 大数

例： 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？

分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，

即 9 4 － 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 － 87=7 （人）

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（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，

叫做和倍问题。

解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为

标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可

能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

解题规律：和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数

例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车

和小汽车各有多少辆？

分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与

（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。

列式为：（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 × 5+7=97 （辆）

（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。 解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数 标准数×倍数=另一个数。

例：甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲

所剩的长度是乙绳长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？ 分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实际比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。 列式：（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）? 乙绳剩下的长度，

17 × 3=51 （米）? 甲绳剩下的长度，

29-17=12 （米）? 剪去的长度。

（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。

解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律：

同时同地相背而行：路程=速度和×时间。 同时相向而行：相遇时间=速度和×时间

同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。 同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

例： 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时

行 9 千米 ，甲几小时追上乙？

分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，

这是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。

列式： 2 8 ÷（16-9）=4 （小时）

（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，

它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

船速：船在静水中航行的速度。 水速：水流动的速度。

顺水速度：船顺流航行的速度。 逆水速度：船逆流航行的速度。 顺速=船速＋水速 逆速=船速－水速

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解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。

解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2

流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2 路程=顺流速度×顺流航行所需时间 路程=逆流速度×逆流航行所需时间

例： 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米，到乙地后，又逆水航行，回到

甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米？ 分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。

已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。 列式为： 284 × 2=20 （千米）； 2 0 × 2 =40 （千米）； 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小时）； 28 × 5=140 （千米）。

（9） 还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用

题，我们叫做还原问题。

解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原

数。根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。

例： 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人

到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班

原有学生多少人？

分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从

一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。

四班原有人数列式为： 168 ÷ 4-2+3=43 （人） 一班原有人数列式为： 168 ÷ 4-6+2=38 （人） 二班原有人数列式为： 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人数列式为： 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。

（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四

种数量关系的应用题，叫做植树问题。

解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植

树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。

解题规律：

a.沿线段植树

棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1

株距=总路程÷（棵树-1） 总路程=株距×（棵树-1） b.沿周长植树

棵树=总路程÷株距

株距=总路程÷棵树 总路程=株距×棵树

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例： 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。

分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。 列式为： 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）

（11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平

均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次

都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再

求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。

解题规律：总差额÷每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况：

a.第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足

b.第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足 c.第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余

d.第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足

例： 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？ 分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔

多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。

列式为：（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支）； 10 × 12+5=125 （支）。 （12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。

解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年

岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一

种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。

例： 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？ 分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父

子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求

出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。

列式为： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）

（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用

题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，

然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数

兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2

如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 兔的头数=总头数-鸡的只数

例： 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？

兔子只数：（ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只） 鸡的只数： 50-35=15 （只）

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（5）按比例分配:在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。

这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 2、比例的意义和性质

（1）比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 （2）比例的性质

在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 （3）解比例: 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

3、正比例和反比例

（1）成正比例的量: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量

中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比

例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示: y/x=k(一定）

（2）成反比例的量: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量

中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示: x×y=k(一定)

第四章 空间与图形

一、线和角

1、线

（1）直线：直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 （2）射线：射线只有一个端点；长度无限。

（3）线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。 （4）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

两条平行线之间的垂线长度都相等。

（5）垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条

直线的垂线,相交的点叫做垂足。

从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。

2、角

（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。 这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类

锐角：小于90°的角叫做锐角。

直角：等于90°的角叫做直角。

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角是180°。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。

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二、平面图形

1、长方形

（1）特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式： c=2(a+b) ； s=ab

2、正方形

（1）特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。

（2）计算公式： c=4a ； s=a 3、三角形

（1）特征：由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 （2）计算公式： s=ah/2 （3） 分类

a.按角分：

锐角三角形 ：三个角都是锐角。

直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。

b.按边分：

不等边三角形：三条边长度不相等。

等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。

等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。

4、平行四边形

（1）特征：两组对边分别平行的四边形。

相对的边平行且相等。

对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。 平行四边形容易变形。

（2）计算公式： s=ah 5、梯形

（1）特征：只有一组对边平行的四边形。

中位线等于上下底和的一半。 等腰梯形有一条对称轴。 （2） 公式：s=(a+b)h/2

6、圆

（1）圆的认识

①平面上的一种曲线图形。

②圆心：圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。

③半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。 在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。

④直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。

同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。 ⑤同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。 ⑥圆的大小由半径决定； ⑦圆的位置由圆心决定。 ⑧圆有无数条对称轴。

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2

（2）圆的画法：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；

把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；

把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

（3）圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母π表示。 （计算时π=3.14）

（4）圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

2

（5）计算公式： d=2r ； r=d/2 ； c=πd ； c=2πr ； s=πr 7、扇形

（1）扇形的认识：

①一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 ②圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 ③顶点在圆心的角叫做圆心角。

④在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 ⑤扇形有一条对称轴。 (2)计算公式： s=nπr2/360

8、环形

(1)特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。 (2)计算公式：s=π(R-r） 9、轴对称图形

(1)特征：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

等腰梯形有1条对称轴， 扇形有1条对称轴。 长方形有2条对称轴。 等腰三角形有2条对称轴， 等边三角形有3条对称轴。 正方形有4条对称轴， 菱形有4条对称轴， 圆有无数条对称轴。

三、立体图形 （一）长方体

1、特征：六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。

相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。

有8个顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。

把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。

长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

2、计算公式：s=2(ab+ah+bh)； V=sh ； V=abh

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2

2

（二）正方体

1、特征：①六个面都是正方形； ②六个面的面积相等； ③12条棱，棱长都相等；

④有8个顶点； ⑤正方体可以看作特殊的长方体。 2、计算公式：S表=6a2 ； v=a3

（三）圆柱

1、圆柱的认识：圆柱的上下两个面叫做底面。

圆柱有一个曲面叫做侧面。

圆柱两个底面之间的距离叫做高 。

2、计算公式 ： s侧=ch ； s表=s侧+s底×2 ； v=sh/3

3、进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略

的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。

（四）圆锥

1、圆锥的认识：圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。

从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

2、测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。

3、计算公式： v= sh/3

（五）球

1、认识：球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。

球和圆类似，也有一个球心，用O表示。

从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。 通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等。 直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。

2、 计算公式：d=2r

（六）图形与方位

1、图形的变换

（1）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移不改变图形的形状和大小。 （2）旋转：在平面内，将一个图形绕一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。旋转不改变图形的形状和大小。

（3）对称：两个图形，如果沿着某一条直线对折后，它们能完全重合，那么这两个图形成

轴对称；

（4）轴对称图形：如果某一个图形沿着某条直线对折后能完全重合，那么这个图形就是轴

对称图形。

2、观察物体:我们在日常生活中接触到的大部分立体图形不是对称的,从各个角度看到的形状也是

不同的。要用平面图形表示出立体图形的形状，就需要从各个不同的方向去观察物体。

3、确定方位

（1）方向：东、西、南、北、东北、东南、西北、西南、上、下、左、右、前、后。

（2）位置：人或物体在空间的位置以及人与人、人与物体、物体与物体在空间的位置关系，

一般可以用第几个加以说明，也可以利用直角坐标系把平面上的点与数对应起来，以确定平面上点的位置。

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第五章 简单的统计

一、统计表

（一）意义：把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。

（二）组成部分：一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。

（三）种类

1、单式统计表：只含有一个项目的统计表。

2、复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。

3、百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。

（四）制作步骤

1、搜集数据：

2、整理数据：要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。

3、设计草表：要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。

4、正式制表：把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计

表的名称和制表日期。

二、统计图

（一）意义：用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。 （二）分类：条形统计图、折线统计图、扇形统计图。

1、条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，

然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。

A、优点：很容易看出各种数量的多少。

B、注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。

取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；

复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开， 并在制图日期下面注明图例。

C、制作条形统计图的一般步骤:

（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。

（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 （4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。

2、折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。

A、优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 B、注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。

C、制作折线统计图的一般步骤:

（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

（2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。

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（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 （4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。

3、扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。 A、优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。 B、制扇形统计图的一般步骤：

（1）先算出各部分数量占总量的百分之几。

（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。

（3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。 （4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把

各个扇形区别开。 （三）可能性

1、可能性：无论在什么情况下都会发生的事件，是“一定”会发生的事件； 在任何情况下都不会发生的事件，是“不可能” 发生的事件；

在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能” 会发生的事件； 2、可能性的大小：在可能发生的事件中，如果出现该事件的情况较多，我们就说该事件发生的可

能性较大；如果出现该事件的情况较少，我们就说该事件发生的可能性较小。

3、游戏规则的公平性

公平性就是只参与游戏活动的每一个对象获胜的可能性是相等的。

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（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 （4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。

3、扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。 A、优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。 B、制扇形统计图的一般步骤：

（1）先算出各部分数量占总量的百分之几。

（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。

（3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。 （4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把

各个扇形区别开。 （三）可能性

1、可能性：无论在什么情况下都会发生的事件，是“一定”会发生的事件； 在任何情况下都不会发生的事件，是“不可能” 发生的事件；

在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能” 会发生的事件； 2、可能性的大小：在可能发生的事件中，如果出现该事件的情况较多，我们就说该事件发生的可

能性较大；如果出现该事件的情况较少，我们就说该事件发生的可能性较小。

3、游戏规则的公平性

公平性就是只参与游戏活动的每一个对象获胜的可能性是相等的。

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