第六章 广义逆矩阵

第六章 广义逆

广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵?1?-逆及矩阵Moore-Penrose逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin逆的基本性质。

§6.1 广义逆矩阵的概述

广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设Cn为复n维向量空间，

Cm?n为复m?n矩阵全体。设矩阵A?Cm?n，考虑线性方程组

Ax?b （6-1） 其中，b?Cm为给定的m维向量，x?Cn为待定的n维向量。

定义1 若存在向量x?Cn满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。

众所周知，当A为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解x?A?1b，其中

A?1是A的逆矩阵。当A为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有

无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求x?Cn，使得

Ax?b?miny?b （6-2）

y?R(A)成立，其中

代表任意一种向量范数，R(A)?y?Cmy?Ax,?x?Cn。上述两

??G是某个n?m矩阵？ 种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x?Gb，其中，

这个矩阵G是通常逆矩阵的推广。

1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。

定义2 设矩阵A?Cm?n，若存在矩阵X?Cn?m满足下列Penrose方程 （1）AXA?A； （2）XAX?X； （3）(AX)H?AX；

1

（4）(XA)H?XA

则称X为A的Moore-Penrose 逆，记为A?。

例1 由Moore-Penrose逆的定义不难验证

?1?0?2??11??A?（1） 若A??，则??； ??00??10????2?（2） 若a?C，则a?n?aHa2，其中a?aHa；

2?BO?r?rm?nB?C（3） 若A??，其中是可逆矩阵，则 ?C??OO??B?1O?n?mA????C；

?OO??（4） 若A是可逆矩阵，则A??A?1。

定理1 对于任意矩阵A?Cm?n，其Moore-Penrose逆存在并且唯一。 证明 存在性。设矩阵A?Cm?n有奇异值分解

??O?HA?P??Q， OO??其中P?Cm?m，??diag(?1,?,?r)，A的正奇异值为?1,?,?r，Q?Cn?n为酉矩阵，

rank(A)?r。容易验证

???1O?HX?Q??P

?OO?满足定义2中的四个Penrose方程，所以，A?总是存在的。

唯一性。设X,Y均满足定义2中的四个Penrose方程，则

X?X(AX)H?XXHAH?XXHAHYHAH?X(AX)H(AY)H

?XAXAY?XAY?XAYAY?(XA)H(YA)HY?AHXHAHYHY=AYY?(YA)Y?YAY?YHHH

所以A?是唯一的。

更一般的，为了不同的目的，人们定义了满足Penrose方程中任意若干个方 程的广义逆。

2

定义3 设矩阵A?Cm?n，若矩阵X?Cn?m满足Penrose方程中的（i），（j）， （l）等方程，则称X为A的?i,j,?,l?-逆，记为A(i,j,?,l)。 ?，

由定义3与定义1可知，A??A(1,2,3,4)。因为对于任意?i,j,?,l???1,2,3,4?都 有A?为A的?i,j,?,l?-逆，所以利用定理1可知A(i,j,?,l)总是存在的。但是除了A?是唯一确定的之外，其余各种?i,j,?,l?-逆矩阵都不是唯一确定的，因此将A的

?i,j,?,l?-逆全体记为A?i,j,?,l?。如果按照满足Penrose方程个数进行分类，

1234?C4?C4?C4?15种。但应用较多的是以下5种： ?i,j,?,l?-逆矩阵共有C4A{1},A{1,2},A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}，

其中，A(1)?A??A{1}最为基本，A??A{1,2,3,4}最为重要。A(1,2)?Ar??A{1,2}称

?为自反广义逆，A(1,3)?Al??A{1,3}称为最小二乘广义逆，A(1,4)?Am?A{1,4}为极

小范数广义逆。

?A例2 设矩阵A??11?A21?1?A11O?易验证???A?1?。

?OO?A12??1，其中为可逆矩阵，且AA?AAA12，则容11222111?A22?例3 设矩阵A?Cm?n。

（1）若rank(A)?m，此时AAH?Cm?m为可逆矩阵，容易验证

X?AH(AAH)?1?A{1,2,3};

（2）若rank(A)?n，此时AHA?Cn?n为可逆矩阵，容易验证

X?(AHA)?1AH?A{1,2,4}。

除了以上?i,j,?,l?广义逆矩阵之外，还有群逆、Drazin逆等另外一些广义逆矩阵。1967年，Erdelyi给出如下群逆的概念。

定义4 设矩阵A?Cn?n，若矩阵X?Cn?n满足 （1）AXA?A； （2）XAX?X； （3）AX?XA； 则称X为A的群逆，记为A#。

3

从定义4可以看出，群逆A#是一个特殊的A(1,2)，虽然A(1,2)总是存在的，但是这种群逆未必存在。

为了介绍Drazin逆的定义，下面先给出方阵指标的概念。 定义5 设矩阵A?Cn?n，称满足

rank(Ak?1)?rank(Ak)

的最小非负整数k为A的指标，记作Ind(A)?k。

若矩阵A是非奇异的，则Ind(A)?0，若矩阵A是奇异的，则Ind(A)?1。 1958年，Drazin给出如下Drazin逆的概念。

定义6 设矩阵A?Cn?n，其指标为k，若存在矩阵X?Cn?n满足 （1）AkXA?Ak； （2）XAX?X； （3）AX?XA；

则称X为A的Drazin逆，记作AD。

易见，若矩阵A的指标为1，则A的Drazin逆就是群逆。

§6.2 ?1?-逆的性质与计算

由于?1?-逆是最基本、最重要的一种广义逆，本节将给出?1?-逆的基本性质与计算方法。 6.2.1 ?1?-逆的存在性

定理1设矩阵A?Cm?n，其秩为r。若矩阵A的等价标准形为

?EPAQ??r?OO?， ?O?其中P,Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，则矩阵A的所有?1?-逆的集合为

??E?A{1}??A(1)?Q?r??B21??B12?r?(m?r)(n?r)?r(n?r)?(m?r)?PB?C,B?C,B?C?。 122122B22????证明 设矩阵X为A的任意一个?1?-逆，则其满足

AXA?A。

于是，

4

?EP?1?r?OO??1?1?ErQXP??O??OO??1?1?ErQ?P?OO???O??1Q。 ?O?因为P,Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，上式等价于

?Er?O?O??1?1?ErQXP??O??OO??Er???O??OO?。 ?O??B令Q?1XP?1??11?B21故

B12?，则由上式可以推出B11?Er，而B12,B21,B22是任意的，B22???EQ?1XP?1??r?B21即

B12?， B22???ErX?Q??B21因此，此定理结论成立。

B12?P。 B22??由此定理的证明过程可知矩阵A的?1?-逆一定存在，但由于B12,B21,B22的任意性得矩阵A的?1?-逆不唯一。 6.2.2 ?1?-逆的基本性质

关于?1?-逆的基本性质，有如下定理。 定理2 设矩阵A?Cm?n，??R，则 （1）(AT)(1)?(A(1))T,(AH)(1)?(A(1))H；

n?n（2）若矩阵A?Cn，则A(1)?A?1，并且A的?1?-逆是唯一的；

?1?（3）(?A)(1)???A(1)，其中???????0??0??0；

（4）设P,Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，则

(PAQ)(1)?Q?1A(1)P?1；

（5）rank(A)?rank(A(1))；

（6）AA(1)与A(1)A都是幂等矩阵，且

rank(A)?rank(AA(1))?rank(A(1)A)。

5

证明 利用6.1节定义3，可以直接验证此定理的（1）-（4）成立。 （5） 由于

rank(A)?rank(AA(1)A)?rank(AA(1))?rank(A(1))，

所以结论成立。

（6） 由于

(AA(1))2?AA(1)AA(1)?AA(1)， (A(1)A)2?A(1)AA(1)A?A(1)A，

所以，AA(1)与A(1)A都是幂等矩阵。 又由于

rank(A)?rank(AA(1)A)?rank(AA(1))?rank(A)，

所以

rank(A)?rank(AA(1))，

同理

rank(A)?rank(A(1)A)，

因此，结论成立。 6.2.3 ?1?-逆的计算

定理1给出利用等价标准形求?1?-逆的方法。

?0?130??，求A{1}，并具体给出一个A(1)。 2?415例1 已知矩阵A???????457?10??解答 由于

?0?1?2?4???45E3????10O???01??00?00?3170010100?5010???10001??0000? 0000??0000?1000??0?A?E?46

??1??0?0????1??0?0???0???2?现令P???1??3??0100000000?2115?2213000010011?0?2??100??321??，

000???000?000??000???1?0??12??00?，Q??0?021??????0115???22?130?，所以矩阵A的等价标准形为 010??001???1000??，

PAQ??0100????0000??利用定理1可得

???EA{1}??Q?2???B21?B12?2?12?22?1?PB?C,B?C,B?C?； 122122B22????令B12,B21,B22均为零矩阵时，得到一个最简单的{1}-逆如下：

??1?(1)A??0?0???0115????122??0130???0010????0001??000???2??10???100?????300???1??0???22??00????121??0?????01?0?2?00?。 00??00??§6.3 Moore-Penrose广义逆的性质与计算

由于Moore-Penrose广义逆在研究线性方程组解的表达式问题中起着重要作用，因此本节将介绍Moore-Penrose广义逆的基本性质与计算方法。 6.3.1 Moore-Penrose广义逆的计算

利用6.1节定理1可知，Moore-Penrose广义逆总是存在的，并且给出了利 用奇异值分解计算Moore-Penrose广义逆的方法。下面给出利用满秩分解计算Moore-Penrose广义逆的方法。

?n定理1设矩阵A?Cm，其满秩分解为 r7

A?FG，

?r?n其中F?Cm为列满秩矩阵，G?Crrr为行满秩矩阵，则

A??GH(GGH)?1(FHF)?1FH。

证明 因为rankFH(F?)，rank(GGH)?rank(G)?r，所以raFn?k(r?rrFHF?C与GGH?Cr?r皆为可逆矩阵。令

X?GH(GGH)?1(FHF)?1FH，

不难验证X满足Penrose的四个方程，所以

A??GH(GGH)?1(FHF)?1FH。

推论1 设矩阵A?Cm?n，则

（1）若rank(A)?m，则A??AH(AAH)?1； （2）若rank(A)?n，则A??(AHA)?1AH；

?r?n（3）若A有满秩分解A?FG，其中F?Cm为列满秩矩阵，G?Crrr为行满

秩矩阵，则A??G?F?。

?10??，利用矩阵奇异值分解求矩阵A的Moore-Penrose02例1 已知矩阵A??????00??逆A?。

?100??，所以AAH的特征值为??1，??4，??0，040解答 由于AAH??123????000??因此，A的正奇异值为?1?1，?2?2。

特征值?1?1、?2?4、?3?0对应的单位特征向量分别为

?1??0??0??，???1?，???0? ?1??023??????????0???0???1??所以

U???1?2?100??。 ?3???010????001??8

令

?10??， U1??01????00??则

V1?AHU1??H?10??1100????10??10??????01??02???01? 020???00???????令V?V1，则A的奇异值分解为

?100??10?H?10??H????02?A?U??V??010?????01?， O????????00100????于是

?10??1?A????000????0120??100??1?010????0????0???001???0120?。 0????11010??，利用满秩分解求矩阵A的Moore-Penrose01111例2 设矩阵A??????10110??逆A?。

解答 因为矩阵A的满秩分解为

??100?110????010011 A?FG???????101????001??1212121???2?1?， 2?1??2??并且

?1?2?1F?1???2?1???2?9

?1212121?2??1??，G??GH(GGH)?1， 2?1??2??于是

?20?3?3?0?4?1?G??0?4??11?4?3?11???34故

?0??1??4?3??， 4?1??4?1??4??1?3??1?2?1???1A?GF????2?1??6?1???66.3.2 Moore-Penrose广义逆的基本性质

?11?33??11??42?11??。 42?11??126?51???126?利用6.1节定理1可知，Moore-Penrose广义逆是唯一的，因此，它具有与通常逆矩阵相似的性质。下面给出Moore-Penrose广义逆的一些基本性质，其证明可以利用Moore-Penrose广义逆的定义或定理1直接推出。

定理2 设矩阵A?Cm?n，则

（1）(A?)??A；

（2）(AH)??(A?)H，(AT)??(A?)T；

?1?（3）(?A)???+A?，其中?+=????0（4）rank(A?)?rank(A)；

??0?=0，??R；

（5）rank(AA?)?rank(A?A)?rank(A)；

10

（6）(AHA)??A?(AH)?，(AAH)??(AH)?A?；

（7）若U?Cm?m，V?Cn?n均为酉矩阵，则

(UAV)??VHA?UH；

?n?n?（8）若A?Cm，则A?A?En，若A?Cmnm，则AA?Em；

尽管A?与A?1有一些相近的性质，但它毕竟是广义逆矩阵，因此逆矩阵的一些性质对A?并不成立。

例3 举例说明对Moore-Penrose广义逆矩阵A?，下列结论未必正确。 （1）(AB)??B?A?；

（2）(Ak)??(A?)k，其中k为正整数； （3）若P,Q为可逆矩阵，(PAQ)??Q?1A?P?1。

?1?解答 （1）设A??1，，1?B???，则AB?1，因此(AB)??1。

?0?因为rank(A)?1，所以利用推论1的（1）可知

?1??1?1?1?A??AH(AAH)?1???(?1,1???)?1???；

2?1??1??1?因为rank(B)?1，所以利用推论1的（2）可知

?1?B??(BHB)?1BH?(?1,0???)?1?1,0???1,0?；

?0?于是

B?A??1?1?(AB)?， 2可见

(AB)??B?A?。

?1?1?（2）取A???，其满秩分解为 00??A?FG，

?1?其中F???，G??1,?1?。利用推论1可得

?0??1?F??(FHF)?1FH?(?1,0???)?1?1,0???1,0?，

?0?11

?1??1?1?1?G??GH(GGH)?1???(?1,?1???)?1???，

2??1???1???1?于是，由推论1的（3）可得

1?10?， A?GF???2??10????因此，(A2)??A??1?10?1?10??2，而，由此可见 (A)??????10?102?4???(A2)??(A?)2。

?1??11?（3）取A???，P??，Q?1。 ??1??01?由于rank(A)?1，所以

?1?1?1A???AHA?AH?(?1,1???)?1?1,1???1,1?。

2?1??2?于是PAQ???，利用推论1的（2）可得

?1??2??11(PAQ)?(?2,1???)?2,1???2,1?，

5?1???1?1?而P?1??，Q?1?1，于是 ??01?Q?1A?P?1?1?1，0?， 2由此可见

(PAQ)??Q?1A?P?1。

§6.4 广义逆矩阵与线性方程组

广义逆矩阵与线性方程组有着极为密切的关系。本节将分别介绍{1}-逆及Moore-Penrose逆在线性方程组求解问题中的应用。 6.4.1 ?1?-逆在线性方程组求解问题中的应用

定理1 线性方程组（6-1）相容的充分必要条件是

AA(1)b?b；

且在线性方程组相容的情况下，其通解为

12

x?A(1)b?(En?A(1)A)y， （6-3） 其中y?Cn为任意向量。

证明 必要性。设线性方程组（6-1）有解，且x为其解，则

b?Ax?AA(1)Ax?AA(1)(Ax)?AA(1)b。

充分性。令x?A(1)b，则x满足等式（6-1），因此线性方程组（6-1）相容。

下面首先证明在线性方程组（6-1）相容的情况下，等式（6-3）是其解。由于线性方程组（6-1）是相容的，所以存在x0?Cn使得

Ax0?b。

于是

Ax?A[A(1)b?(En?A(1)A)y]?AA(1)b?Ay?AA(1)Ay?AA(1)Ax0?Ay?Ay?Ax0?b

其次证明，对于线性方程组（6-1）的任意一解x0，都存在y?Cn，使得解x0表示成（6-3）的形式。现取y?x0，则

A(1)b?(En?A(1)A)x0?A(1)b?x0?A(1)Ax0

?A(1)b?x0?A(1)b?x0所以此定理的结论成立。

例1 利用矩阵{1}-逆判断线性方程组Ax?b是否相容，如果相容，求其通解，

?1?121??1??，b???1?。 2115其中A?????????01?11????1?? 解答 由于

?1?12?211??01?1E3????100O???010??001?000?1100?5010??1001??0000? 0000??0000?1000???A?E?413

?1??0???0???1??0?0???0现令

010100000110000?1011?232301?1?20000??10?3??1?1?3? 00??00?00??00??0??1?2P????3?2??3则系数矩阵A的等价标准形为

??100???010?，Q????03??1?0?1?3?1?1?2?11?1??， 010??001??EO?PAQ??2?， OO??由6.3节定理1得系数矩阵A的一个{1}-逆为

?EA(1)?Q?2?O?1?3?O???2P??3O????0??0131300?0??0?， ??0?0??容易验证等式AA(1)b?b成立，所以利用定理1可知此线性方程组是相容的；并且其通解为

x?A(1)b?(E4?A(1)A)y

?0??0??1??0??????0??0????0??00?1?2??y1??y?01?1???2?，

010??y3????001??y4?其中y1,y2,y3,y4?C为任意常数。

6.4.2 Moore-Penrose逆在线性方程组求解问题中的应用

14

利用{1}-逆可以解决判定线性方程组（6-1）是否相容及在线性方程组相容情况下给出通解的问题。由于Moore-Penrose逆是一种特殊的{1}-逆，所以相应可得下述定理。

定理2 线性方程组（6-1）相容的充分必要条件是

AA?b?b；

且在线性方程组相容的情况下，其通解为

x?A?b?(En?A?A)y， （6-4） 其中y?Cn为任意向量。

由等式（6-4）可知，如果线性方程组（6-1）相容，则当且仅当A?A?En，即rank(A)?n时，其解是唯一的。在实际问题中，常需要求出线性方程组的无穷多个解中范数最小的解，即给出如下定义。

定义1 设线性方程组（6-1）有无穷多个解，则称无穷多个解中范数最小的解x0，即

x0?minx

Ax?b为线性方程组（6-1）的极小范数解（本节所涉及的范数均指2-范数）。

定理3 相容线性方程组（6-1）的唯一极小范数解为x0?A?b。 证明 对于等式（6-4）给出的线性方程组（6-1）的通解x，有

x?xHx?[A?b?(En?A?A)y]H[A?b?(En?A?A)y]

2?A?b?(En?A?A)y22

2?bH(A?)H(En?A?A)y?yH(En?A?A)HA?b?Ab?(En?AA)yH??H?2?

H??2?b[(En?AA)A]y?y(En?AA)Ab?A?b?(En?A?A)y

2由此可见，

x?A?b，

即x0?A?b是相容线性方程组（6-1）的极小范数解；

唯一性。设x1是相容线性方程组（6-1）的极小范数解，则x1?A?b，且存在

15

A#?F(GF)?2G。

证明 由于

A2?FGFG，

其中GF?Cr?r，且F?Crn?r，G?Crr?n，于是

rank(A2)?rank(GF)；

因此，rank(A)?rank(A2)的充分必要条件是GF是非奇异矩阵；

利用6.1节的定义4，可直接验证

A#?F(GF)?2G。

群逆的一些基本性质罗列如下（证明留给读者）。 定理3设A?Cn?n，且Ind(A)?1，则 （1）(A#)#?A；

（2）(AT)#?(A#)T,(AH)#?(A#)H; （3）(Al)#?(A#)l,l为任意正整数。 6.5.2 Drazin逆

下面定理指出，矩阵A?Cn?n的Drazin逆是唯一存在的，并且它可以表示为矩阵A的多项式。

定理4 设矩阵A?Cn?n，Ind(A)?k，且A的最小多项式为

m(?)?c?k(1??q(?)),

其中，c?0为常数，q(?)为多项式，则A有唯一的Drazin逆AD，它可以表示为关于A的多项式

AD?Ak(q(A))k?1。

证明 唯一性。设X与Y为A的两个Drazin逆。令E?AX?XA，

F?AY?YA，则E与F皆为幂等矩阵。此时，

E?AX?AkXk?AYAkXk?FAX?FE， F?AY?YkAk?YkAkXA?YAE?FE。

因此，E?F，又由于FX?YAX?YE， 所以

21

X?EX?FX?YE?YF?Y。

存在性。由m(A)?O可得，

Ak?1q(A)?Ak。

令X?Ak(q(A))k?1，显然其满足AX?XA，并且

XAX?A2k?1(q(A))2k?2?Ak(Ak?1q(A))(q(A))2k?1

?A2k(q(A))2k?1???Ak(q(A))k?1?X， XAk?1?Ak?1X?A2k?1(q(A))k?1?Ak(Ak?1q(A))(q(A))k

?A2k(q(A))k???Ak

因此，利用6.1节定义5，X?Ak(q(A))k?1为A的Drazin逆，即

AD?Ak(q(A))k?1。

Drazin逆有如下简单的若当标准形表示。 定理5 设矩阵A?Cn?n，其若当标准形分解为

?JA?XJX?1?X?1?OO??1X， ?J0?其中J0,J1分别对应特征值为零与特征值非零的若当子块，X?Cn?n为可逆矩阵。则

?J1?1O??1A?X??X。

?OO?D 证明 利用6.1节定义5容易验证此定理结论成立。

Drazin逆的一些基本性质罗列如下（证明留给读者）。 定理6 设矩阵A?Cn?n，且Ind(A)?k，则 （1）(AT)D?(AD)T,(AH)D?(AD)H; （2）(Al)D?(AD)l,l为任意正整数。 （3）当l?k，则Ind(Al)?1且(Al)#?(AD)l； （4）((AD)D)D?AD，且Ind(AD)?1。

例1 利用若当标准形分解求矩阵A的Drazin逆，其中

22

?0?20?5?0?10?2?A??0002??0102???2?21?82?0??0?。 ?0?4??解答 矩阵A的若当标准形为

?J1(1)OO?于是，利用定理5，23

A?X??OJO?X?12(2) ??OOJ?2(0)??

??10000?2100??X?0??00200??X?1

?00001????00000???AD?X?(J1(1))?1OO??O(J?2(2))?1O?X?1??OOO??

??10000??1??02?1400???X??1??00100??X 2??00000???00000????13171??2?22?2??0?10?20?????02040?。

?01020????1?22?1440???

习 题 六

1. 设矩阵A?Cm?n，其除第i行第j列元素为1外，其余元素均为0，求A{1}。 2. 给出下列矩阵的一个最简单的{1}-逆。

?103??231?1??； （2）A??5801?； 230（1）A?????????12?23???111???1?2（3）A???0??102??0?115??； （4）A???01?1???3?1??101012?0??。 1??1?3. 利用满秩分解求下列矩阵的Moore-Penrose逆。

411??2?1??； （2）A??2?；

12?12（1）A?????????3????1?2?21??21??i0??1?； （4）A???1?2?1?。 11（3）A????????21??1??0i??4. 利用奇异值分解求下列矩阵的Moore-Penrose逆。

?10???101???（1）A?01； （2）A???。 ??20?2????10???2x1?4x2?x3?x4?5?5. 利用{1}-逆方法判断线性方程组?x1?2x2?x3?2x4?1是否相容？如果相

??x?2x?2x?x??4234?1容，求其通解。

?2x1?4x2?x3?x4?10?6. 利用Moore-Penrose逆方法判断线性方程组?x1?2x2?x3?2x4?6是否相

??x?2x?2x?x??7234?1容？如果相容求通解和极小范数解；如果不相容求全部最小二乘解和极小范数最小二乘解。

7. 设矩阵A?Cn?n，证明 (A#)#?A。

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8. 设矩阵A?Cn?n是幂零矩阵，证明AD?O。

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