数值分析考试卷及详细答案解答

姓名 班级 学号

一、选择题

1.F?2,5,?3,4?表示多少个机器数(C ).

A 64 B 129 C 257 D 256

2. 以下误差公式不正确的是( D)

A．??x1*?x2*????x1*????x2*? B．??x1*?x2*????x1*????x2*? C．??x*?x*??x*??x*??x??x*? D．??x*/x*????x*????x*?

12121221123. 设a??A

哪一个在数值2?1, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，

计算上将给出a较好的近似值？(D )

?61(2?1)63 B 99?702 C (3?22) D

1(3?22)3

4. 一个30阶线性方程组, 若用Crammer法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )

A 31×29×30! B 30×30×30! C 31×30×31! D 31×29×29!

5. 用一把有毫米的刻度的米尺来测量桌子的长度, 读出的长度1235mm, 桌子的精确长度记为（ D ）

A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5mm D 1235±0.5mm

二、填空

1.构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化 。 2.十进制123.3转换成二进制为1111011.01001。

3.二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

54. 二进制0101.转换成十进制为 。

75.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限 5% 。 6. ln2=0.69314718…，精确到10?3的近似值是 0.693 。

7.x???3.14159265 和3 。

8.设

*?3.1416，x*，则x12?3.141的有效数位分别为

x*?2.001,y*??0.8030是由精确值x和y经四舍五入得到的近似值，则

x*?y*的误差限 0.55×10-3 。

9．设

x?2.3149541，取5位有效数字，则所得的近似值x*? 2.3150 。

10．设有多项式函数p?x??2x3?10x2?7x?8，给出计算法

p?x?的计算量较小的一个算

((2x+10)x-7)x+8 。

三、计算

1.指出下列经四舍五入得的有效数字位数，及其绝对误差限和相对误差限。

2.000 4 －0.002 00

1

解： 因为x1=2.000 4＝0.200 04×101， 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 15，即m=1，n=5，

1故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限?r??101?5?0.000025

2?a1―

x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有效数

字. a1=2，相对误差限?r=2.对准确值x1?101?3=0.002 5 2?2*?999.9和x*?1000和它的两个近似值为x12?1000.1分别计算它们

的有效数位及绝对误差限，根据结果判断以下结论是否正确：对准确值x的两个近似值x1,x2，则有效数位n大的则其绝对误差限就越小?

1??10m?n，n越大，通常绝对误差限越小，但绝对误差限也与m有2*关 ，因此上述结论并不总是正确。如准确值 x?1000，它的两个近似值为 x1?999.9和*****x2?1000.1，x1,x2 的绝对误差限均为x?x1?x?x2?0.1，但x1*有3位有效数字，

解答：?(x)?x?x*而x2则有4位有效数字。 3.如要求?*10的近似值的相对误差小于?0.1%，则?至少要取几位有效数字？

?(?10)10(?*)9?(?)?(?)解：?r(?)???10?10??r(?)?0.1% *10*10*(?)(?)?10

从而?r(?)?10?4，又?r(?)?1?101?n，a1?3，即要求2a1?r(?)?解：

1?101?n?10?4，从而解出n?5 2a14.设x?0，已知近似值x*的相对误差为a，估计lnx*的绝对误差。

1?(lnx*)x*?(x*)?(x*)1a*?r(lnx*)?????(x*)?lnx? rlnx*lnx*x*lnx*lnx**从而?(lnx*)??r(lnx*)?lnx?a

姓名 班级 学号 一、选择题

1.通过点(x0,y0)， (x1,y1)， (x2,y2)所作的插值多项式是( C )

(A) 二次的 (B) 一次的 (C) 不超过二次的 (D) 大于二次的

3.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足( C )， 则P(x)是不超过一次多项式。

(A) 初始值y0=0 (B) 所有一阶差商为0 (C) 所有二阶差商为0 (D) 所有三阶差商为0 3.通过点(x0,y0),(x1,y1)的Lagrange插值基函数l0?x?,l1?x?满足（A，C）

?A?l0?x0??1,l1?x1??1 ?B?l0?x0??1,l1?x1??0

?C?l0?x0??1,l1?x0??0 ?D?l0?x0??0,l1?x1??0 4．已知n对观察数据?xk,yk?,k?1,2,,n。这n个点的拟合直线y?a0?a1x，则a0,a1

2

是使（C）最小的解。 (A)

(C)

?yk?1nk?1nk?a0?a1xk (B)??yk?a0?a1xk?

2n??yk?a0?a1xk? (B)

??yk?1k?1nk?a0?a1xk2?

5.设P?x?是在区间上的[a,b]上的y?f?x?分段线性插值函数，以下条件中不是P?x?必须满足的条件是（C）

（A）P?x?在[a,b]上连续，（B）P?xk??yk，（C）P?x?在[a,b]上可导，

（D）P?x?在各子区间上是线性函数

二、填空

`1.设一阶差商f[x1,x2]?f(x2)?f(x1)?1?4??3,f[x2,x3]?f(x3)?f(x2)?6?1?5, 则

x3?x24?22x2?x12?1二阶差商f[x1,x2,x3]? 11/6

22.设f(x)?3x?5，xk?kh,k?0,1,? ，则f[xn,xn?1,xn?2]? 3 ，

和 f[xn,xn?1,xn?2,xn?3]? 0 。

3.设f(x)?ax?bx?c(a?0), 取5个不同节点作f(x)的拉格朗日插值多项式P(x)，则

3P(x)是__3___次多项式。

那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 1 。 5.区间[a,b]上的三次样条插值函数S?x?在[a,b]上具有直到___2 _阶的连续导数。

三、计算与证明

1.已知函数y=f(x) 的观察数据为

xk －2 0 yk 5 1 1 试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn (x)，并计算f(－1)。 解：先构造基函数

x(x??)(x??)x(x??)(x??) (x??)(x??)(x??)(x??)(x??)(x??) l?(x)???l?(x)??(????)(????)(????)??(??(??))(???)(???)??4 －3 5 l?(x)?(x?2)x(x?4)(x?2)x(x?4) (x??)x(x??)x(x??)(x??) l3(x)????(5?2)(5?0)(5?4)35(???)(???)(???)??所求三次多项式为P3(x)=

?ylk?03kk(x)

x(x??)(x??)(x??)x(x??)＋

????

＝???x(x??)(x??)＋(x??)(x??)(x??)－(??)???????????＝ x?x?x?? ?????? P3(－1)＝??????? ????????????3

2.已知函数y?f(x)的数据如下表。计算它的各阶差商和N3(x)的形式， 解:先构造差商表如下： N

-2 -56 -1 -16 40

0 -2 14 -13 1 -2 0 -7 2 3 4 3 1 2 0

(x) = –56 + 40(x + 2) –13(x + 2)(x + 1) + 2(x + 2)(x + 1) x3

2a?x?bxk -2 -1 0 1 3 f(xk) -56 -16 -2 -2 4

3.设f(x)?C[a,b]，试证：maxf(x)?[证：由于f(x)的线性插值

x?bx?a1f(a)?f(b)]?(b?a)2maxf''(x)

a?x?ba?bb?a8f(b)?f(a)x?bx?a(x?a)?f(a)?f(b)?L1(x)（直线的点斜式）

b?aa?bb?af(b)?f(a) 于是 maxf(x)?[f(a)?(x?a)]

a?x?bb?a f(a)?f''(?) ?maxf(x)?L1(x)?max(x?a)(x?b)（a???b）

a?x?ba?x?b2!1'' ?max(x?a)(x?b)maxf(x)

a?x?b2a?x?b12'' ?(b?a)maxf(x)

a?x?b84.要给出y?cosx等距节点函数表，如用线性插值计算y的近似值，使其截断误差限为1，则函数表的步长应取多大？?10?52

4

5．给定数据表

试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.

6．已知

f?x??ln?x?2?,?1?x?1，求f?x?

的二次最佳平方逼近，其中取权为1，并

求平方误差。

1解：由于勒让得多项式在[-1，1]上正交，所以设?0?x??1，?1?x??x，?2?x???3x2?1?

2

??x??a??2? x??a0?0?x1??1?x?a2而??0,?0??2,??1,?1??22,??2,?2?? 35?y,?0??1.29584,?y,?1??0.352082,?y,?2???0.0374965

得，a0所以??0.647918,a1?0.528122,a2?-0.0937412

?x??0.647918?0.528122x-0.0468706(3x2-1)

其平方误差为

??y???x??dx=0.0524489

?112姓名 班级 学号 一、选择题

5

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