李明波与四边形 之三

李明波与四边形 之三

郝锡鹏

提要 介绍李明波关于圆外切凸四边形方面的趣味性结果。

引 言

2007年6月，建筑郎李明波忙里偷闲。牛顿老先生的一个几何结果引起了他的兴趣，其内容是：

牛顿定理 圆外切凸四边形的两条对角线以及两组对边切点的连线，四线共点[1]。

此前，李明波早就知道古希腊天文学家托勒密[1]有一个关于圆内接凸四边形的一个结果：

托勒密定理 圆内接凸四边形的两条对角线之积，等于两组对边之积的和。

后来有人证明，托勒密定理的逆定理也成立[1、2]，故可将此综述为：

托勒密加强定理 圆内接凸四边形的充要条件是：两条对角线之积等于两组对边之积的和。

牛顿和托勒密等使李明波联想到：圆外切凸四边形是否也存在某种充要条件呢？李明波对此进行了为时3天的探索。

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一、 圆外切凸四边形的充要条件之一

A B O D C

图1

李明波最先注意到：图1中的凸四边形ABCD外切于圆O，由于圆若与角的两边相切，圆心必在该角的平分线上，所以圆外切凸四边 形的圆心必同时在其四条内角平分线上，即其四条内角平分线必交于一点；反之，若凸四边形的四条内角平分线交于一点，说明该点到其四条边的距离都相等，所以以该点为圆心、以这四个相等的距离为半径作圆，则必与四条边都相切，该圆就是该凸四边形的内切圆。故得：

定理1 圆外切凸四边形的充要条件是：四条内角平分线共点。

二、 圆外切凸四边形的充要条件之二

可是，定理1只是关于圆外切凸四边形充要条件的定性定理，李明波在想：存在象托勒密加强定理那样，有关于边或对角线数学表达式的定量定理吗？

李明波又注意到：由于从圆外一点向圆引的两条切线长度相等，

2

A a a b B b O d

c

D

d c

C

图2

所以在图2中，可以推出

AB?CD?a?b?c?d?AD?BC （1）

即得：

引理1 圆外切凸四边形两组对边之和相等。

李明波过后才知，引理1其实是一个人们已知的结果。但是，它的逆命题成立吗？

E b A a a B O d G d b F

c

b+c D C

图3

3

李明波在图3中，假设凸四边形ABCD满足

AB?CD?AD?BC （2）

AD相切的圆O，CD、O为∠BAD和∠ADC然后作与凸四边形三边AB、

平分线的交点，并对切点分别将这三边分成两部分线段的长度进行标注a、b、c、d。由（2）式易得

BC?b?c （3） 在FD上取FG?EB?b，则△OFG≌△OEB（边角边），得OG=OB，进而有△OCG≌△OBC（边边边），从而知

∠OCD=∠OCB （4） 同理可证

∠OBA=∠OBC （5）

即OB和OC分别平分∠B和∠C，所以图3中当（2）式成立时，该凸四边形的四条内角平分线共点于O，由定理1可知，该凸四边形外切于圆。即得

引理2 两组对边之和相等的凸四边形外切于圆。

综合引理1、2可得：

定理2 圆外切凸四边形的充要条件是：两组对边之和相等。

三、 一个推论

李明波考虑到引理理1的一种极限状态，那就是当凸四边形有两个顶点合拼成一点，即一个内角成了180度时的情况，这时原凸四边形的两条邻边合拼成了一个三角形的一条边，引理1便出现了如下特

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例：

推论 三角形的每条边被内切圆切点为两部分，每部分与对边之和相等。

A

F D C

E 图4

B

该推论是说，在图4中有

BE?AC?CE?AB，AD?BC?BD?AC，AF?BC?CF?AB （6）

其实，（6）式3个等式中两侧的量，都是原三角形周长的一半，所以这6个量之间也相等。即

BE?AC?CE?AB=AD?BC?BD?AC=AF?BC?CF?AB （7）

评 述

李明波在沾沾自喜之余，观察了分别与定理1和定理2相对应的图1和图2（包括推论和图4），他觉得红色的线段和蓝色的圆之间，犹如用一些绳索在托扯和固定着一个蛋，所以，读者完全可以形象地称李明波的这些结果为李明波扯蛋定理。

5

法国年轻的数学天才伽罗华[3]曾经研究过圆内接凸四边形，他用四条边表示出了两条对角线。伽罗华的结果是在说，如果圆内接凸四边形的四条边被给定，那么它的两条对角线也就相应地被固定了，即此时托勒密加强定理中的凸四边形是个不能变形的死图形。

李明波扯蛋定理2显然是一个与托勒密加强定理相呼应的结果，而李明波扯蛋定理2表明，圆外切凸四边形当四条边被给定后，对角线仍是可以变化的，即它的形状是个可以变化的活图形，但是这种变形并没有改变它仍是圆外切凸四边形的这一本性，有兴趣的读者不妨用CAD验证此说。

上述对比是否是在表明，李明波扯蛋定理2要比托勒密加强定理更具活性呢？

李明波在几何上得出过许多动中有静的定理，这就是我们以后将要忽悠的《李明波动感地带》。

参 考 文 献

[1] 沈康身。数学的魅力。上海：上海辞书出版社，2004：127，156 [2] 王文才、施桂芬。数学小词典。北京：科学技术文献出版社，1983：

232

[3] 吴振奎、吴旻 。名人 趣题 妙解。天津：天津教育出版社，2001：

240

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法国年轻的数学天才伽罗华[3]曾经研究过圆内接凸四边形，他用四条边表示出了两条对角线。伽罗华的结果是在说，如果圆内接凸四边形的四条边被给定，那么它的两条对角线也就相应地被固定了，即此时托勒密加强定理中的凸四边形是个不能变形的死图形。

李明波扯蛋定理2显然是一个与托勒密加强定理相呼应的结果，而李明波扯蛋定理2表明，圆外切凸四边形当四条边被给定后，对角线仍是可以变化的，即它的形状是个可以变化的活图形，但是这种变形并没有改变它仍是圆外切凸四边形的这一本性，有兴趣的读者不妨用CAD验证此说。

上述对比是否是在表明，李明波扯蛋定理2要比托勒密加强定理更具活性呢？

李明波在几何上得出过许多动中有静的定理，这就是我们以后将要忽悠的《李明波动感地带》。

参 考 文 献

[1] 沈康身。数学的魅力。上海：上海辞书出版社，2004：127，156 [2] 王文才、施桂芬。数学小词典。北京：科学技术文献出版社，1983：

232

[3] 吴振奎、吴旻 。名人 趣题 妙解。天津：天津教育出版社，2001：

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wcf6.html