2012高考数学二轮复习：第23课时 数列求和

2012高考数学二轮复习(新人教A版)教案

课题：数列求和

教学目标：1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3.熟记一些常用的数列的和的公式． 教学重点：特殊数列求和的方法． （一） 主要知识： 1.等差数列与等比数列的求和公式的应用；

2.倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；

（二）主要方法：

1.基本公式法： 1 等差数列求和公式：Sn

na1,

2 等比数列求和公式：Sn a1 1 qn a1 anq

,q 1

1 q1 q

211

nn 1 3 12 22 n2 6n n 1 2n 1 ； 4 13 23 33 n3 4 ；

12n Cn Cn 2n. 5 Cn0 Cn

2.错位相消法：给Sn a1 a2 an各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的

等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.

一般适应于数列 anbn 的前n向求和，其中 an 成等差数列， bn 成等比数列。

n a1 an n n 1

na1 d 22q 1

3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。

4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间

项，只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有：

1 若 an 是公差为d的等差数列，则aa 2

1

1

nn 1

1 11

； d anan 1

1 11 ；

2n 12n 12 2n 12n 1

11 11

3 nn 1n 2 2 nn 1 n 1n 2 ；

11

； 5

4

a bk

；

6 Cnm 1 Cnm 1 Cnm； 7 n n! n 1 ! n!； 8 an

n 1 S1,

S S,n≥2n 1 n

5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。

6导数法：灵活利用求导法则有时也可以完成数列求和问题的解答. 7.递推法.8.奇偶分析法.

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（三）典例分析：

问题1．求下列数列前n项和： 1 1 4，2 7，3 30，…，n 3n 1 ；

，，，…， 2； 3 2 2，22，222，…，22 1 32 43 5

n个2

111

1

；

n(n 2)

4 1 3，2 4，3 5，…，n(n 2)， 5 an

；

6 sin21 sin22 sin23 … sin289 ； 7

a，2a2，3a3，…，nan；

问题2．求和 1 Sn 1

111 ； 1 21 2 31 2 3 n

2 Sn

123n012n 2 3 n； 3 Cn 3Cn 5Cn 2n 1 Cnaaaa

问题

6n 5(n为奇数)

3．已知数列{an}的通项an n，求其前n项和Sn

2(n为偶数)

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问题4．(05全国Ⅰ文)设正项等比数列 an 的首项a1 1，前n项和为Sn，且

（Ⅱ）求 nSn 的前n项和Tn. 210S30 (210 1)S20 S10 0.（Ⅰ）求 an 的通项；

2

问题5．(06湖北)已知二次函数y

f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为

f (x) 6x 2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n N )均在函数y f(x)的

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图像上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn 和，求使得Tn

3

，Tn是数列{bn}的前n项anan 1

m

对所有n N都成立的最小正整数m；20

（四）巩固练习：

1.（06北京）设f(n) 2 24 27 210 23n 10(n N)，则f(n)等于

2n2n 12n 32n 4 A.(8 1) B.(8 1) C.(8 1) D.(8 1)

7777

2.明朝程大拉作数学诗：“远望巍巍塔七层，红光点点加倍增，共灯三百八十一，请问

尖头 盏灯”.

1111

3.求数列1，2，3，4，…的前n项和.

48216

4. 1002 992 982 972 … 22 12

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5.在数列 an 中，an

12n2 … ，又bn ，则数列 bn 的前n n 1n 1n 1an an 1

项和为

6.求数列

1111

，，，，…的前n项和Sn. 2222

1 22 43 64 8

（五）课后作业：

(06荆州统测)数列 an 满足递推关系：an an 2 2，且a1 1，a2 4.

1 求a3、a4； 2 求an； 3 求数列 an 的前n项和.

（六）走向高考：

1.（06广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期 间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n

堆的乒乓球总

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数，则f(3) ；f(n) （答案用n表示）.

2.（07福建）数列{an}的前n项和为Sn，若an A.1

B.

5 6

C.

1 6

1

，则S5等于

n(n 1)

1

D.

30

Sn

n→ n2

3.（07全国Ⅱ）已知数列的通项an 5n 2，其前n项和为Sn，则lim

4.（07福建文）“数列 an 的前n项和为Sn，a1 1，an 1 2Sn(n N*)．

（Ⅰ）求数列 an 的通项an； （Ⅱ）求数列 nan 的前n项和Tn．

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