2018届高考物理二轮复习 小船渡河问题 学案(全国通用)

小船渡河问题

一、小船渡河的基础知识 1．小船渡河问题的速度

(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．

(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)． 2．小船渡河的三种情景

d(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．

v1(2)过河路径最短(v2＜v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝.

(3)过河路径最短(v2＞v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：

v2v1

v1dv2

cos α＝，最短航程：s短＝＝d.

v2cos αv1

二、小船渡河的经典例题

例题1． (多选)一只小船在静水中的速度为3 m/s，它要渡过一条宽为30 m的河，河水流速为4 m/s，则这只船( )

A．过河时间不可能小于10 s B．不能沿垂直于河岸方向过河 C．渡过这条河所需的时间可以为6 s D．不可能渡过这条河

解析：选AB.船在过河过程同时参与两个运动，一个沿河岸向下游的水流速度，一个是船自身的运动．垂直河岸方向位移即河的宽度d＝30 m，而垂直河岸方向的最大分速度即船自身的速度3 m/s，所以渡河最短时间t＝

d3 m/s

＝10 s，

A对、C错．只要有垂直河岸的分速度，就可以渡过这条河，D错．船实际发生

的运动就是合运动，如果船垂直河岸方向过河，即合速度垂直河岸方向．一个分速度沿河岸向下，与合速度垂直，那么在速度合成的三角形中船的速度即斜边，要求船的速度大于河水的速度，而本题目中船的速度小于河水的速度，故不可能垂直河岸方向过河，B对．

例题2．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )

A.C.

kv 2

k－1kv1－k 2

B．D.

v1－k2

v k2－1

ddt1

解析：选B.设大河宽度为d，去程时t1＝，回程时，t2＝2，又＝

v静t2v静－v2

k，得v静＝

v1－k2

，B正确．

例题3．小船匀速渡过一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸．求：

(1)水流的速度；

(2)船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α. 解析：(1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示．

x120

由x＝v2t1得v2＝＝ m/s＝0.2 m/s①

t1600

(2)船头保持与岸成α角航行时，如图乙所示． 由(1)可得d＝v1t1

v2＝v1cos α②

d＝v1t2sin α③

联立解得α＝53°，v1＝0.33 m/s，d＝200 m 答案：(1)0.2 m/s (2)0.33 m/s 200 m 53°

例题4．如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( )

A．vsin α C．vcos α

B.D.

vsin α

vcos α解析：选C.人的速度为合速度，当人沿平直的河岸以速度v行走时，可将人的速度分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度，沿绳方向的分速度即为船行驶的速度，故船的速度为vcos α，选项C正确．

例题5．(多选)一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100 m远的一浮标处，已知快艇始终与河岸垂直，其在静水中的速度vx图象和流水的速度vy图象分别如图甲、乙所示，则( )

A．快艇的运动轨迹为直线 B．快艇的运动轨迹为曲线

C．能找到某一位置使快艇最快到达浮标处的时间为20 s D．快艇最快到达浮标处经过的位移为100 m

解析：选BC.快艇沿河岸方向的匀速运动与垂直于河岸的匀加速运动的合运动是类平抛性质的曲线运动，A错误，B正确；最快到达浮标处的方式是使垂直12于河岸的速度vx保持图甲所示的加速度a＝0.5 m/s的匀加速运动，则at＝xx，

2

2

2

代入xx＝100 m有t＝20 s，但实际位移为x＝x2m，C正确，D错误． x＋xy＞100

例题6 . 如图，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出相对水流的最小速度为( )

A．2 m/s C．3 m/s

B．2.4 m/s D．3.5 m/s

解析：选B.船参与了两个分运动，沿船头指向的分运动和顺水流而下的分运动，其中，合速度v合方向已知，大小未知，顺水流而下的分运动速度v水的大小和方向都已知，沿船头指向的分运动的速度v船大小和方向都未知，合速度与分速度遵循平行四边形定则(或三角形定则)，如图，当v合与v船垂直时，v船最小，由几何关系得到v船的最小值为v船min＝v水sin 37°＝2.4 m/s，选项B正确．

三、小船渡河的方法总结

(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关． (2)船渡河位移最小值与v船和v水大小关系有关，v船＞v水时，河宽即为最小位移，v船＜v水时，应利用图解法求极值的方法处理．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wcf.html