04高等数学讲义 第四章

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念 变量可分离的方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程 微分方程简单应用

考试要求

1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法．

3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程

4．会用降阶法解下列方程：y（n）＝f（x），y''= f（x，y'）和y''＝f（y，y'）．

5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理．

6．掌握二队常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

70

7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以

及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程． 8．会解欧拉方程．

9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、 解、通解和特解 3、 初始条件

4、 齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dy

dx

p(x)Q(y)(Q(y) 0)

2、齐次方程：

dydx f y x

三、一阶线性方程及其推广

1、

dy

dx P(x)y Q(x) 2、dy

dx

P(x)y Q(x)y ( 0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足

Q x P

y

2、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0, Q p (RQ) (RP)

x y但存在R(x,y)，使 x y

五、差分方程（数学三） （乙）典型例题 例1、求y2

x

2

dydx xydy

dx

的通解。 2

解：y2 (x2

xy)

dy

dy y

dx

0dx y2xy x2 x y

x

1令ydux u,则u xdx u2

u 1

71

udx x(1 u)du 0 1 udx

du u x C1

ln|xu| u C1

xu eC1 u ceu, y ce

例2

求微分方程

y

x

dyy

的通解

dxx y4

解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，

1dxx y4dx1所得微分方程 即 x y3是一阶线性方程P(y) ,Q(y) y3

ydyydyy

x e

例3

1

dyy

dy 3 1 14y

dy C y Cy ye

3

设y ex是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解

x

x

解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程

x,方程化为

dy

(e x 1)y 1 dx

xdy

(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方dx

程通解y ex cex e

再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e故所求解y e e

x

x e x

12

x

12

12

例4

设F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内满足以下条件

f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex

（1）求F(x)所满足的一阶微分方程 （2）求出F(x)的表达式 解：（1）由

72

F (x) f (x)g(x) f(x)g (x)

g2(x) f2(x)

[f(x) g(x)]2

2f(x)g(x)

(2ex)2 2F(x)

可知F(x)所满足的一阶微分方程为

F (x) 2F(x) 4e2x

（2）

F(x) e 2dx

4e2x e 2dxdx c

e 2x 4e4xdx c

e2x ce 2x

将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是

F(x) e2x e 2x

例5 求微分方程(y x) x2

dydx

(1 y2

)的通解 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为

(tanu tanv)secvsec2udu

sec3sec2

vdv

u 化简为sin(u v)dudv

1 再令z u v,则

dzdv dudv

1,方程化为 sinzdzdv 1 sinz

sinz(sin1 sinzdz dv c, z 1) 1

1 sinzdz v c,

z

1 sinz

1 sin2

zdz v c z 1 sinzcos2

z

dz v c z tanz secz v c最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

73

§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）

（甲）内容要点

二、线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程

y p(x)y q(x)y 0

（1）

二阶非齐次线性方程

y p(x)y q(x)y f(x) （2）

1、 若y1(x),y2(x)为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合

C1y1(x) C2y2(x)（C1,C2为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当y1(x) y2(x)( 为常数)，也即y1(x)与y2(x)线性无关时，则方程的通解为y C1y1(x) C2y2(x)。

2、 若(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C1y1(x) C2y2(x)为对应的二阶齐次

74

线性方程的通解（C1,C2为独立的任意常数）则y (x) C1y1(x) C2y2(x)是此二阶非齐次线性方程的通解。

3、 设y1(x)与y2(x)分别是y p(x)y q(x)y f1(x)与

y p(x)y q(x)y f2(x)的特解，则y1(x) y2(x)是 y p(x)y q(x)y f1(x) f2(x)的特解

三、二阶常系数齐次线性方程

y py qy 0,

特征方程

p,q为常数

2 p q 0

特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 （1）当 p2 4q 0,特征方程有两个不同的实根 1, 2

则方程的通解为

y C1e 1x C2e 2x

（2）当 p2 4q 0,特征方程有而重根 1 2，

则方程的通解为

2

y (C1 C2x)e 1x

（3）当 p 4q 0,特征方程有共轭复根 i ,

则方程的通解为

y e x(C1cos x C2sin x)

四、二阶常系数非齐次线性方程

方程 通解

y py qy f(x)其中p,q为常数

y C1y1(x) C2y2(x)

其中C1y1(x) C2y2(x)为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关

键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？

我们根据f(x)的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解y,常见的f(x)的形式和相对应地y的形式如下： 1、f(x) pn(x), 其中pn(x)为n 次多项式

（1）若0不是特征根，则令y Rn(x) a0xn a1xn 1 an 1x an

75

其中ai(i 0,1,2, ,n)为待定系数。

（2）若0是特征方程的单根，则令y xRn(x) （3）若0是特征方程的重根，则令y x2Rn(x)

2、f(x) pn(x)e x 其中pn(x)为n次多项式， 为实常数 （1）若 不是特征根，则令y Rn(x)e x （2）若 是特征方程单根，则令y xRn(x)e x （3）若 是特征方程的重根，则令y x2Rn(x)e x 3、f(x) pn(x)e xsin x或f(x) pn(x)e xcos x

其中pn(x)为n次多项式， , 皆为实常数

（1）若 i 不是特征根，则令 e x[Rn(x)cos x Tn(x)sin x] 其中Rn(x) a0xn a1xn 1 an 1x an

ai(i 0,1, n)为待定系数

Tn(x) b0xn b1xn 1 bn 1x bn bi(i 0,1, n)为待定系数

（2）若 i 是特征根，则令y xe x[Rn(x)cos x Tn(x)sin x]

五、欧拉方程（数学一）

xny(n) p1xn 1y(n 1) pn 1xy pny 0, 其中pi(i 1,2, ,n)为常数称为n阶欧拉

方程，令x e代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程

（乙） 典型例题

例1 求(1 x)y y ln(x 1)的通解 解：令y p,则y p ,原方程化为

t

76

(x 1)p p ln(x 1)

p

1ln(x 1p x 1)x 1

属于一阶线性方程 p e

1

x 1

dx ln(x 1) 1x 1

dxdx C x 11

1

x 1 lnx( 1)dx C1

lnx( 1) 1 C1x 1

y

ln(x 1) 1 C1 x 1 dx C2

(x C1)lnx( 1) 2x C2 例2 求下列微分方程的通解 yy (y )2 1 0 解 令y p,则y p

dp

dy

，原方程化为

yp

dp

dy

p2 1

pdpp2 1

dy

y C1 1

2

lnp2 1 ln|y| C1 p C1y2

dy

dx

C1y2 当C1 01ln1y C1y2

x C2

1当C1

1 0 Carcsin C1y

x C2

1

例3 求y 2y 3y 2ex

的通解

解 先求相应齐次方程y 2y 3y 0的通解，其特征方程为 2 2 3 0

77

特征根为 1 3, 2 1，因此齐次方程通解为

Y C1e 3x C2ex

设非齐次方程的特解为y,由于 1为特征根，因此设y xAex,代入原方程可得A 故原方程的通解为

1，2

y C1e 3x C2ex

例4 求方程y y 2y 2cos2x的通解

1xxe 2

特征根为 1 2, 2 1，因此齐次方程的通解为

Y C1e 2x C2ex

设非齐次方程的特解为y,由于题目中 0, 2, i 2i不是特征根，因此设

y Acos2x Bsin2x，代入原方程可得

( 2A 2B 4A)cos2x ( 2B 2A 4B)sin2x 2cos2x

6A 2B 2

6B 2A 0

31

,B ，因此 1010

__

31

sin2x y cos2x

1010

解联立方程得A 故原方程的通解为

y C1e

2x

C2ex

x

31

cos2x sin2x 1010

例5 解y cosx 2y sinx 3ycosx e

inx,u y cosx 2y sinx ycosx，原方程变解：令u＝ycosx，则u y cosx ys

为u 4u e

x

sin2x 解出 u C1cos2x C2

1x

e 5

cos2xsin2x1ex

y C1 C2

cosxcosx5cosx

78

cos2x1ex

) C2sinx (c2 2c2＝C1

cosx5cosx

例6 设函数y＝y（x）在 , 内具有二阶导数，且y 0,x x y 是y＝y（x）的反函数.

dx d2x

0变换为y＝y（1） 试将x＝x（y）所满足的微分方程2 y sinx （x） dydy

满足的微分方程；

（2） 求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0，y 0

3

3

的解. 2

解 （1）由反函数导数公式知

dx1 dyy

即y

dx 1. dy

上式两端关于x求导，得

dxd2x2

y 2 y 0.

dydydxy 2

dxy dy所以。 23

dy2 yy代入原微分方程得

y y sinx （*）

（2）方程（*）所对应的齐次方程y y 0的通解为 Y C1e C2e 设方程（*）的特解为

y＝A cosx+ Bsinx ，

__

11

代入方程（*）求得A＝0，B＝－，故y＝－sinx，从而y y sinx的通解是

221

y(x) C1ex C2e x sinx.

2

3

由y(0) 0,y 0 ，得C1 1,C2 1，

2

__

x x

故所初值问题的解为

79

y(x) e e

x

x x

1

sinx. 2

例7．设f（x）＝xsinx－ (x t)f(t)dt，其中f（x）连续，求f（x）

解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得

f x xcosx sinx f t dt

x

再对两边关于x求导，得 f x xsinx 2cosx f(x)

即 f x f x xsinx 2cosx 属于常系数二阶非齐次线性方程. 对应齐次方程通解 y C1cosx C2sinx，

非齐次方程特解设y x Ax B cosx x Cx D sinx 代入方程求出系数A,B,C,D 则得y

__

123

xcosx xsinx，故f（x）的一般表达式 4413

f(x) x2cosx xsinx C1cosx C2sinx

44

__

由条件和导数表达式可知f（0）＝0，f 0 0可确定出C1 0,C2 0 因此f(x)

123

xcosx xsinx 44

x

2x

x

x

例8 已知y1 xe e，y2 xe e，y3 xex e2x e x是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.

解：由线性微分方程的解的结构定理可得，

y1 y3 e x，y1 y2 e2x e x， y1 y3 y1 y2 e2x

是该方程对应的齐次方程的解，由解e

x

与e

2x

的形式，可得齐次方程为y y 2y 0.

x2xx

设该方程为y y 2y f(x)，代入y1 xe e，得f x 1 2x e.

所以，该方程为y y 2y 1 2x e，

x

其通解为 C1e

x

C2e2x xex e2x.

§4.3 微分方程的应用

一、微分方程在几何问题方面的应用

例1 求通过（3，0）的曲线方程，使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等

于此交点与原点的距离。

80

解：设曲线y＝y（x）上任意一点M（x，y），则其切线方程为Y－y＝y X x ，故切线与y轴交点A的坐标为 0,y xy ，由题意AM AO 所以x2 xy y xy .这样，

2

2

_____

_____

12

2yy y x

x

yx 3 0

1 u u x

令y2 u, x

ux 3 0

3 3

解得 u 3x x，即y 3x x，则 x y2

2 2

2

22

22

例 2 设函数f（x）在 1, 上连续，若曲线y＝f（x），直线x＝1，x＝t（t>1）与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（t）＝

t3

2

f t f 1 ，试求y＝f（x）

所满足的微分方程，并求y解：由题意可知

x 2

2

的解. 9

V t f2 x dx

1

t

t3

2

f t f 1

则3

t1

f2 x dx t2f t f 1

2

两边对t求导，3f

t 2tf t t2f t

2

令t＝x，f（t）＝f（x）＝y，得

dy y y

xy 3y 2xy， 3 2

dx x x

2

2

ydydu

,y xu, u x， xdxdxdu

3u u 1 ，当u 0,u 1时 这样，xdx

令u

u 1dudx

cx3，方程通解为 3 两边积分后得uuu 1x

y x cx3y，再由y

x 2

2

，可得c＝

-1 9

81

y

x

1 x3

二、其它应用（略）

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