函数与导数09精选测试

2009年高考题精选测试

1.（2009全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x 1则( ) )与f(x 1)都是奇函数，

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x) f(x 2) D.f(x 3)是奇函数

2.(2009浙江理）对于正实数 ，记M 为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：有 (x2 x1) f(x2) x1,x2 R且x2 x1，f(x)1是

( x

2

x )1

．下列结论中正确的

( )

A．若f(x) M 1，g(x) M 2，则f(x) g(x) M 1 2 B．若f(x) M 1，g(x) M 2，且g(x) 0，则

f(x)g(x)

M

1 2

C．若f(x) M 1，g(x) M 2，则f(x) g(x) M 1 2

D．若f(x) M 1，g(x) M 2，且 1 2，则f(x) g(x) M 1 2 3.（2009浙江文）若函数f(x) x

2

ax

(a R)，则下列结论正确的是（ ）

A. a R，f(x)在(0, )上是增函数

B. a R，f(x)在(0, )上是减函数 C. a R，f(x)是偶函数 D. a R，f(x)是奇函数

e ee e

xx

x x

4. (2009山东卷理)函数y 的图像大致为 ( ).

D

log2(1 x),x 05.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，

f(x 1) f(x 2),x 0

则f（2009）的值为 ( )

A.-1 B. 0 C.1 D. 2

6.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x 4) f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则

( ).

A.f( 25) f(11) f(80) B. f(80) f(11) f( 25)

C. f(11) f(80) f( 25) D. f( 25) f(80) f(11) 7.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=y log

2 x

2

2 x

的图像 （ ）

（A） 关于原点对称 （B）关于主线y x对称 （C） 关于y轴对称 （D）关于直线y x对称 8.（2009

全国卷Ⅱ文）设a lge,b (lge)2,c lg

（ ）

（A）a b c （B）a c b （C）c a b （D）c b a 9.（2009安徽卷理）设a＜b,函数y (x a)2(x b)的图像可能是

（ ）

10.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x 4) f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间 8,8 上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则

x1 x2 x3 x4 _________.

11.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）

已知二次函数y g(x)的导函数的图像与直线y 2x平行,且y g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m 0).设函数f(x)

g(x)x

(1)若曲线y f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值 (2) k(k R)如何取值时,函数y f(x) kx存在零点,并求出零点.

12.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数f(x) x3 (k2 k 1)x2 5x 2，

g(x) kx kx 1，

2

2

其中k R．

（I）设函数p(x) f(x) g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； ．．． （II）设函数q(x)

g(x),x 0, f(x),x 0.

是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一

的非零实数x2（x2 x1），使得q (x2) q (x1)成立？若存在，求k的值；若不存 在，请说明理由．

13.（2009江苏卷）(本小题满分16分)设a为实数，函数f(x) 2x (x a)|x a|.(1)若f(0) 1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x) f(x),x (a, )，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x) 1的．．．．解集.

2

答案：1---9 DCCAC DABC

10.解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x 4) f(x),所以f(x 4) f( x),所以, 由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x 2对称且f(0)

,由0

f(x 4) f(x)知f(x 8) f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在

区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间 8,8 上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1 x2 x3 x4由对称性知x1 x2 12x3 x4 4所以x1 x2 x3 x4 12 4 8

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

11.解 （1）设g x ax bx c，则g x 2ax b；

2

又g x 的图像与直线y 2x平行 2a 2 a 1 又g x 在x 1取极小值， 2 g 1 a b c1

g x x

2

b2

1 ， b 2

c m，1 c m；

f x

x

mx

2， 设P xo,yo

2

m m22

x0 x0 2x0 2 2 2

x0x0

2

则PQ

2

x0 y0 2

2

2 4

m

mx

2

；

（2）由y f x kx 1 k x

2

2 0，

得 1 k x 2x m 0 *

当k 1时，方程 * 有一解x

m2

，函数y f x kx有一零点x

m21m

； ，

当k 1时，方程 * 有二解 4 4m 1 k 0，若m 0，k 1 函数y f x kx有两个零点

x

2

1 kk 1

m 0，

k 1

1m

，函数y f x kx有两个零点

x

2

1 k

k 1

；

当k 1时，方程 * 有一解 4 4m 1 k

y f x

x k有一零点x

1k 1

, k 1 0

1m

, 函数

12.解 （I）因P(x) f(x) g(x) x3 (k 1)x2 (k 5) 1，

2

所以p x 0在p x 3x 2(k 1)x (k 5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，．．．．

0,3 上有实数解，且无重根，由p x 0得k(2x 1) (3x2 2x 5),

k

(3x 2x 5)

2x 1

9t

2

3 910

t 1,7 ，记2x 1 ，令t 2x 1,有4 2x 13

h(t) t

,则h t 在 1,3 上单调递减，在 3,7 上单调递增，所以有h t 6,10 ，

92x 1

6,10 ，得k 5, 2 ，而当k 2时有p x 0在 0,3

于是 2x 1

上有两个相等的实根x 1，故舍去，所以k 5, 2 ；

（II）当x 0时有q x f x 3x 2(k k 1)x 5；

2

2

当x 0时有q x g x 2kx k，因为当k 0时不合题意，因此k 0，

2

q x 在 0, 下面讨论k 0的情形，记A (k, )，B= 5, （ⅰ）当x1 0时，

上单调递增，所以要使q x2 q x1 成立，只能x2 0且A B，因此有k 5，（ⅱ）当x1 0时，q x 在 ,0 上单调递减，所以要使q x2 q x1 成立，只能x2 0且B A，因此k 5，综合（ⅰ）（ⅱ）k 5；

当k 5时A=B，则 x1 0,q x1 B A，即 x2 0,使得q x2 q x1 成立，因为q x 在 0, 上单调递增，所以x2的值是唯一的；

同理， x1 0，即存在唯一的非零实数x2(x2 x1)，要使q x2 q x1 成立，所以k 5满足题意．

13.解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。 （1）若f(0) 1，则 a|a| 1 a 0 21

a 1

a （2）当x a时，f(x) 3x2f(a),a 0 2a,a 2ax a2

, 2

f(x)

min

a 0 2a2

f(3),a 0

3

,a 0 当x a时，f(x) x2 2ax a2,f(x)min

f( a),a 0 2a2

,a 0

f(a),a 0

2a2

,a 0

2a2,a 综上f(x)min

0

2a2

3

,a 0（3）x (a, )时，h(x) 1得3x2 2ax a2 1 0，

4a2

12(a2

1) 12 8a2

当a

2

a 2

时， 0,x (a, )；

当 x

2

a

(2

>0,

得：

x 3

3

0

x a讨论得：当a 22

时，解集为(a, );

当a (

22

时，解集为(a,

a a 3

[

3

);

当a [

2

2

时，解集为[

a 3

).

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