上海市浦东新区2015届高三数学二模试卷(含答案)
更新时间:2024-03-10 08:52:01 阅读量: 综合文库 文档下载
上海市浦东新区2014-2015学年高考质量检测
高三数学试卷(理科)
2015.4.20
(满分:150分,完卷时间:120分钟)
(答题请写在答题纸上)
一、填空题(本大题共有14小题,满分56分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数f(x)=3x–2的反函数f –1(x)=________.
2.若全集U=R,集合A={x| –2≤x≤2},B={x| 0 2n2?2)= . 4.计算极限:lim(2n??n?n?15.已知a?(1,x),b?(4,2),若a?b,则实数x?_______. 6.若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数,(i为虚数单位),则实数a的值是 . 7.在(x?)的二项展开式中,常数项等于 .(用数值表示) 2x6?12??42?8.已知矩阵A=??,矩阵B=??,计算:AB= . 3431????9.若直线l:y=kx经过点P(sin2?2?,cos),则直线l的倾斜角为α = . 3310.A、B、C三所学校共有高三学生1500人,且A、B、C三所学校的高三学生人数成等差数列,在一次联考后,准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本,进行成绩分析,则应从B校学生中抽取_________人. 11.双曲线C:x2 – y2 = a2的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点,|AB|?43,则双曲线C的方程为__________. 12.把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为m,第二次出现的点数记为n,方程组 ?mx?ny?3只有一组解的概率是_________.(用最简分数表示) ??2x?3y?213.若函数y=f(x) (x∈R)满足:f(x+2)=f(x),且x∈[–1, 1]时,f(x) = | x |,函数y=g(x)是定义 1 / 4 在R上的奇函数,且x∈(0, +∞)时,g(x) = log 3 x,则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______. 14.若实数a、b、c成等差数列,点P(–1, 0)在动直线l:ax+by+c=0上的射影为M,点N(0, 3),则线段MN长度的最小值是 . 二、选择题(本大题有4题,满分20分) 每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律的零分. 15.若 11??0,则下列结论不正确的是 ( ) ab222(A) a?b (B) ab?b (C) 开始 bab??2 (D) ?1 abaS=0 k=1 k>2011 否 是 16.右图是某程序的流程图,则其输出结果为( ) 20101(A) (B) 2011201120111(C) (D) 2012201217.已知f(x)=x–2x+3,g(x)=kx–1,则“| k |≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的 ( ) (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 2 S?S?1 k(k?1)输出S k ← k+1 第16题图 结束 18.给定方程:()?sinx?1?0,下列命题中:(1) 该方程没有小于0的实数解;(2) 该方程有无数个实数解;(3) 该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;(4) 若x0是该方程的实数解,则x0>–1.则正确命题的个数是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 三、解答题(本大题共有5个小题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分,第1小题6分,第2小题6分) 已知集合A={x| | x–a | < 2,x?R },B={x|(1) 求A、B; (2) 若A?B,求实数a的取值范围. 12x2x?1<1,x?R }. x?22 / 4 20.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知函数f(x)?sin(2x??)?sin(2x?)?3cos2x?m,x∈R,且f(x)的最大值为1. 33?(1) 求m的值,并求f(x)的单调递增区间; (2) 在△ABC中,角A、B、C的对边a、b、c,若f(B)?3?1,且3a?b?c,试判断△ABC的形状. 21.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) x2?2x?a,x?(0,2],其中常数a > 0. 已知函数f(x)?x(1) 当a = 4时,证明函数f(x)在(0,2]上是减函数; (2) 求函数f(x)的最小值. 22.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分) 设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.过B1作直线l交椭圆于P、Q两点. (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 若PB2?QB2,求直线l的方程; (3) 设直线l与圆O:x2+y2=8相交于M、N两点,令|MN|的长度为t,若t∈[4,27],求△ 3 / 4 B2PQ的面积S的取值范围. 23.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 已知数列{an}满足a1??6,1?a1?a2?7?an??an?1?0(其中λ≠0且λ≠–1,n∈N*), Sn为数列{an}的前n项和. 2(1) 若a2?a1?a3,求?的值; (2) 求数列{an}的通项公式an; (3) 当??1时,数列{an}中是否存在三项构成等差数列,若存在,请求出此三项;若不存3在,请说明理由. 4 / 4 参考答案和评分标准 一、填空题 1.1x?2(定义域不写不扣分) 2.{x|–2≤x≤0或1≤x≤2} 3.2 5.–2 6. ? 4. 23?104?5?x2y27.–160 8.?? 9.6 10.40 11.4?4?1 2410??12. 17 13.4 14.4?2 18二、选择题 15.D 16.C 17.A 18.C 三、简答题 19.解:(1) 由| x–a | < 2,得a–2 a?2?3?所以0≤a≤1.??????????????????????????????12分 20.解:(1)f(x)?sin2x?3cos2x?m?2sin(2x??3)?m ????????3分 因为f(x)max?2?m,所以m?1,??????????????????????4分 令– ???5??,k??](k∈Z)???6分 +2kπ≤2x+≤+2kπ得到:单调增区间为[k??2321212( 无(k∈Z)扣1分 ) (2) 因为f(B)?3?1,则2sin(2B??3615??A) 又3a?b?c,则3sinA?sinB?sinC,3sinA??sin(26?1?化简得sin(A?)?,所以A?,???????????????????12分 362所以C?网])?1?3?1,所以B????????8分 ?2,故△ABC为直角三角形.???????????????????14分 [来源学科 21.解:(1) 当a?4时,f(x)?x?任取0 44(x?x2)(x1x2?4)?x2??1??????3分 x1x2x1x25 / 4 因为0 a?2,即0?a?4时,f(x)的最小值为2a?2,?????????10分 当a?2,即a?4时,f(x)在(0,2]上单调递减,?????????????11分 所以当x?2时,f(x)取得最小值为 a,??????????????????13分 2综上所述:f(x)min?2a?2???a??20?a?4,a?4. ???????????????14分 x2y222.解:(1)设所求椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0),右焦点为F2(c,0). ab因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90o,得c=2b????1分 2在Rt△AB1B2中,S?AB1B2?b?4,从而a?b?c?20.??????3分 222x2y2??1 ????????????????4分 因此所求椭圆的标准方程为: 204(2)由(1)知B1(?2,0),B(2,0),由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为: x?my?2,代入椭圆方程得?m2?5?y2?4my?16?0,??????????6分 设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则y1、y2是上面方程的两根,因此y1?y2?4m, m2?5[来源学_科_网Z_X_X_K] y1?y2??16,又B2P??x1?2,y1?,B2Q??x2?2,y2?,所以 m2?516m2?64????????????8分 B2P?B2Q?(x1?2)(x2?2)?y1y2??m2?5由PB2?QB1,得B2P?B2Q=0,即16m?64?0,解得m??2; 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2y+2=0和x–2y+2=0????????10分 (3) 当斜率不存在时,直线l:x??2,此时|MN|?4,S?2165??????11分 56 / 4 当斜率存在时,设直线l:y?k(x?2),则圆心O到直线的距离d?|2k|k?12, 14k2因此t=|MN|?28?2?27,得k2????????????????13分 3k?1?y?k(x?2),?2222联立方程组:?x2得(1?5k)y?4ky?16k?0,由韦达定理知, y?1,???2044k4?k24k16k2y1?y2?,y1y2??,所以|y1?y2|?45, 2222(1?5k)1?5k1?5k14k4?k2因此S??4?|y1?y2|?85. 222(1?5k)设u?1?5k,u?28851325165,所以S?,所以S?[35,)?15分 ?(?)2?355u24综上所述:△B2PQ的面积S?[35,&网]165]?????????????????16分5[来源学&科 23.解:(1) 令n?1,得到a2?111?2。????2分 ,令n?2,得到a3?7?7?7?72由a2?a1?a3,计算得???.????????????????????4分 6(2) 由题意1?a1?a2?????an??an?1?0,可得: 1?a1?a2?????an?1??an?0(n?2),所以有 [来源学科网Z|X|X|K] (1??)an??an?1?0(n?2),又??0,???1,????????5分 得到:an?1?又因为a2?1???an(n?2),故数列{an}从第二项起是等比数列。?????7分 111??n?2()???????????8分 ,所以n≥2时,an?7?7???6?n?1,??7所以数列{an}的通项an???????????????10分 ?1(1??)n?2n?2.??7??7 / 4 ?6?n?1,?1?7(3) 因为?? 所以an????????????????11分 3?3?4n?2n?2.??7假设数列{an}中存在三项am、ak、ap成等差数列, ①不防设m>k>p≥2,因为当n≥2时,数列{an}单调递增,所以2ak=am+ap 即:2?( 333)?4k–2 = ?4m–2 + ?4p–2,化简得:2?4k - p = 4m–p+1 777即22k–2p+1=22m–2p+1,若此式成立,必有:2m–2p=0且2k–2p+1=1, 故有:m=p=k,和题设矛盾????????????????????????14分 ②假设存在成等差数列的三项中包含a1时, 不妨设m=1,k>p≥2且ak>ap,所以2ap = a1+ak , 2?( 363)?4p–2 = – + ()?4k–2,所以2?4p–2= –2+4k–2,即22p–4 = 22k–5 – 1 777因为k > p ≥ 2,所以当且仅当k=3且p=2时成立???????????????16分 因此,数列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列???????????18分 8 / 4
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