专题四动能定理和机械能守恒定律

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普通高中课程标准实验教科书—物理（人教版）

专题四动能定理和机械能守恒定律

【命题趋向】

《大纲》对本部分考点均为Ⅱ类要求，即对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用。

功能关系一直都是高考的“重中之重”，是高考的热点和难点，涉及这部分内容的考题不但题型全、分量重，而且还经常有高考压轴题。考查最多的是动能定理和机械能守恒定律。易与本部分知识发生联系的知识有：牛顿运动定律、圆周运动、带电粒子在电场和磁场中的运动等，一般过程复杂、难度大、能力要求高。本考点的知识还常考查考生将物理问题经过分析、推理转化为数学问题，然后运用数学知识解决物理问题的能力。所以复习时要重视对基本概念、规律的理解掌握，加强建立物理模型、运用数学知识解决物理问题的能力。【考点透视】一、理解功的概念

1．功是力的空间积累效应。它和位移相对应。计算功的方法有两种：

?按照定义求功。即：W=Fscosθ。在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。当0???时F做正功，当???2?2时F不做功，当

?2????时F做负功。

这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。

?用动能定理W=ΔEk或功能关系求功。当F为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。

这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。

1用力和位移的夹角α判断;○2用力和速度的2．会判断正功、负功或不做功。判断方法有：○3用动能变化判断. 夹角θ判断定;○

3．了解常见力做功的特点:

重力（或电场力）做功和路径无关，只与物体始末位置的高度差h（或电势差）有关：W=mgh（或W=qU），当末位置低于初位置时，W＞0，即重力做正功；反之则重力做负功。

滑动摩擦力做功与路径有关。当某物体在一固定平面上运动时，滑动摩擦力做功的绝对值等于摩擦力与路程的乘积。

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二、深刻理解功率的概念

1．功率的物理意义：功率是描述做功快慢的物理量。

在弹性范围内，弹簧做功与始末状态弹簧的形变量有关系。

W，所求出的功率是时间t内的平均功率。 t3．功率的计算式：P=Fvcosθ，其中θ是力与速度间的夹角。该公式有两种用法：①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；②当v为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。

4．重力的功率可表示为PG=mgVy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。

三、深刻理解动能的概念，掌握动能定理。

1．动能Ek?1而动能的变化ΔEK是与物理过程有关的过程量。 mV2是物体运动的状态量，

22．动能定理的表述

合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。表达式为W=ΔEK.

动能定理建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系。这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。四、掌握机械能守恒定律。

1.机械能守恒定律的两种表述

?在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

?如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。

2.对机械能守恒定律的理解：

①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

②当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械

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力”来判定机械能是否守恒。

能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻

③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功或除重力之外的力做功的代数和为零。

2.机械能守恒定律的各种表达形式 ?mgh?121?mv?mgh??mv?2，即Ep?Ek?E?p?Ek；

22??EP??Ek?0；?E1??E2?0；?E增??E减

用?时，需要规定重力势能的参考平面。用?时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。五、深刻理解功能关系，掌握能量守恒定律。

1．做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。

能量守恒和转化定律是自然界最基本的规律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都可由这个基本原理出发而得到。

需要强调的是：功是一个过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一个状态量，它与一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。

2．复习本章时的一个重要课题是要研究功和能的关系，尤其是功和机械能的关系。突出：“功是能量转化的量度”这一基本概念。

①物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk，这就是动能定理。 ②物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG= -ΔEP，这就是势能定理。同理：电场力做功量度电势能的变化，即W电= -ΔEP。

③物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其=ΔE机，（W其表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。

④当W其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。

⑤一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。Q=fd（d为这两个物体间相对移动的路程）。【例题解析】

类型一：功和功率的计算

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例1．如下图甲所示，质量为m的物块与倾角为?的斜面体相对静止，当斜面体沿水平面向左匀速运动位移s时，求物块所受重力、支持力、摩擦力做的功和合力做的功。

解析：物块受重力mg，支持力N和静摩擦力f，如上图乙所示，物块随斜面体匀速运动，所

受合力为零，所以，N?mgcos?，f?mgsin?。

物块位移为s，重力与位移的夹角为支持力N与s的夹角为??2，重力做功WG?0。

??????，支持力做功 ?2? WN?Nscos????????mg·ssin?co?s。 ?2?静摩擦力f与s的夹角为(???)，f做的功Wf?f·scos(???)??mgssin?cos?.

合力F做的功WF是各个力做功的代数和

WF?WG?WN?Wf?0

方法技巧：（1）根据功的定义计算功时一定要明确力的大小、位移的大小和力与位移间的夹角。本题重力与位移夹角

?????，重力不做功，支持力与位移夹角为?????，支持

?2?22力做正功，摩擦力与位移夹角为(???)?负功要具体分析。

?2,摩擦力做负功。一个力是否做功，做正功还是做

（2）合力的功一般用各个力做功的代数和来求，因为功是标量，求代数和较简单。如果先求合力再求功，则本题合力为零，合力功也为零。

变式训练1：质量为m=0.5kg的物体从高处以水平的初速度V0=5m/s抛出，在运动t=2s内重力对物体做的功是多少？这2s内重力对物体做功的平均功率是多少？2s末，重力对物体做功的瞬

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时功率是多少？（g取10m/s）

类型二：机车启动问题

例2．电动机通过一绳子吊起质量为8 kg的物体，绳的拉力不能超过120 N，电动机的功率不能超过1200 W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90 m（已知此物体在被吊高接近90 m时，已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少？

解析：此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理：第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体以最大加速度匀加速上升，第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率.第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力等于重力时，物体开始匀速上升.

在匀加速运动过程中加速度为 a=

Fm?mg120?8?10P1200 m/s2=5 m/s2，末速度Vt=m?=10 m/s ?Fm120m82VtVt10102?上升的时间t1==10 m ?s=2 s，上升高度为h=

2a2?5a5在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为 Vm=

PmP1200?m?=15 m/s Fmg8?10外力对物体做的总功W=Pmt2-mgh2,动能变化量为 ΔEk=

121mVm-mVt2 2211mVm2-mVt2 22由动能定理得Pmt2-mgh2=

代入数据后解得t2=5.75 s，所以t=t1+t2=7.75 s所需时间至少为7.75 s.

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9．滑板运动是一项非常刺激的水上运动，研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力

Fx垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率（水可视为静止）.某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ=37°时（如图所示），滑板做匀速直线运动，相应的k=54 kg/m，入和滑板的总质量为108 kg,试求（重力加速度g取10 m/s2，sin 37°取阻力）：

3，忽略空气5

（1）水平牵引力的大小；（2）滑板的速率；（3）水平牵引力的功率.

10．如图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，

AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上。一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点。已知水平轨道AB长为L。求：（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数?。

（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？（3）若圆弧轨道的半径R取第（2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物

块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上。如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道？

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11．图中有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下端固定，上端

连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体，它对滑块的阻力可调.起初，滑块静止，ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L，现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动.为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为空气阻力）:

(1)下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能； (2)滑块向下运动过程中加速度的大小；

(3)滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小.

12．如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块A 从坡道顶端由静止滑下，

进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于滑道的末端O点。已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：（1）物块速度滑到O点时的速度大小；

（2）弹簧为最大压缩量d时的弹性势能（设弹簧处于原长时弹性势能为零）（3）若物块A能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？

2mg时速度减为0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变。试求（忽略kwww.ycy.com.cn

参考答案

变式训练

1．解：t=2s内，物体在竖直方向下落的高度h?121gt??10?22?20m， 22W所以有WG?mgh?0.5?10?20J?100J，平均功率P??50W。

t在t=2s末速度物体在竖直方向的分速度Vyt?gt?20m/s,所以t=2s末瞬时功率

P?mgVyt?100W。

2．解：汽车运动过程中受牵引力F和阻力f共同作用，由牛顿定律知

F?f?ma即F?ma?f

汽车做匀加速运动，经过时间t，速度v?at,这时发动机的功率

P??Fv?(ma?f)at，发动机的实际功率P?受额定功率P的限制，P??P，P?随

时间的增加而增大，当P??P时，经过的时间为t?，这就是汽车能保持以加速度a作匀加速度运动的最长时间，故

P?(ma?f)at?

t?? Pa(ma?f)3．答案：C

解析：由牛顿运动定律得，小球经过最低点时7mg-mg=mv12/L，小球恰好能通过最高点的条件是重力提供向心力，即mg=mv22/L，由动能定理得，mv12/2- mv22/2=2mgL-Wf，解以上各式得，Wf= mgL/2，故选项C正确。

4．解析：考查受力分析、连接体整体法处理复杂问题的能力。每个滑块受到三个力：重力、绳

子拉力、斜面的支持力，受力分析中应该是按性质分类的力，沿着斜面下滑力是分解出来的按照效果命名的力，A错；对B选项，物体是上滑还是下滑要看两个物体的重力沿着斜面向下的分量的大小关系，由于2m质量的滑块的重力沿着斜面的下滑分力较大，故质量为m的滑块必定沿着斜面向上运动，B对；任何一个滑块受到的绳子拉力与绳子对滑块的拉力等大反向，C错；对系统除了重力之外，支持力对系统每个滑块不做功，绳子拉力对每个滑块的拉力等大反向，且对滑块的位移必定大小相等，故绳子拉力作为系统的内力对系统做功总和必定为零，故只有重力做功的系统，机械能守恒，D对。答案：BD

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5．解：以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱

先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对

小箱有s?12传送带运动的路程为s0?v0t ③ 由at① v0?at② 在这段时间内，

2以上可得s0?2s ④

用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为

A?fx?12mv0 ⑤ 212mv0 ⑥ 2传送带克服小箱对它的摩擦力做功A0?fx0?2?两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量 Q?12 ⑦ mv02可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。 T时间内，电动机输出的功为： W?PT ⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即

W?12Nmv0?Nmgh?NQ ⑨ 2已知相邻两小箱的距离为L，所以 v0T?NL ⑩

NmN2L2联立⑦⑧⑨⑩，得P?[2?gh] ⑾

TT专题训练与高考预测

1．答案：A 2．答案：C

解析：斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、绳子拉力，由于除重力做功外，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错；绳子张力总是与运动方向垂直，故不做功，C对；小球动能的变化等于合外力做功，即重力与摩擦力做功，D错。 3．答案：D

解析：考查平抛运动的分解与牛顿运动定律。从A选项的水平位移与时间的正比关系可知，滑块做平抛运动，摩擦力必定为零；B选项先平抛后在水平地面运动，水平速度突然增大，摩擦力依然为零；对C选项，水平速度不变，为平抛运动，摩擦力为零；对D选项水平速度与时间成正比，说明滑块在斜面上做匀加速直线运动，有摩擦力，故摩擦力做功最大的是D图像所显示的情景，D对。本题考查非常灵活，但考查内容非常基础，抓住水平位移与水平速度与时间的关系，然后与平抛运动的思想结合起来，是为破解点。 4．答案：AC

解析：考查向心加速度公式、动能定理、功率等概念和规律。设b球的摆动半径为R，当

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摆过角度θ时的速度为v，对b球由动能定理：mgRsinθ= mv2，此时绳子拉力为T=3mg，

v2在绳子方向由向心力公式：T－mgsinθ = m，解得θ=90°，A对B错；故b球摆动到最

R低点的过程中一直机械能守恒，竖直方向的分速度先从零开始逐渐增大，然后逐渐减小到零，故重力的瞬时功率Pb = mgv先增大后减小，C对D错。 5．答案：B

解析：本题考查v-t图像、功的概念。力F做功等于每段恒力F与该段滑块运动的位移（v-t图像中图像与坐标轴围成的面积），第1秒内，位移为一个小三角形面积S，第2秒内，位移也为一个小三角形面积S，第3秒内，位移为两个小三角形面积2S，故W1=1×S，W2=3×S，W3=2×2S，W1＜W2＜W3 。 6．答案：B

解析：在b落地前，a、b组成的系统机械能守恒，且a、b两物体速度大小相等，根据机

13mgh?mgh?(m?3m)v2?v?gh2械能守恒定律可知：，b球落地时，a球高度为h，12v2hmv?mg?h??h??2g2，所之后a球向上做竖直上抛运动，过程中机械能守恒，2以a可能达到的最大高度为1.5h,B项正确。

7．答案：B

解析：由机械能守恒定律：EP=E－EK，故势能与动能的图像为倾斜的直线，C错；由动能

定理：EK =mgh=mv2=mg2t2，则EP=E－mgh，故势能与h的图像也为倾斜的直线，D错；

2211

且EP=E－mv2，故势能与速度的图像为开口向下的抛物线，B对；同理EP=E－mg2t2，势

22能与时间的图像也为开口向下的抛物线，A错。

8．解：（1）小球从高处至槽口时，由于只有重力做功；由槽口至槽底端重力、摩擦力都做功。

由于对称性，圆槽右半部分摩擦力的功与左半部分摩擦力的功相等。小球落至槽底部的整个过程中，由动能定理得

12mv 212解得Wf?mg(H?R)?mv?2J

2mg(H?R)?Wf?由对称性知小球从槽底到槽左端口克服摩擦力做功也为Wf?2J，则小球第一次离槽上升的高度h，由