2012届全国各省市高三数学联考试题重组卷专题题型五：解析几何(教师版)

2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题

题型五解析几何

【备考要点】

考情分析从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1．圆锥曲线是高考中每年必考内容，是高考的重点和热点，选择题、填空题和解答题均有涉及，所占分数在12～18分．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质等．2．由于新课标对此部分的考查增加了“理解数形结合思想”的要求，所以考查数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法的问题有所加强．3．以向量为载体的解析几何问题已成为高考的重中之重，联系方程、不等式以及圆锥曲线的转化，题型灵活多样．

解答题的题型设计主要有三类：圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹．近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担. 要点知识整合

【2011高考题型】

根据近年来各地高考的情况，解析几何高考考查特点(1)题型稳定:近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题,一个填空题,一个解答题上,分值约为30分左右, 占总分值的20%左右。

(2)整体平衡,重点突出:对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏,通过对知识的重新组合,考查时既注意全面,更注意突出重点, 对支撑数学科知识体系的主干知识, 考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型:①求曲线方程( 类型确定、类型未定);②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题);③与曲线有关的最(极)值问题; ④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直);⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征;

(3)能力立意,渗透数学思想:一些虽是常见的基本题型,但如果借助于数形结合的思想,就能快速准确的得到答案。

(4)题型新颖,位置不定:近几年解析几何试题的难度有所下降,选择题、填空题均属易中等题,且解答题未必处于压轴题的位置,计算量减少,思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等),凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。

由于圆锥曲线是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．

【2012 命题方向】

?中，点A、B的坐标分别为(B，点C在x轴上【原题】（本小题满分14分）已知ABC

方。（1）若点C坐标为，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2）过点P（m，0）作倾

角为34

π的直线l 交（1）中曲线于M 、N 两点，若点Q （1，0）恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值。

【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b +=，c= 2 ,2a=4AC BC +=,b= 2 椭圆方程为22

142

x y +=5分

即D 两，则应在（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，点1F 关于直线09:=+-y x g ①

的对称点F 的坐标为)6,9(-，直线2FF 的方程为032=-+y x ② ………8分

解方程组①②得：交点M )4,5(-…9分此时21MF MF +最小，

所求椭圆的长轴562221==+=FF MF MF a ，∴53=a …11分

又3=c ， ∴362

=b ，故所求椭圆的方程为136452

2=+y x ……12分 【试题出处】安徽省宿州市2012届高三第一次教学质量检测数学试题（理）

【原题】（本题满分13分）已知椭圆1C :2221(02)4x y b b +=<<的离心率等

于2

,抛物线2C :22(0)x py p =>的焦点在椭圆的顶点上．

（1）求抛物线2C 的方程。 （2）过(1,0)M -的直线l 与抛物线2C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线2C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥时，求直线l 的方程。 ∴21b =（2 ∴切线24x kx -满足 B 两直线AB 设A (x 1由点M 记α＝∠＝y 1x 1＋2＝x 1x 1＋2＝12，＝－y 2x 2＋2＝－x 2x 2＋2＝12

，∴α＝β，∴tan ∠ACB ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝ 4 3

．…12分 【试题出处】唐山市2012届高三上学期期末考试数学试题（文）

【原题】已知曲线C 的方程为122=+ay x （R a ∈）．（1）讨论曲线C 所表示的轨迹形状；（2）若1

-≠a 时，直线1-=x y 与曲线C 相交于两点M ，N ，且2||=MN ，求曲线C 的方程．

【解析】（1）当0

当0=a 时，曲线C 的轨迹是两条平行的直线1=x 和1-=x ；…（1分）

当10<

当1=a 时，曲线C 的轨迹是圆122=+y x ；…（1分）

当1>a 时，曲线C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆．……（1分）

（2）由???=+-=1

1

22ay x x y ，得012)1(2=-+-+a ax x a ……① …………（2分）

因为1-≠a ，所以方程①为一元二次方程，△04)1)(1(442>=-+-=a a a ，所以直线l 与曲线C 必有两个交点．…（1分）设),(11y x M ，),(22y x N ，则1x ，2x 为方程①的两根，所以

21+x x

试卷 D PQ 【解析∴（-=∴22=a 消去y 32Δ=m ∴0=?，即02121=+y y x x （9分）

又22

22212111215

8544)(22)2)(2(m m m m x x m x x m x m x y y +--=+++=++= 由02121=+y y x x 得05

2258442222=-++--m m m m ，∴522<=m （11分）∴2±=m （12分） 【试题出处】吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测数学

【原题】（本题满分13分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为12，且过点3(1,)2P ，F 为其右焦点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点(4,0)A 的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在,A N 两点之间），若AMF △与MFN △的面积相等，试求直线l 的方程.

【解析】（Ⅰ）因为12

c a =，所以2a c =

，b …1分

22

由24

y x =???+??设1(,M x 因为△.【原题】已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(，离心率为2

3．设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为B A 、，且向量OM OA OB =+ .求：

（I ）椭圆C 的方程；（II ）||OM 的最小值及此时直线l 的方程

【解析】(Ⅰ)由题意可知3=c ，23==a c e ，所以2=a ，于是12=b ，由于焦点在x 轴上，故C 椭圆

的方程为2

214

x y +=……5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：m kx y +=)0(

,22y x m kx y 消去y 得： 012)4

1(222=-+++m kmx x k …7分 直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，

42=?k ||∴O Q 两点， 分 因为(M 由???+2x y

解得

4 m

当= m

.

的面积为

36

13

程为

2

4

x

2

(3m+

12

y y=-9分=.………10分

因为PAB

?的面积为

36

13

，

2

13

=.令t=则

2

2

(1)

3113

t

t

t

=

+

.解得

1

1

6

t=（舍），2

2

t=.所以m=. 所以直线AB的方程为10

x-=或10

x--=.…13分

【试题出处】北京市海淀区2012届高三年级第一学期期末数学试题(文)

【原题】（本小题满分13分）如图，DP x ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，

且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时。

（I ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点22(0,)1T t y +=作圆x

的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T

的坐标。

【解析】设点M 的坐标为()y x ,，点P 的坐标为()00,y x ，则0x x =，

02y y =

所以x 0将①（Ⅱ),1 此时|R ∈由??

???+=2x y 设A 、B 又由l 所以|因为|

||t 依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径，所以AOB ?面积1121≤?=

AB S ， 当且仅当3±=t 时，AOB ?面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为()3,0-或者()

3,0．13分

【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学试题（文） 【原题】（本题满分14分） 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，

(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得2

3635AP AM AN =??若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.

【解析】（Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.………… 1分 因为1

c =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为22

221x y +=, 由所以

3)2…1021212(1)(4()16)k x x x x =+-++22

2

22641232(1)(416)3434k k k k k -=+-?+++ 2236(1).34k k =++ 所以223681(1)347k k +=+，解得4

k =±.经检验成立.…… 13分 所以直线m 的方程为4)4y x =±-.…… 14分

【试题出处】北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）

【原题】(本题12分)如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，

已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持

|PA|+|PB|的值不变。(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C

的方程；(II)过点B 的直线l 与曲线C 交于M 、N.两点，与OD 所

在直线交于E 点，1λ=，2λ=证明：21λλ+为

定值.

【解析】（Ⅰ）以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴， O 为原

且保持|P ∴|P A |+|∴曲线C ,∴

a =5,c 【法1】 易知B ∵EM 将M ∴ 1λ【法2】 易知B 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得052020)51(2222=-+-+k x k x k

∴ 22215120k k x x +=+，222151520k

k x x +-=…… 8分 又 ∵1EM MB λ= ， 则110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴1112x x -=λ，

同理，由2EN NB λ= ，∴2222x x -=

λ………10分 ∴10)(242)(22221212121221121-==++--+=-+-=+ x x x x x x x x x x x x λλ

……………………12分 【试题出处】2012年北海市高中毕业班第一次质量检测数学

【原题】已知椭圆C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过)2

21(10，），，（N M (Ⅰ)求椭圆C 的方程，(Ⅱ)直线

3:l ?????=+121b b a （Ⅱ）设

??

???=+2121x x x x 21+=x x 21+y y ∴MA ? 故MA + 【原题】（本小题共13分）已知椭圆()2210a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 点()0,2M 是椭圆的一个顶点，△21MF F 是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ， 2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点（2,21--

）． 【解析】（Ⅰ）由已知可得 )222,8b a ===，所求椭圆方程为22

184x y +=．…5分

（Ⅱ）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2±≠m ．

设),(11y x A ，),(22y x B ，由 ?????+==+,

,14822m kx y y x 得 ()222124280k x kmx m +++-=…7分 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++．由已知1212

228y y x x --+=，

2-． 4。 （I ⊥OB |OM|

（2）设()33,y x D 、()44,y x E ，直线DE 的方程为λ+=ty x ，代入22

11612x y +=，得

()04836432

22=-+++λλy t y t ．于是43483,4362243243+-=+-=+t y y t t y y λλ． 从而()()4

348422

24343+-=++=t t ty ty x x λλλOE OD ⊥ ，04343=+∴y y x x ．代入，整理得()148722+=t λ．∴原点到直线DE 的距离7

21412=+=t d λ

为定值……（13分）

C 相交于MA ? 122b ??（Ⅱ）（36k ?=因为AB （2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531

k x x k -=+ 所以112212127777(,)(,)()()3333

MA MB x y x y x x y y ?=++=+++ ……………11分 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39

k x x k x x k =++++++…12分 2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++4222316549319k k k k ---=+++49=…14分

【试题出处】山东省青岛市2012届高三期末检测数学 (文科)

= S 所以，当1=λ时，)(λS 取最小值2，当3=λ时，)(λS 取最大值3

8． 所以△AOB 面积的取值范围是??????38,2．…………（2分） 【试题出处】2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）

【原题】如图，过抛物线2:4C y x =上一点P （1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点1122(,),(,)A x y B x y

（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若120,0y y ≥≥，求PAB ?面积的最大值。

【解析】⑴因为11(,)A x y ，22(,)B x y 在抛物线:C 24y x =上， 所以221212(,),(,)44y y A y B y ， PA k =1

12211124(2)44214y y y y y ++==---， 同理242PB k y =-，依题有PA PB k k =-，因为124422

y y =---，所以124y y +=．…4分 ⑵由⑴知21

1AB y y k -==，设AB 的方程为221111,0y y y y x x y y -=--+-=即， P 到AB 所以S ?令12y -因为S ?记()f t t =24，故PAB S ?12.y 轴于点P 所以a =（Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ……5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为

(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,

y k x x y =-??+=?消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k .…7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2

122834k x x k +=+.……8分

所以 2

12324234x x k x k

+==+，3323(1)34k y k x k -=-=+.线段MN 的垂直平分线方程为 )434(143322

2k k x k k k y +--=++.在上述方程中令0=x ，得k k

k k y 4314320+=+=10分 当0k <

时，34k

+≤-0k >时，34k +≥.所以00y ≤<或00y <≤12分 综上，y x O 上

所以O l d -（方法二）记OM 与AB 交于点00(,)C x y ．因为直线l 斜率为k ，显然0k ≠，所以OM 直线方程为

1y x k =-…7分31y kx y x k =+???=-??， 解得02023131k x k y k -?=??+??=?+?

， 所以点M 坐标为2266(,)11k M k k -++，……9分 因为点M 在圆上，所以226()1k k -++226()41k =+，解得28k =，……11分

即k =±12分所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．…3分

【试题出处】丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习高三数学（文科）

【原题】（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)

N 的距离之比为

12

．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程； （Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B 两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得OQ OA OB =+ ，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说

分化简得x

或k

221(0)x y a b a b

+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，

2

c a =.……2分所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y .（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.

由226,514

x x y ?=-????+=?? 解得：6,545x y ?=-????=??或6,54.5x y ?=-????=-??即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.……5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-.因为 1AQ BQ k k ?=-，所以 AQ BQ ^.所以 2

AQB π∠=.6分

消去y 然0?>，2y k =(1=+(1=+所以 取AB 记点(-1222

225100520M k k ++所以 点M 的纵坐标2

66()5520M M k y k x k =+=+. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k QM NM k k k k +? ++++

2

22

601320(520)k k += +.所以 QM 与NM 不垂直，矛盾. 所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ?为等腰三角形.…13分

【试题出处】北京市海淀区2012届高三年级第一学期期末数学试题(理)

【原题】已知椭圆的焦点()()121,0,1,0F F -，过10,2P ?

? ???

作垂直于y 轴的

（2 （3由由12222??122

??因为1212(2)y y k x x +=+-，所以12k =-

此时，直线l 的方程为()112y x =--…（16分） 注：由1PA PB tPF += 得1F

是AB 的中点或P 、A 、B 、1F 共线，不扣分． 【试题出处】上海市宝山区2012届高三上学期期末质量监测数学试题

【原题】（本题满分12分）已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C ,2C 上

点的距离的最小值相等.（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点

(A -的距离减去点Q

到点B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.

【解析】（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)2分 因为动点P 到圆1C ,2C 上的点距离最小值相等，所以12||||PC PC =, ………3分

=23y x =-…4分因此点P 的轨迹方程是23y x =-…5分

（2

4， 所以Q 2244x y -

11分消元得3点…13（1MN 的

得圆O （2或052=--y x …7分

（3）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由P A P O P B

，， 22x y =+，即222x y -=． …………9分

∴(2)(2)PA PB x y x y ?=---?-- ，，=)1(22-y 由于点P 在圆O 内，故222242.

x y x y ?+

………12分 【试题出处】株洲市2012届高三教学质量统一检测理科数学试题

【原题】（本小题满分12分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，抛物线的准线与x 轴交于点C 。（1）证明：ACF BCF ∠=∠； （2）求ACB ∠的最大值，并求ACB ∠

tan ∠∴tan ∠ 值 π 4，∠

nON + m =

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wc0e.html