10-11-2概率论与数理统计A

10-11-2《概率论与数理统计》试题A

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、设A，B为两随机事件，P(A)?0.5,P(A?B)?0.2，则P(AB)?____________． 2、设X~N(0,1)，Y?4X?1，则随机变量Y~__________________． 3、设X~P(2)，Y?3X?4，则EY?_____________． 4、设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,则系数A=____ ______；B=__ ___________．

5、设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2 ，则随机变量3X?2Y的方差为___ _______．

6、设X服从[1,4]上的均匀分布，对X进行三次独立试验，则至少有两次观测值大于2的概率为________________．

7、设随机变量X与Y相互独立，且有同一

X P 0 1 分布列

???x???

X,Y)的分布列为则随机变量Z?max(____________________．

12 12 8、假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 . 9、设X和Y为两个随机变量，且

P{X?0,Y?0}?34P{X?0)?P(Y?0}?7，7，则

P{max(X,Y)?0}? .

?e?(x??)x??f(x,?)?? x??X,X,?Xn?010、设总体X的概率密度为，而12是来自总体X的

简单随机样本，则未知参数?的矩法估计量为 . 二、选择题（每题2分，共20分）

P(B)?0，11、设随机变量A与B互不相容，且P(A)?0，则下列关系成立的是（ ）．

（A）A与B相互独立； （B）A与B不相互独立； （C）A与B互为对立事件； （D）A与B不互为对立事件. 12、设X是一个离散型随机变量，则（ ）可以成为X的分布列． （A） X

1 0

p 1 ? p p （p是任意实数） （B）

X P x1 0.1 x2 0.3 0.3 x3x4 0.2 0.2 x5e?33ie?33iP{X?i}?(i?1,2,?)P{X?i}?(i?0,1,2,?)i!i!（C）;（D）

13、设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度函数为f1(x),f2(x)是连续函数,则必为概率密度的是( ).

(A) f1(x)f2(x); (B)2F2(x)f1(x);

(C) f1(x)F2(x); (D) f1(x)F2(x)?F1(x)f2(x).

E?Y?存在，V?min?X,Y?，14、设随机变量X,Y相互独立，且E?X?，记U?max?X,Y?，

则E?UV?等于（ ）. (A)

E?U?E?V?; (B)

E?X?E?Y?; (C)

E?U?E?Y? ; (D)

E?X?E?V?.

2N(?,?)，则随?的增大，概率P(X????)是X15、设随机变量服从正态分布

（ ）.

（A）单调增大； （B）单调减少； （C）保持不变； （D）增减不定.

16、设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(?x)?f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a，有（ ）.

a1???(x)dx20；

（A）

F(?a)?1???(x)dx0aF(?a)?； （B）

（C）F(?a)?F(a)； （D）F(?a)?2F(a)?1.

222??????等于（ ）. N?,?,?,?,0EXYX,Y17、设二维随机变量服从，则222222????. ?????????????????（A）；（B）；（C）；（D）

E?X18、设X~e(?)，且

2??98，则参数?等于（ ）

．

11（A）7; （B）7; （C）6; （D）6.

19、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的

相关系数等于（ ）．

1(A) ?1; （B）0; (C) 2; (D) 1.

2XnN(?,?)的简单随机样本，X是样本均值，记XX1220、设，，?是来自正态总体

1nS?(Xi?X)2?n?1i?1211nS??(Xi?X)2ni?1，

221nS?(Xi??)2?n?1i?1，

23，

1nS??(Xi??)2ni?1，则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是（ ）.

24t?（A）

X??S1/n?1；

（B）

t?X??S2/n?1；

（C）

t?X??S3/n；

（D）

t?X??S4/n.

三、求解题（共60分）

21、(8分)10件产品中有3件是次品，已经出售2件，求从剩下的产品中任取一件是正品的概率.

22、(10分) 一口袋中有6个球，分别标有数字?1，?1，1，1，1，2，从中任取一球，求：

??3P?X?X?1???2??. （1）取得的球上标有的数字X的概率分布；（2）

23、(12分) 已知随机变量X的概率密度为

?ax?b,0?x?11?51???1f(x)??P?X???P??X??2?8，2?；?0,其他, 且? 求：（1）系数a，b； （2）?4

（3）分布函数F(x).

?e?x,fX(x)???0,24、(10分) 设随机变量X的概率密度为

密度fY(y).

25、(10分) 袋中装有标上号码1,2,2的三个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取一球，以X，Y分别记为第一、二次取到球上的号码数，X?Y的分布列. 26、(10分)设

x?0x?0，求随机变量Y?e的概率

Xx1,x2,?,xn是取自双参数指数分布的一个样本，密度函数为

??1?1?x?x??1?e2，f(x;?1,?2)???2?其它 （?2?0）, 求参数?1和?2的矩法估计和极大?0,似然估计.

2010-2011-2 概率与数理统计试卷A参考答案及评分标准

一、填空题（每小题2分，共20分） 1、0.7； 2、N(1,16)； 3、10； 4、A?Z P 1120,B?； 5、44； 6、；7、

272?0 1 1 43 41n258、，9、，10、?Xi?1。

ni?137二、选择题（每题2分，共20分）

11、（B）； 12、（D）； 13、（D）； 14、（B）； 15、（C）；16、（B）；17、（A）；18、（B）；

19、（A）； 20、（B）. 三、计算题（共60分）

21、(8分) 解 设A表示事件“从剩下的产品中任取一件是正品”，Bi表示事件“已经出售的2件中有i件次品”(i?0,1,2)，则

C；P(A/B)?5---------------------------------------------------------2分

8C6P(B)?CC；P(A/B)?-------------------------------------------------------4分

8C7P(B)?C；P(A/B)?-----------------------------------------------------------6分

8CC?5?CC?6?C?7?0.7------------8分

所以P(A)??P(B)P(A/B)?C8C8C8P(B0)?720210117312110223221022112iii?0727323210101022、(10分)

解 （1）X的可能取值为?1，1，2，----------------------------------------------2分 且 P{X??1}?所以其概率分布为

X P 21311?，P{X?1}??，P{X?2}?，------------------6分 63626?1 1 31 2 1 21 63??P?X?且X?1???32??-------------------------------------8分 X?X?1??（2）P???2P?X?1???12?3?---------------------------------------------------------------------------------10分 13223、(12分) 解 （1）由

?????f(x)dx??(ax?b)dx?0??1a?b?1，--------------------------2分 23ab5??，--------------------------4分 8281??又P?X???2???12f(x)dx?? 12 1(ax?b)dx?所以 a?1,b?1------------------------------------5分 217?)dx?-------------------------7分 2321??1（2）P??X???2??4x?1214f(x)dx??121(x4（3）F(x)????f(t)dt

当x?0时，F(x)????0dt?0；-----------------------------------------------------8分

x1111(t?)dt?x2?x?x(x?1)；----------10分

??0222201x1当x?1时，F(x)?0dt?(t?)dt?0dt?1；-----------------------------11分

??012当0?x?1时，F(x)??00dt??x???,x?0?0?1综上， F(x)??x(x?1),0?x?1---------------------------------12分

?2,x?1?124、(10分)

解 先求Y?eX的分布函数FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}-------------------------2分 当y?0时，FY(y)?0；--------------------------------------------------------------4分 当0?y?1时，FY(y)?P{X?lny}????0dx?0；--------------------------------6分 当y?1时，FY(y)?P{X?lny}??0e?xdx；--------------------------------------8分

lnylny?0,?1所以fY(y)?FY?(y)???lny1e??2,?yy?y?1y?1.----------------------------------------10分

25、(10分)解 (X,Y)的概率分布表为

Y X 1 2

1 0 21? 3212? 3221? 32---------------------------4分

2 所以X?Y的分布列为

X?Y P 整理得X?Y的分布列为

2 0 3 4 11? 333 4 1 3X?Y P 2 31 3---------------------------10分

26、(10分) 解：

E(X)????x?1?2??e2?x??1?2dx??1??2 ---------------------------2分

E(X2)??x?1?2e?x??1?2dx??12?2?1?2??22---------------------------4分

??1??2?x?1n2 2令 ?2??1?2?1?2??2?n?xii?1??^21n2???2?n?xi?x?sni?1解得?1,?2的矩法估计为?---------------------------6分

^??1?x?sn??似然函数L(?1,?2)?1??n2en?1??xi?n?1??2???i?1??

1?n?x?n?两边取对数lnL(?1,?2)??nln?2??i1?

?2??i?1?对?1求偏导，

?lnL(?1,?2)n??0，知lnL是?1的递增函数，?1取到其最大的可能值使

??1?2lnL达到最大，故?1的极大似然估计为?1?min{x1,x2,?xn}。-------------------8分 ?lnL(?1,?2)n1?n?对?2求偏导，???2??xi?n?1??0

??1?2?2?i?1?可解得?2的极大似然估计为?2?x??1?x?min{x1,x2,?xn}。----------------------10分

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