广东省东莞市2012届高三理科数学小综合专题练习--解析几何

2012届高三理科数学小综合专题练习——解析几何

东莞实验中学贺怀春老师提供

一、选择题

1．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是 A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2

2．过点(2,4)作直线与抛物线y＝8x只有一个公共点，这样的直线有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

x2y2

3.双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝

63A.3 B．2 C．3 D．6

4．“a?b”是“直线y?x?2与圆?x?a???x?b??2相切”的

222

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

x25．椭圆12?y23=1的一个焦点为F，点P在椭圆上．如果线段PF的中点M在y轴上，

11那么点M的纵坐标是

3323A．±4 B．±2 C．±2 D．±4

二、填空题

6.经过圆x?2x?y?0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是___ . 7.由直线y?x?2上的点向圆?x?4???y?2??1 引切线，则切线长的最小值为___. 8．若双曲线

x?ky?1222222的离心率是2，则实数k的值是______.

?x?cos?,(?为参数）9．已知圆C的参数方程为?，以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立

y?1?sin?.?极坐标系,直线l的极坐标方程为?sin??1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为 .

10.在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k与b都是无理数，则直线y?kx?b不经过任何整点 ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y?kx?b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 三、解答题

11．在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．

12．求过两点A(1,4)、B(3,2)，且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程．并判断点M1(2,3)，M2(2,4)与圆的位置关系．

13．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0. (1)求证对任意实数a，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．

14．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线方程；

(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

15．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2； (3)求△F1MF2的面积．

16．已知直线l过点P（1，1）， 并与直线l1：x－y+3=0和l2：2x+y－6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分，求： （1）直线l的方程；

（2）以O为圆心且被l截得的弦长为

17．已知点A的坐标为(?4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，求： （1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；… （2）直线l关于点A的对称直线l?的方程．

222218．已知圆C1:(x?4)?y?1，圆C2:x?(y?2)?1，动点P到圆C1,C2上点的距离

855的圆的方程．

的最小值相等.】 （1）求点P的轨迹方程；

（2）点P的轨迹上是否存在点Q，使得点Q到点A(?22,0)的距离减去点Q到点

B(22,0)的距离的差为4，如果存在求出Q点坐标，如果不存在说明理由.

19．已知椭圆

C1、抛物线

C2的焦点均在x轴上，

C1的中心和

C2的顶点均为原点O，从每

条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x y 3 ?2 4 2 22 ?23 0 ?4 （1）求

C1、C2的标准方程；

C2（2）请问是否存在直线l满足条件：①过

的焦点F；②与

C1交不同两点M、N,且满足

?????????OM?ON？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

yx20．已知椭圆C：2+2＝1?a＞b＞0?的离心率为6，过右顶点

3ab22A的直线l与椭圆C相交于

A、B两点，且B(?1，?3).

（1）求椭圆C和直线l的方程；

（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线

x?2mx?y?4y?m?4?0与

222D有公共点，试求实数m的最小值．

2012届高三理科数学小综合专题练习——解析几何

参考答案

一、选择题 1—5 CBAAA 二、填空题

?13 9.(?1,1),(1,1) 10. ①，③，⑤

6．x-y+1=0 7. 31 8. 三、解答题

5＋x3＋y

11.解：(1)设点C(x，y)，由题意得＝0，＝0，

22

得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3)．

5?y－0x－1?(2)点M的坐标是0，－，点N的坐标是(1,0)，直线MN的方程是＝，

?2?50－1

－－02即5x－2y－5＝0.

12. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可．

4－2

因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．由kAB＝＝－1，AB的中点为

1－3(2,3)，

故AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2， 即x－y＋1＝0.又圆心在直线y＝0上， 因此圆心坐标是方程组

??x－y＋1＝0?

?y＝0?

的解，即圆心坐标为(－1,0)．

半径r＝－1－12＋0－42＝20，

所以得所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20.

因为M1到圆心C(－1,0)的距离为2＋12＋3－02＝18，

|M1C|20，所以M2在圆C外．

22

?x＋y－20＝0，?22

13. 解：(1)将圆的方程整理为(x＋y－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，令?

?－4x＋2y＋20＝0?

2

2

??x＝4，可得?

?y＝－2，?

所以该圆恒过定点(4，－2)．

(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20 ＝5(a－2)2，所以圆心为(2a，a)，半径为5|a－2|. 若两圆外切，则2a－02

＋a－02

＝2＋5|a－2|， 5. 5

即5|a|＝2＋5|a－2|，由此解得a＝1＋若两圆内切，则＝1－

2a2

＋a2＝|2－5|a－2||，即5|a|＝|2－5|a－2||，由此解得a

55或a＝1＋(舍去)． 55

55

或a＝1＋. 55

综上所述，两圆相切时，a＝1－

p

14. 解：(1)抛物线y2＝2px的准线x＝－，

2p

于是，4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.

2(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)． 43

又∵F(1,0)，∴kFA＝.又MN⊥FA，∴kMN＝－，

344

则FA的方程为y＝(x－1)，

33

MN的方程为y－2＝－x，

4

(y?2??34x,)(x?8545.,)解方程组

y?43得

y?∴N(,).

5584(x?1),c

15. 解：(1)由e＝2?＝2?c2＝2a2?a2＝b2.

a设双曲线方程为x2－y2＝λ， 将点(4，－10)代入得：λ＝6， 故所求双曲线方程为x2－y2＝6. (2)∵c＝12，∴焦点坐标为(±23，0) 将M(3，m)代入x2－y2＝6得：m2＝3. →

当m＝3时，MF1＝(－23－3，－3)， →

MF2＝(23－3，－3) 2

→→

∴MF1·MF2＝(－3)2－(23)2＋(－3)2＝0， ∴MF1⊥MF2，

当m＝－3时，同理可证MF1⊥MF2.

11

(3)S△F1MF2＝·|2c|·|m|＝·43·3＝6.

2216. 解：（1）依题意可设A(m,n)、B(2?m,2?n)，则

?m?n??3?m?n?3?0， ，解得m??1，n?2． ???2(2?m)?(2?n)?6?0?2m?n?0

即A(?1,2)，又l过点P(1,1)，易得AB方程为x?2y?3?0．

455 （2）设圆的半径为R，则R2?d2?(其中d为弦心距，)，d?235，可得R2?5，

故所求圆的方程为x2?y2?5．

17．解：（1）设点A′的坐标为（x′，y′）。

因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，而直线l的斜率是－3，所以kAA?′＝

13.

,所以y??4x??4?13又因为kAA?＝

y??4x??4．

x??4y??4,)，所以22再因为直线l的方程为3x＋y－2＝0，AA′的中点坐标是(3·x??42?y??42－2＝0 。

由①和②，解得x′＝2，y′＝6.所以A′点的坐标为(2，6) 。

（2）关于点A对称的两直线l与l?互相平行，于是可设l?的方程为3x＋y＋c＝0.

在直线l上任取一点M(0，2），其关于点A对称的点为M′（x′，y′），于是M′点在l?上，且MM′的中点为点A，由此得

x??02??4,y??22?4，即：x′＝－8，y′＝6.

于是有M′（－8，6）.因为M′点在l?上， 所以3?（－8）＋6＋c＝0，∴c＝18 。

故直线l?的方程为3x＋y＋18＝0

18．解：（1）设动点P的坐标为(x,y)，

圆C1的圆心C1坐标为(4,0)，圆C2的圆心C2坐标为(0,2)，因为动点P到圆C1,C2上的点距离最小值相等，所以|PC1|?|PC2|, 即

(x?4)?y?22x?(y?2)22，化简得y?2x?3，因此点P的轨迹方程是

y?2x?3。

（2）假设这样的Q点存在，

因为Q点到A(?22,0)点的距离减去Q点到B(22,0)点的距离的差为4， 所以Q点在以A(?22,0)和B(22,0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，

x2即Q点在曲线

4?y24?1(x?2)上， 又Q点在直线l:y?2x?3上， Q点的坐标

?y?2x?3?是方程组?x2y2的解，

??1??44消元得3x?12x?13?0，??12?4?3?13?0，方程组无解， 所以点P的轨迹上不存在满足条件的点Q.

y22219．解：（1）设抛物线

C2:y2?2px(p?0)，则有x2?2p(x?0)，据此验证4个点知

C:y（3，?23）、（4，?4）在抛物线上，易求2?4x

2 设

C2:C1x22：a?yb22?(a?b?0)，把点（?2，0）（2，2）代入得：

?4?1??a22??a?4??2?1?1?222?b?1?2b?a 解得?

x2∴

C1方程为4?y2?1

（2）法一：

假设存在这样的直线l过抛物线焦点F(1,0)，设直线l的方程为x?1?my,两交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)，

?x?1?my?2?x2?y?122?(m?4)y?2my?3?0, 4?x由消去，得y1?y2??2mm2 ∴

?4,y1y2??3m2?4 ①

2x1x2?(1?my1)(1?my2)?1?m(y1?y2)?my1y2?1?m??2mm?42

?????????OM?ON?m?2?3m?42?4?4m22

m?4 ② 由

，即

OM?ON?0，得x1x2?y1y2?0(*)

4?4m22将①②代入（*）式，得m?4??3m?42?0m??12

， 解得

所以假设成立，即存在直线l满足条件，且l的方程为：y?2x?2或y??2x?2 法二：容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；

C当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0)，设其方程为y?k(x?1)，与1的交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)

?x22??y?1?42222?y?k(x?1)(1?4k)x?8kx?4(k?1)?0y?由消掉，得 ，

于是

x1?x2?8k221?4k，

x1x2?24(k?1)1?4k22 ①

y1y2?k(x1?1)?k(x1?1)?k[x1x2?(x1?x2)?1]即

y1y2?k(24(k?1)1?4k22?8k221?4k?1)??3k221?4k????????? ②由OM?ON，即OM?ON?0，

得x1x2?y1y2?0(*)

4(k?1)k3??221?4k将①、②代入（*）式，得 1?4k22k??124?02k4，解得k??2所以存在直线

l满足条件，且l的方程为：y?2x?2或y??2x?2．

20．解:（1）由离心率e?ya2263，得xb22a?ba22?(?3)a2632，即a2?3b2. ①

(?1)bx222又点B(?1，?3)在椭圆C:22+?1上，即

+2?1. ② ?1.

解 ①②得a?12，b?4，故所求椭圆方程为

y12?4由A(2，0)，B(?1，?3)得直线l的方程为y?x?2.

（2）曲线x2?2mx?y2?4y?m2?4?0，即圆(x?m)2?(y?2)2?8，其圆心坐标为G(m，?2)，半径r?22，表示圆心在直线y??2上，半径为22的动圆.由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m?0的情形. 设?G与直线l相切于点T，则由|m?2?2|2?22，得m??4，

当m??4时，过点G(?4，?2)与直线l垂直的直线l?的方程为x?y?6?0，解方程组

?x?y?6?0，得T(?2，?4). ?x?y?2?0?因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为?1，2，所以切点T?D，由图可知当

?G过点B时，m取得最小值，即(?1?m)2?(?3?2)2?8，解得mmin??7?1.

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