浙江省宁波市慈溪市第七区域中考数学模拟试卷（含解析）

中考数学模拟试卷

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．﹣9的相反数是（ ） A．﹣ B．

C．﹣9 D．9

2．下列运算正确的是（ ） A．

B．

C．a?a=a D．（﹣a）=a

2

4

8

3

2

6

3．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ） A．

B．

C．

D．

4．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．0.25×10﹣5

B．0.25×10﹣6

C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6

5．若一个多边形的每个外角都等于45°，则它的内角和等于（ ） A．720°

B．1040° C．1080° D．540°

6．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）

A．6cm B．4cm C．3cm D．8cm

7．如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是（ ）

A．11 B．8 C．7 D．6

8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）

1

A．6 B．7 C．8 D．9

9．一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（ ）

A．9环与8环 B．8环与9环 C．8环与8.5环 D．8.5环与9环

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=5，则边AC的长是（ ） A．3

B．4

C．

D．

11．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（ ）

A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2）

12．如图，对正方形纸片ABCD进行如下操作：

（1）过点D任作一条直线与BC边相交于点E1（如图①），记∠CDE1=α1；

2

（2）作∠ADE1的平分线交AB边于点E2（如图②），记∠ADE2=α2； （3）作∠CDE2的平分线交BC边于点E3（如图③），记∠CDE3=α3；

按此作法从操作（2）起重复以上步骤，得到α1，α2，…，αn，…，现有如下结论：①当α1=10°时，α2=40°；②2α4+α3=90°； ③当α5=30°时，△CDE9≌△ADE10；④当α1=45°时，BE2=

．

其中正确的个数为（ ） A．1

二、填空题（每小题4分，共24分） 13．若式子

在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．

B．2

C．3

D．4

14．一个等腰三角形两边的长分别为3和8，那么这个三角形的周长是 ． 15．如果圆锥的底面半径为2，母线长为6，那么这个圆锥的侧面积是 ．

16．从3、﹣1、﹣2三个数中任意选取一个作为直线y=kx+2中的k值，则所得的直线不经过第三象限的概率是 ．

17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABOC的对角线交于点M，双曲线y=（x＜0）经过点B、M．若平行四边形ABOC的面积为12，则k= ．

18．如图，AB是⊙O的直径，AC是切⊙O于A的切线，BC交⊙O于点D，E是劣弧连接AE交BC于点F，若cosC=，AC=6，则BF的长为 ．

的中点，

三、解答题（本大题有8小题，共78分）

3

19．解方程： =．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．

（1）按下列要求作图：

①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1； ②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2． （2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．

21．随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（如图1），并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：

4

（1）求出本次接受调查的总人数，并将条形统计图补充完整； （2）表示观点B的扇形的圆心角度数为 度；

（3）2016年底慈溪人口总数约为200万（含外来务工人员），请根据图中信息，估计慈溪市民认同观点D的人数． 22．如图所示，在⊙O中，（1）求证：AC=AB?AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

2

=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．

23．按照有关规定：距高铁轨道 200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．

如图是一个小区平面示意图，矩形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C、D是直线MN上的两点，点C、A、B在一直线上，且DA⊥CA，∠ACD=30°．小王看中了①号楼A单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：

（1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由； （2）若一列长度为228米的高铁以252千米/小时的速度通过时，则A单元用户受到影响时间有多长？ （温馨提示：

≈1.4，

≈1.7，

≈6.1）

24．我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．今年文学书和科

5

普书的单价与去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？

25．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；

（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）

（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F

求证：①E、F是线段BD的勾股分割点； ②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．

26．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax+bx﹣3交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D （1）①求抛物线的解析式；②求sin∠ACP的值 （2）设点P的横坐标为m

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，求出当这两个三角形面积之比为9：10时的m值；

③是否存在适合的m值，使△PCD与△PBD相似？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由．

2

6

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．﹣9的相反数是（ ） A．﹣ B．

C．﹣9 D．9

【考点】14：相反数．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答． 【解答】解：﹣9的相反数是9． 故选D．

2．下列运算正确的是（ ） A．

B．

C．a2?a4=a8 D．（﹣a3）2=a6

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；2C：实数的运算；46：同底数幂的乘法．

【分析】利用二次根式的化简、二次根式的加法运算、同底数幂的乘法以及幂的乘方的知识，分别求解各项，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：A、B、2+

=2，故本选项错误；

不能合并，故本选项错误；

C、a2?a4=a6，故本选项错误； D、（﹣a）=a，故本选项正确． 故选D．

3．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）

3

2

6

7

A． B． C． D．

【考点】P3：轴对称图形．

【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选B．

4．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．0.25×10﹣5

B．0.25×10﹣6

C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6

【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6； 故选：D．

5．若一个多边形的每个外角都等于45°，则它的内角和等于（ ） A．720°

B．1040° C．1080° D．540°

【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以先求出多边形的边数．再根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°求出多边形的内角和． 【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于45°， ∴多边形的边数为360°÷45°=8，

∴这个多边形的内角和=180°×（8﹣2）=1080°． 故选：C．

8

6．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）

A．6cm B．4cm C．3cm D．8cm

【考点】MJ：圆与圆的位置关系；MC：切线的性质．

【分析】首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，由垂径定理可得AB=2AC，然后由勾股定理求得AC的长，继而可求得AB的长． 【解答】解：如图，连接OC，AO， ∵大圆的一条弦AB与小圆相切， ∴OC⊥AB， ∴AC=BC=AB， ∵OA=5cm，OC=4cm， 在Rt△AOC中，AC=∴AB=2AC=6（cm）． 故选A．

=3cm，

7．如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是（ ）

A．11 B．8 C．7 D．6

【考点】U2：简单组合体的三视图．

9

【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，从前面看的到的视图是主视图，再根据面积求出面积的和即可．

【解答】解：该几何体的主视图的面积为1×1×4=4，左视图的面积是1×1×3=3， 所以该几何体的主视图和左视图的面积之和是3+4=7， 故选：C．

8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；JA：平行线的性质．

【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论． 【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MN∥BC，

∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN， ∴BM=ME，EN=CN， ∴MN=ME+EN， 即MN=BM+CN． ∵BM+CN=9 ∴MN=9， 故选：D．

9．一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（ ）

10

A．9环与8环 B．8环与9环 C．8环与8.5环 D．8.5环与9环

【考点】W5：众数；V8：频数（率）分布直方图；W4：中位数．

【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数；根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数即可．

【解答】解：根据统计图可得： 8出现了3次，出现的次数最多， 则众数是8； ∵共有8个数，

∴中位数是第4和5个数的平均数， ∴中位数是（8+9）÷2=8.5； 故选C．

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=5，则边AC的长是（ ） A．3

B．4

C．

D．

【考点】T7：解直角三角形．

【分析】根据题意，利用锐角三角函数可以求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∴sinA=∵AB=5， ∴BC=∴AC=故选D．

11

，

，

，

11．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（ ）

A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2）

【考点】S7：相似三角形的性质；D5：坐标与图形性质．

【分析】根据相似三角形对应边成比例求出CB、AC的关系，从而得到

=，过点C作CD

⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD、BD，再求出OD，最后写出点C的坐标即可． 【解答】解：∵A（﹣4，0），B（0，2）， ∴OA=4，OB=2， ∵△COB∽△CAO， ∴

=

=

==，

∴CO=2CB，AC=2CO， ∴AC=4CB， ∴

=，

过点C作CD⊥y轴于点D， ∵AO⊥y轴， ∴AO∥CD， ∴△AOB∽△CDB， ∴

=

=

=，

∴CD=AO=， BD=OB=， ∴OD=OB+BD=2+=，

12

∴点C的坐标为（，）． 故选B．

12．如图，对正方形纸片ABCD进行如下操作：

（1）过点D任作一条直线与BC边相交于点E1（如图①），记∠CDE1=α1； （2）作∠ADE1的平分线交AB边于点E2（如图②），记∠ADE2=α2； （3）作∠CDE2的平分线交BC边于点E3（如图③），记∠CDE3=α3；

按此作法从操作（2）起重复以上步骤，得到α1，α2，…，αn，…，现有如下结论：①当α1=10°时，α2=40°；②2α4+α3=90°； ③当α5=30°时，△CDE9≌△ADE10；④当α1=45°时，BE2=

．

其中正确的个数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质． 【分析】①根据角平分线的定义计算即可； ②根据题意、结合图形计算； ③根据全等三角形的判定定理证明；

④作E2F⊥BD于F，根据等腰直角三角形的性质得到BE2=AE2=FE2，等量代换即可． 【解答】解：①当a1=10°时，a2=

=40°，①正确；

FE2，根据角平分线的性质得到

13

②由图③可知，2a4+a3=90°，②正确； ③当a5=30°时，a9=30°，a10=30°， 在△CDE9和△ADE10中，

∵，

∴△CDE9≌△ADE10，③正确； ④当a1=45°时，点E1与点B重合， 作E2F⊥BD于F，

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD=45°， ∴BE2=

FE2，

∵DE2平分∠ADB，E2F⊥BD，∠A=90°， ∴AE2=FE2， ∴BE2=

AE2，④正确，

故选：D．

二、填空题（每小题4分，共24分） 13．若式子

在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥ ．【考点】72：二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得，3x﹣4≥0， 解得，x≥，

14

故答案为：x≥．

14．一个等腰三角形两边的长分别为3和8，那么这个三角形的周长是 19 ． 【考点】KH：等腰三角形的性质；K6：三角形三边关系．

【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和8，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：（1）若3为腰长，8为底边长， 由于3+3＜8，则三角形不存在；

（2）若8为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为8+8+3=19． 故答案为：19．

15．如果圆锥的底面半径为2，母线长为6，那么这个圆锥的侧面积是 12π ． 【考点】MP：圆锥的计算．

【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【解答】解：圆锥的侧面积=2π×2×6÷2=12π． 故答案为：12π．

16．从3、﹣1、﹣2三个数中任意选取一个作为直线y=kx+2中的k值，则所得的直线不经过第三象限的概率是

．

【考点】X4：概率公式；F7：一次函数图象与系数的关系．

【分析】由于y=kx+2，所以当直线不经过第三象限时k＜0，由于一共有3个数，其中小于0的数有2个，容易得出事件A的概率为．

【解答】解：∵y=kx+2，当直线不经过第三象限时k＜0， 其中3个数中小于0的数有2个，因此概率为， 故答案为：．

15

17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABOC的对角线交于点M，双曲线y=（x＜0）经过点B、M．若平行四边形ABOC的面积为12，则k= ﹣4 ．

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；L5：平行四边形的性质．

【分析】设M的坐标是（m，n），则mn=k，平行四边形ABOC中M是OA的中点，则A的坐标是：（2m，2n），B的纵坐标是2n，表示出B的横坐标，则可以得到AB即OC的长，然后根据平行四边形的面积公式即可求得k的值． 【解答】解：设M的坐标是（m，n），则mn=k， ∵平行四边形ABOC中M是OA的中点， ∴A的坐标是：（2m，2n），B的纵坐标是2n， 把y=2n代入y=得：x=∴AB=OC=∴（

，即B的横坐标是：

．

﹣2m，OC边上的高是2n，

﹣2m）?2n=12，

即k﹣4mn=12， ∴k﹣4k=12， 解得：k=﹣4． 故答案为﹣4．

18．如图，AB是⊙O的直径，AC是切⊙O于A的切线，BC交⊙O于点D，E是劣弧连接AE交BC于点F，若cosC=，AC=6，则BF的长为 3 ．

的中点，

16

【考点】MC：切线的性质；T7：解直角三角形．

【分析】连接AD，由圆周角定理可得△ACD是直角三角形，作FH⊥AB于H，如图，利用余弦定义，在Rt△ACD中可计算出CD=4，在Rt△ACB中可计算出BC=9，则BD=BC﹣CD=5，接着根据角平分线性质得FD=FH，于是设BF=x，则DF=FH=5﹣x，然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosC的值可求出，再利用比例性质可求出BF． 【解答】解：连接AD，作FH⊥AB于H，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴△ADC是直角三角形， 在Rt△ACD中，∵cosC==，

∴CD=×6=4，

∵AC是切⊙O于A的切线， ∴AC⊥AB，

∴△CAB是直角三角形 在Rt△ACB中，∵cosC==， ∴BC=×6=9， ∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5，

∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD， 而FD⊥AD，FH⊥AB， ∴FD=FH，

设BF=x，则DF=FH=5﹣x， ∵FH∥AC， ∴∠HFB=∠C，

在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC==，

∴

=，

解得x=3， 即BF的长为3． 故答案为：3．

17

三、解答题（本大题有8小题，共78分） 19．解方程：

=

．

【考点】B3：解分式方程．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8， 移项合并得：2x=4， 解得：x=2，

经检验x=2是增根，分式方程无解．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．

（1）按下列要求作图：

①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1； ②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2． （2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．

【考点】R8：作图﹣旋转变换；Q4：作图﹣平移变换．

【分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；

②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可； （2）根据弧长公式计算．

18

【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1为所作； ②如图，△A2B2C2为所作；

（2）点C1在旋转过程中所经过的路径长=

=2π．

21．随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（如图1），并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：

（1）求出本次接受调查的总人数，并将条形统计图补充完整； （2）表示观点B的扇形的圆心角度数为 36 度；

（3）2016年底慈溪人口总数约为200万（含外来务工人员），请根据图中信息，估计慈溪

19

市民认同观点D的人数．

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．

【分析】（1）根据A类观点人数除以A类所占的百分比，可得调查的人数；根据各类调查的人数等于总人数，可得C类别人数，补全条形统计图； （2）根据B类人数除以调查人数，再乘以360°，可得答案； （3）用样本中观点D的人数所占比例乘以慈溪人口总数可得结论． 【解答】解：（1）2300÷46%=5000（人），故人口总数为5000人． 观点C的人数：5000×26%=1300人， 补全图形如下：

（2）表示观点B的扇形的圆心角度数为360°×故答案为：36；

（3）200×

=36（万人），

=36°，

答：估计嘉善市民认同观点D的大约有36万人．

22．如图所示，在⊙O中，（1）求证：AC=AB?AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

2

=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．

20

∴∠HBE=90°，

在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2， ∵BH=DF，EF=HE， ∵EF2

=BE2

+DF2

，

∴E、F是线段BD的勾股分割点．

②证明：如图4中，连接FM，EN．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°， ∵∠MAN=45°，

∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN， ∴△AFE∽△DFN， ∴∠AEF=∠DNF， =

，

∴

=

，∵∠AFD=∠EFN，

∴△AFD∽△EFN， ∴∠DAF=∠FEN， ∵∠DAF+∠DNF=90°， ∴∠AEF+∠FEN=90°， ∴∠AEN=90°

∴△AEN是等腰直角三角形， 同理△AFM是等腰直角三角形；

∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴AM=

AF，AN=

AE，

∵S△AMN=AM?AN?sin45°，

26

S△AEF=AE?AF?sin45°，

∴==2，

∴S△AMN=2S△AEF．

26．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D （1）①求抛物线的解析式；②求sin∠ACP的值 （2）设点P的横坐标为m

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，求出当这两个三角形面积之比为9：10时的m值；

③是否存在适合的m值，使△PCD与△PBD相似？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）①由直线解析式可求得A、B两点的坐标，代入抛物线解析式可求得a、b的值，

27

则可求得抛物线解析式；

②过B作BE⊥x轴于点E，在Rt△ABE中可求得sin∠ABE，则可求得sin∠ACP； （2）①用m可表示出C点坐标，则可表示出PC的长，利用其正弦值可表示出PD的长，利用二次函数的性质可求得其最大值；

②作BM⊥PC，交PC的延长线于点M，作DN⊥PC于点N，则可用m表示DN和BM，由面积的比得到DC与BC的比，然后利用相似比可得到m的方程，可求得m的值；

③如图2，连接PB交x轴于Q，只有当DPC=∠DBP时，△DPC∽△DBP，于是可证明QA=QB，设Q（t，0），则QA=QB=t+2，EQ=4﹣t，利用勾股定理得到（4﹣t）2+32=t2，解得t=，则Q（

，0），再利用待定系数法求出直线BQ的解析式为y=

x﹣

，然后解方程组

得P点坐标，从而得到m的值．

【解答】解：（1）①当y=0时， x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0）， 当y=3时， x+1=3，解得x=4，则B（4，3），

把A（﹣2，0），B（4，3）代入y=ax2+bx﹣3得，解得，

∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣3；

②过B作BE⊥x轴于点E，如图1，AE=4﹣（﹣2）=6，AB=在Rt△ABE中，sin∠ABE=∵PC∥BE，

∴sin∠ACP=sin∠ABE=

（2）设P（m， m﹣m﹣3），则C（m， m+1），BM=4﹣m， ∴PC=m+1﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m+4， ∵sin∠ACP=

=

，

2

2

=3，

==，

；

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∴PD=﹣m2

+

m+=﹣（m﹣1）2

+

，

当m=1时，线段PD长的最大值为

；

②作BM⊥PC，交PC的延长线于点M，作DN⊥PC于点N，如图， ∵sinP=sin∠BAE==，

∴

=

， ∴DN=（

m2

+

m+）=﹣m2

+m+，

∵DN∥BM， ∴

=

，

∵线段PC把△PDB分成两个三角形的面积之比为9：10， ∴当

=

=

，即

=

，

整理得2m2﹣13m+20=0，解得m1=，m2=4（舍去）；

当==，即=，

整理得9m2﹣68m+128=0，解得m1=，m2=4（舍去）；

综上所述，m的值为或；

③存在．

如图2，连接PB交x轴于Q， ∵∠PDC=∠BDP，

∴当DPC=∠DBP时，△DPC∽△DBP， 而∠DPC=∠BAE， ∴∠BAE=∠ABP， ∴QA=QB，

设Q（t，0），则QA=QB=t+2，EQ=4﹣t，

在Rt△BQE中，（4﹣t）2+32=t2，解得t=，则Q（，0）， 设直线BQ的解析式为y=px+q，

29

把B（4，3），Q（，0）代入得，解得，

∴直线BQ的解析式为y=x﹣，

解方程组得或，

∴P（﹣，﹣），

∴m=﹣．

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