带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析

二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题

导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。

如吸收电荷等。总之，由看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变

化就会导致带电粒子的轨道半径变化。

（06年全国2）如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为

B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应

满足什么条件？

解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为和r2，有

r1＝

① r2＝ ②

分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至

y轴上离O点距离为2 r1的A点，接着沿半径为2 r2的半圆D1运动至y轴的O1点，O1O距

离

d＝2（r2－r1） ③

此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴），粒子y坐标就减小d。

设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点。若OOn即

nd满足 nd＝2r1 ④

则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点，式中n＝1，2，3，??为回旋次数。

由③④式解得

⑤ 由①②⑤式可得B1、B2应满足的条件

n＝1，2，3，??⑥

三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题

（07全国1）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，0a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0

解析：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为：

①

速度小的粒子将在x

的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a。

轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。

速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和在y轴上，有对称性可知

设t1为粒子在0

在x=2a直线上。

，C

由此解得： ② ③

由②③式和对称性可得

⑤

⑥ 所以 ⑦

即弧长AP为1/4圆周。因此，圆心

在x轴上。

设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角

可得

⑧

由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标

⑨

四、带电粒子在有界磁场中的极值问题

寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。

有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v0向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。

解析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv0/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1O2On。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O2作弦的垂线O2A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积；即R-πR/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R-πR/4）＝（π/2 -1）（mv0/Be）。

五、带电粒子在复合场中运动问题

复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。

（07四川）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴上的一点，它到座标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量

2

2

2

2

2

为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入大磁场区域，并再次通过A点。此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：

（1）粒子经过C点时速度的大小合方向； （2）磁感应强度的大小B。

解析：（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有

加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经

①

历的时间为t，则有

②

③ 由②③式得 ④

设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量 v1＝

⑤ 由①④⑤式得

v1＝

＝ ⑥

设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有tanα＝

⑦

由④⑤⑦式得

⑧

（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v圆周运动。若圆周的半径为R，则有

的

⑨

＝

⑩

＝

设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂且有R。用β表示

与y轴的夹角，由几何关系得

⑾ 由⑧⑩⑾式解得

R＝ ⑿

由⑥⑨⑿式得B＝

⒀

六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题

多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解，在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？

带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从A处沿半径射入场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n（不含返回A处并从A处射出的一次），由图可

磁

知其中n为大于或等于2的整数

时B＝0）；

（当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此

由图知粒子圆周运动的半径R，再由粒子在磁场中的运动半径

可求出

。

粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得

，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段

圆弧，故粒子运动的总时间为：，将前面B代入T后与共同代入前式

得。 练习

1．一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它运动的平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（AC ）

A．

B． C． D．

2．（07宁夏）在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿

垂直于半圆直径

AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。 ?如果粒子恰好从A点射出磁场，求入射粒子的速度。

3．（新题）如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）

4．一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。

5．如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？

3．

4．

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