2016年下学期九年级数学竞赛试题及答案

2016年下学期九年级数学竞赛试题

时量：120分钟 满分：120分

一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

m1．已知函数y??m?2?x2?10是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．?2

1 33．已知3是关于x的方程x﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）

A．7 B．10 C．11 D．10或11 4．若x1，x2是一元二次方程x﹣2x﹣1=0的两个根，则x1﹣x1+x2的值为（ ） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 2．如图1，反比例函数y?2

2

2的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的x C．5

D．8

面积为（ ）

A．2 B．4

图1 图2 图3

5．如图2，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则值为（ ）

A．

AB的BD42 5 B．

34 5 C．

52 8 D．

202 236．如图3，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A'的纵坐标是（ ）

A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4

9．要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出100条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼．假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（ ）

A．5000条 B．2500条 C．1750条 D．1250条

7．如图4，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=

3，则BC的长是（ ） 5 C．8cm

D．10cm

A．4cm B．6cm

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8．如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）

A．

3 3

B．2353 C． D．53 33

图4 图5 图6

2

10．如图6，已知二次函数y=ax+bx+（ca≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，

2

②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b＜0；其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）

11．把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm）与高h（cm）之间的函数关系式为____________________．

2

12．若关于x的一元二次方程kx+2（k+1）x+k﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是____________________．

13．如图7，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=那么EH的长为____________________．

2

2EH，3

图7 图8 图9 图10 14．规定sin（α﹣β）=sinα?cosβ﹣cosα?sinβ，则sin15°=____________________．

2

15．如图8，二次函数y=ax+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方

2

程ax+bx=0的根是____________________．

?=BC?上一点，且DF?，连接CF并延长交 16．如图9，四边形ABCD内接于⊙O，F是CDAD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为

__________________．

17．如图10，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为____________________．

18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x+5x+m﹣3m+2=0的一个根是0，则m的值是____________________．

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2

2

三．解答题（共6小题，满分58分）

19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）

的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为（4，2）． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点F的坐标．

kx

20．（9分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x﹣2mx+m+1=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．

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2

21．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F．

（1）求证：△ABC∽△FCD； （2）求证：FC=3EF．

22．（9分）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）

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23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．

2

?的中点，DE⊥AC于E，24．（10分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BCDF⊥AB于F．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若OF=4，求AC的长度．

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2016年下学期九年级数学竞赛试题参考答案

一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 B 5 A 6 B 7 B 8 A 9 C 10 C

二．填空题（共8小题，每小题4分，满分32分） 题号 答案 11 12 13 14 15 16 50° 17 18 2 16k≥?， s? 3h且k≠0 3 26?2x1=0， x2=2 442

三．解答题（共6小题，满分58分）

19．（10分）解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A，A点的坐标为（4，2）， ∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；

（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，

由题意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，∴点C的坐标为C（8，4）， 设OB=x，则BC=x，BN=8﹣x，在Rt△CNB中，x﹣（8﹣x）=4， 解得：x=5，∴点B的坐标为B（5，0），

设直线BC的函数表达式为y=ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），

2

2

2

∴，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣，

根据题意得方程组，解此方程组得：或

∵点F在第一象限，∴点F的坐标为F（6，）．

20．（9分）解：（1）∵△=b﹣4ac=（﹣2m）﹣4（m﹣1）（m+1）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由求根公式，得x=

，∴x1=

=

，x2=

=1；

2

2

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∵m为整数，且方程的两个根均为正整数， ∴x1=

=1+

，必为正整数，∴m﹣1=1或2，∴m=2或m=3．

21．（10分）（1）证明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACB， ∵∠B=∠ECB，∴△ABC∽△FCD； （2）∵△ABC∽△FCD，∴

，

∵D是BC边的中点，∴BC=2CD，∴AD=AC=2FD，

∵∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，∴∠EAD=∠ACE，∴△EAF∽△ECA， ∴

=，∴EC=2EA=4EF，∴FC=3EF．

22．（9分）解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线， 由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH， ∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，∵AB=32m，

∴AD=CD=AB?sin30°=16m，BD=AB?cos30°=16m， ∴BC=CD+BD=（16+16）m， 则BH=BC?sin30°=（8+8）m．

23．（10分）解：（1）∵抛物线y=x+bx+c经过点（﹣1，8）与点B（3，0）， ∴

2

2

2

解得：∴抛物线的解析式为：y=x﹣4x+3

2

（2）∵y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1，∴P（2，﹣1）

过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴叫直线BM于点N，如下图所示：

S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB=3×4﹣×2×4﹣即：△CPB的面积为3

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﹣=3

24．（10分）解：（1）DE与⊙O相切． 证明：连接OD、AD， ∵点D是

的中点，∴

=

，∴∠DAO=∠DAC，

∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE， ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切． （2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G， 由垂径定理可得：OH⊥BC，

=

=

，∴

=

，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，

∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线， ∴AC=2OH=8．

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