地裂缝曲率与弯曲度研究

二 ○ 一 ○届 毕 业 论 文

地裂缝曲率与弯曲度研究

学 院: 地质工程与测绘学院 专 业：地理信息系统专业 姓 名：王含琦 学 号：2605060114 指导教师：李斌 完成时间：2010.06.08

二〇一〇年六月

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摘 要

目前而言，地裂缝的危害已经越发严重，而国内定量研究地裂缝数据的资料却少之又少。若能够较为精确的描述地裂缝的空间形态，对地裂缝危害的防治和预防，将有重要意义。本文中对地裂缝进行了形态分析，地裂缝空间形态特指地裂缝的空间几何特征，地裂缝的空间几何特征可由长度、分数维、曲率和弯曲度等形态参数进行描述和概括。

本文主要从地裂缝曲线曲率和弯曲度的计算、解求入手，试图以定量分析的方法，来揭示地裂缝的空间几何特征。本文以西安地裂缝为例来探求地裂缝的曲率及弯曲度的计算方法。

本文的主要研究内容包括以下几个方面：1对地裂缝，地裂缝造成的危害和地裂缝的防治以及国际和国内对地裂缝的研究现状进行阐述；2曲率和弯曲度的理论原理；3运用ArcGIS和MATLAB进行地裂缝曲率和弯曲度的计算，并对其进行分析、总结，为进一步揭示地裂缝的空间几何形态提供基础。

关键字： 地裂缝，曲率，弯曲度

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ABSTRACT

Now, the ground fissures have been more serious harm, while internal data quantitative information on land but very few cracks.If able to crack a more precise description of the spatial structure of the ground fissure hazard control and prevention, there will be significant.This article on the morphologies of the ground cracks, ground fissures space form Tezhi to crack the space geometry, cracks can be the length of the space geometry, fractal dimension, curvature and the bending degree of morphological parameters described and summarized.

This paper from the ground cracks and bending curvature, the calculation, Solutions of starting, trying to quantitative analysis to reveal the geometry of space to crack.In this paper, ground fissures in Xi'an as an example to seek to crack the curvature and curvature calculation.

The main research includes the following aspects: 1-to-ground cracks, ground fissures and ground cracks harm prevention as well as international and domestic situation on the ground fissures were described research; 2 curvature and the curvature of the theoretical principles; 3 application ArcGIS and to crack MATLAB for the calculation of curvature and curvature, and analyze, summarize, in order to further reveal the cracks in the space to provide the basis for geometry.

Key words：Ground fissures,curvature

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第一章 绪论 .................................................................................................................... 1

1.1研究的大背景：中国大陆全面进入地震活跃期 ............................................... 1 1.2地裂缝的概念和形成原因 ................................................................................... 1

1.2.1地裂缝的定义 .............................................................................................. 1 1.2.2地裂缝的形成原因 ...................................................................................... 2 1.3 地裂缝的危害和防治 .......................................................................................... 2 1.4 对地裂缝曲率和弯曲度进行研究的必要性 ...................................................... 3 1.5 关于地裂缝研究的国内外现状 .......................................................................... 4 1.6 本文研究对象——西安地裂缝 .......................................................................... 4 第二章 曲率与弯曲计算理论计算模型 ........................................................................ 6

2.1 曲率计算 .............................................................................................................. 6 2.2 弯曲度计算 .......................................................................................................... 7 2.3 曲线插值与曲线光滑 .......................................................................................... 7

2.3.1 线性插值 ..................................................................................................... 8 2.3.2 分段三次多项式插值 ................................................................................. 8 2.4本章小结 ............................................................................................................. 12 第三章 计算方法设计 .................................................................................................. 13

3.1ArcGIS介绍 ......................................................................................................... 13 3.2计算对象的选择 ................................................................................................. 15 3.3地裂缝选点 ......................................................................................................... 15 3.4工具软件MATLAB简介 ................................................................................... 17 3.5使用MATLAB进行曲线拟合 ........................................................................... 18 3.6曲率计算 ............................................................................................................. 22 3.7AutoCAD软件简介 ............................................................................................. 23 3.8弯曲度计算 ......................................................................................................... 24 总结 .................................................................................................................................. 26 致谢 .................................................................................................................................. 27 参考文献 .......................................................................................................................... 28 附录(曲线拟合具体结果） ............................................................................................ 29

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第一章 绪论

1.1研究的大背景：中国大陆全面进入地震活跃期

随着我国大陆全面进入地震活跃期，地裂缝大量产生，地裂缝作为一种表生地质灾害现象，在世界许多国家都有发现，尤其在一些经济发达人口稠密的大中型的城市，其发生频率与灾情状况更是逐年加剧，对人类社会造成的危害日趋严重。尽快研究地裂缝的形态，已经是迫在眉睫，而且对地裂缝的研究也有了更进一步的要求。

1.2地裂缝的概念和形成原因

1.2.1地裂缝的定义

地裂缝是地表岩、土体在自然或人为因素作用下，产生开裂，并在地面形成一定长度和宽度的裂缝的一种地质现象，当这种现象发生在有人类活动的地区时，便可成为一种地质灾害。

图1 地裂缝

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1.2.2地裂缝的形成原因

地裂缝的形成原因复杂多样。地壳活动、水的作用和部分人类活动是导致地面开裂的主要原因。按地裂缝的成因，常将其分为如下几类：

地震裂缝 各种地震引起地面的强烈震动，均可产生这类裂缝。

基底断裂活动裂缝 由于基底断裂的长期蠕动，使岩体或土层逐渐开裂，并显露于地表。

隐伏裂隙开启裂缝 发育隐伏裂隙的土体，在地表水或地下水的冲刷、潜蚀作用下，裂隙中的物质被水带走，裂隙向上开启、贯通而成。

松散土体潜蚀裂缝 由于地表水或地下水的冲刷、潜蚀、软化和液化作用等，使松散土体中部分颗粒随水流失，土体开裂而成。

黄土湿陷裂缝 因黄土地层受地表水或地下水的浸湿，产生沉陷而成。 胀缩裂缝 由于气候的干、湿变化，使膨胀土或淤泥质软土产生胀缩变形发展而成。

地面沉陷裂缝 因各类地面塌陷或过量开采地下水、矿山地下采空引起地面沉降过程中的岩土体开裂而成。

滑坡裂缝 由于斜坡滑动造成地表开裂而成。

1.3 地裂缝的危害和防治

地裂缝发展阶段，其破坏能力是非常强大的，在地裂缝发展阶段，任何结构和加固的工程和建筑物，经过一段时间都会被拉断或剪断，无论新旧材料和上部构造，均无法幸免，只是时间长短的差异。地裂缝对建筑物的破坏以垂直沉降和水平拉张破裂为主，兼有方向上的扭动，除了地裂缝本身的扭动外，垂直差异沉降管道上转化的剪应力也非常大，可以直接剪断管道。位于地裂缝上面的各种建筑物均遭受了不同程度的变形和破坏，灾害损失非常严重，对城市规划、建设和工农业生产构成严重威胁。

地裂缝灾害沿着地裂缝呈带状分布，这个带可称为地裂缝灾害带，灾害带的宽窄实际上取决于地裂缝土体结构的破坏范围，地裂缝土体的变形破坏范围可以看作一个近似于无限延长的上宽下窄的楔形体。

长期的观测结果表明，地裂缝活动具有长期蠕动和单向位移累加的特征，这种蠕变不产生动力作用，但是等效于静力作用下的累加变形。尽管活动速率不很高，但是由于下部断层活动最终导致地表土体破裂，并通过应力传递、集中、释放等活动方式，对土体、地下工程和地表建筑物施加以拉张应力和剪切应力，破裂一经开始，建筑物的自重应力与构造应力联合作用，导致建筑物变形和破坏而酿成灾害。也就是说地裂

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缝成灾的力源来自地裂缝及下部的断层长期活动的构造应力（包括抽取地下水产生的附近应力）。在这个力源作用下，形成由地基土体-基础-建筑物上部结构自上而下的应力传递和释放的连续变形过程，且这种过程为单向位移累加，是一个不可逆的过程，建筑物无法抗拒这种程度的破坏，因为这样其破坏不同于建筑物荷载附加于地基的破坏效应。

地裂缝防灾减灾是一项庞大的系统工程，除工程措施外，政府的行为和决策，人们对地裂缝灾害的认识等具有重要影响。加之目前地裂缝成因、地裂缝防灾工程措施等问题还有待进一步研究，因此任务非常艰巨。

地裂缝是我国汾渭盆地上广泛发育的一种地质灾害，它是一种典型的城市地质灾害，它的存在严重影响着人民生命财产安全和社会经济的发展。而西安地裂缝是在特定的环境下产生的，目前，在西安城区发现的地裂缝有14条，其延伸的总长度超过了100km，其覆盖的面积约为150 平方公里，这些裂缝分布与西安市的工厂、城区、民房，这些地裂缝使得建筑房屋遭到破坏、道路变形，给城市建设带来了一系列的灾害。

1.4 对地裂缝曲率和弯曲度进行研究的必要性

由于地壳构造活动的地裂缝对建筑物的破坏是不可抗拒的，因此防治工作应该以避让为主。建筑物安全距离是避让首先要解决的问题，而安全距离的确定又是一个相对复杂的地质环境问题，既涉及地裂缝的地质特征、地质构造背景、成因机理、灾害效应、地层、地形变和应力场等问题，又涉及城市规划、建筑物类型和经济效益问题。作为城市建筑与工程载体的地裂缝场地，如何保证其上的建筑物不被破坏，又能有效地利用宝贵的资源是地裂缝防灾需要研究的中心课题。

为了计算建筑物的安全距离，必须对地裂缝的形态有较为精确的了解，所以需要对地裂缝的进行相应的形态分析。从而从长度、曲率、弯曲度、分数维等多个方面对地裂缝进行定量描述，为计算建筑物的安全距离提供先决的条件和计算基础。在实际应用中，其中关于曲率的研究，可以大致判断出地裂缝的最大的弯曲程度，对地质方面分析地裂缝的地质特征、地质构造、地形变和应力场等有重要意义。而关于弯曲度研究，并不是主要用来描述地裂缝的弯曲程度，而是用来反映地裂缝的迂回程度，从而判断地裂缝的复杂程度，一个弯曲度较低的地裂缝和一个弯曲度较高的地裂缝在处理时使用的措施显然是不一样的，以后的走势也会有较大的不同。因此对地裂缝进行曲率和弯曲度的研究对实际工作中计算建筑物的安全距离，进行防灾治灾的意义是非常重大的，有必要进行较为详细的研究。

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1.5 关于地裂缝研究的国内外现状

古今中外对于地裂缝都有零星的记载，以我国为最早、最多。从史书地方志查出历史时期多次发生地裂缝，广及我国东部，以华北为最多。但因其分布稀疏分散，位移量甚微，损失很少。人们一直将它们视为一种局部的，随机而生的自然现象，从未引起重视。20世纪初美国西部由于地下水大多数处于不同程度的超采状态，最早在1927年亚利桑纳州皮卡桥发现地裂缝。至今已扩及加利福尼亚、内华达、德克萨斯、新墨西哥诸州。美国学者较早涉及地裂缝，在成因研究上有显著进展，但缺乏系统的研究。其它国家，如土耳其、泰国、利比亚等国的安纳托利亚、曼谷、萨里尔等处发现地裂缝，但对其研究程度不高。

近代我国地裂缝研究是伴随着地震预报开始的，通过对损失惨重的1966年3月邢台地震调查，人们发现地震是有前兆的，恰好于同年6月美国帕克费尔德5.3级地震前2周，在震中附近的圣安德列斯断层上出现了地裂缝，这一震前现象引起人们的重视，从此我国地震工作者开始将其作为震兆落实工作进行常规调查。1974-1975年华北观测到2万余起无震地裂事件，其后邯郸、西安、大同等城市相继出现地裂缝并迅速发展，造成建筑物损害、道路变形、管道破裂，进而又引起城市建设、地质等多个部门的关注，因各部门调查目的不同，所以成果内容分散孤立，不成系统。近年来有关专家得到国家自然科学基金资助，对我国部分地区地裂缝属性、分布、活动特征、成因和成灾机制，灾害效应与对策进行了长达20年的系统研究，发现我国因地裂缝的损失已近百亿元，其已构成一个独立的灾种，综合多年的研究成果可以建立系统的地裂缝灾害理论，从而使我国地裂缝研究居国际领先位置。

1.6 本文研究对象——西安地裂缝

西安地裂缝作为一种独特的地质现象，曾引起国内外诸多专家学者的关注，并于20世纪70～80年代进行过多方面综合研究，取得了一批重要的研究成果。经过多年的研究，专家一致认为西安市地裂缝是黄土塬地区一种特殊的环境地质灾害，它属于典型的多因迭加地裂缝，既有构造地裂缝的基本特征，又有地面沉降地裂缝的位移迭加。此类地裂缝在中国西北、华北地区的一些城市都有存在，尤以西安市最为严重，给城市建设工程造成了数亿元的直接损失。从20世纪60年代起，地质工作者对西安地裂缝的分布、产生原因以及活动规律、特点进行了数十年的监测和研究，取得了很多重要成果。2006年修订了《西安地裂缝场地勘察与工程设计规程》(DBJ 61—6—2006)Ll 0。，制定了工程结构具体的避让规定。但是市政工程不同于工业民用建筑。

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常常无法避让。如道路与桥梁、给水、给气等往往属于生命线工程，它们的破坏会立即给市民生活带来困难，甚至导致整个城市正常秩序陷入瘫痪。特别是近年来修建了大量的城市立交，这些立交的正常运营正天天受到地裂缝运动的影响。然而多年来，面对地裂缝对市政工程的破坏，市政部门只能被动地应付，破坏一处，检修一处，治标不治本。随着科学技术的高速发展和西安城市建设可持续发展的需要，改以往的被动处理为主动解决就成为一个亟待解决的重要任务。

目前，西安地铁属于西安市“十一五”规划的重点工程，正在建的西安地铁二号线是西安市轨道交通规划中的一条重要的南北干线，它一共穿越10条地裂缝和2条次级裂缝，而在这些地段，如果处理不当，将会对西安地铁造成灾害性的损失。所以我们应当研究地裂缝和地铁的相互影响，以减少损失。

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第二章 曲率与弯曲计算理论计算模型

本次研究对象为地裂缝，在实际应用中，认为地裂缝是无限深的，而且把它当作一个垂直与地表的曲面来处理，因此只要把地裂缝当作一条普通的平面曲线进行计算就能得出其曲率和弯曲度。

2.1 曲率计算

线状物体的曲率由数学分析定义为曲线切线方向角相对于弧长的转动率，设曲线的形式为y=f（x),则曲线上任意一点的曲率为：

K?y?? （2.1） 23/2(1?y?)对于参数形式x=x(t),y=y(t)(??t??)表示的曲线，其上任意一点的曲率的计算式为：

k?x?y???x??y? （2.2） 223/2??(x?y)根据（2.1）式和（2.2）式计算曲线的曲率的前提是曲线必须是连续光滑的（二阶导数存在），对于多项式曲线，显然必须是二次以上的光滑曲线。

对于以离散点表示的线状物体，必须先进行光滑插值，然后方可按照（2.1）式和（2.2）式计算。

曲率反应曲线的局部弯曲特征，为了反映曲线的整体弯曲特征，应该计算曲线的平均曲率，根据对弧长的曲线积分的定义，光滑曲线L的平均曲率可以按照如下公式进行计算：

k???LKds （2.3） ?Lds对于以参数形式表示的曲线，则（2.3）式可以转写为：

???(x2?y2)1/2dtk??2 （2.4） 21/2??(x?y)dt事实上，即时x(t)，y(t)是简单的二次多项式形式，（2.4）式的计算也是相当复杂的，一个简单的办法就是将[?,?] n等分，得到：

??t0,t1,......,tn??

进而根据(2.1)式。在各个分段上选取某一点计算曲率，得到：

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K1,K2,......,Kn 则：

1nK??Ki (2.5)

ni?1?平均曲率反映了曲线的总的弯曲程度。

曲率的应用并不仅限于抽象地描述曲线的弯曲程度，有时具有工程意义，例如在本例子中，通过计算地裂缝的弯曲程度，可以对西安地铁的建设有指导意义，具有直接的应用。

2.2 弯曲度计算

弯曲度是描述曲线弯曲程度的另一个参数，它定义为曲线长度与曲线两端点定义的线段长度之比值。如下图所示：

S?L/l

图2 弯曲度概念

抽象地考察线状物体的弯曲度是没有意义的，因为它直接受曲线端点间的直线距离的影响，在实际应用中，弯曲度S并不主要用来描述线状物体的弯曲程度，而是反应曲线的迂回特性，在交通运输中，这种迂回特性无疑将加大运输成本，降低运输效率，且提高运输系统的维护难度。在一个交通网络中，结点对之间通道（曲线）的弯曲度越小越好，弯曲度的大小可以衡量交通的便利性。在本例子中，弯曲度较低的地裂缝比较直，显然比较容易延伸，而弯曲度较高的地裂缝则容易发生塌陷和扭曲。

2.3 曲线插值与曲线光滑

曲线插值是为了确定离散点之外的曲线的位置，以保证能更详细地描述曲线。很多情况下曲线插值是线状物体图形输出的需要，即为了视觉上的逼真和美观，通常要求所输出的曲线是“光滑”的，因此曲线的光滑通常都是与曲线插值放在一起讨论的。曲线插值的要求是要根据线状物体的离散点来确定出一条连续曲线，该曲线必须通过

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已知的离散点。曲线光滑是所生成的曲线不但是连续的，而且至少其一阶导数、甚至高阶导数也必须是连续的。

曲线插值的基本条件是，已知n个离散点p1,p2,......pn，其坐标为：

(X1,Y1),(X2,Y2),......(Xn,Yn)

2.3.1 线性插值

线性插值就是在离散点的相邻两点间，用直线方程可表示为：

P(?)?Pi(1??)?Pi?1?（i?1,2,.......,n?1）

显然0???1。当??0时，P(0)=Pi；当??1时，P(1)?Pi?1。?从0变化到1， P(?)从Pi沿直线趋于Pi?1。线性插值计算简单，并能保证曲线的连续性，是GIS中使用得最多的曲线插值方法。支持线性插值的根据有两点“一是在线状物体的抽样中，绝大多数情况下是抽取曲线上的特征点，两相邻抽样点之间的曲线段总是近似于直线，与直线的偏差小于给定的值（精度阈值）；二是当两点之间曲线的变化情况未知时，以直线来表示比其他任何曲线更为可靠，因为直线可以认为是一切曲线的“均值”。线性插值的明显缺陷是曲线以折线表示，不光滑，视觉效果差。

对n个离散点，原则上可以用n-1次多项式来生成一条光滑曲线，并保证曲线能通过每一个离散点，但是由于计算复杂，结果不稳定，这种方法在空间分析中实际上基本不用。

2.3.2 分段三次多项式插值

1.四值型点插值方法

对离散点序列中的相邻两点（Xi,Yi),(Xi?1,Yi?1)之间的曲线，可以用一个三次多项式表示：

Y?C0?C1X?C2X2?C3X3 (2.6) 求解（2.6）式中的系数Ci?(i?0,1,2,3)需要四个已知条件，除了一直（Xi,Yi),(Xi?1,Yi?1)外，仍需两个已知条件。考虑到曲线的光滑要求，必须保证

(Xi?1,Yi?1)到(Xi,Yi)和(Xi,Yi)到(Xi?1,Yi?1)这两个区间上的曲线在(Xi,Yi)点处具有相

等的一阶导数，因此一个自然的想法就是，人为地设定各已知离散点(Xi,Yi)上的导数Yi?，这样我们就有了四个已知条件：

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?Yi?C0?C1Xi?C2Xi2?C3Xi3??2??Yi?C1?2C2Xi?3C3Xi?23 (2.7)Y?C?CX?CX?CX?i?101i?12i?13i?1??2?Y?C?2CX?3CX12i?13i?1?i?1可以很方便的解得系数C0,C1,C2,C3。

?确定已知点处的曲线导数Yi的方法较多，比较简单的方法就是令：

?Y?YYi?i?1i?1?tan? (2.8)

Xi?1?Xi?1?(2.8)式的优点是计算极为简单，缺点是Yi的取值显得比较粗糙且与当前点

(Xi,Yi)无关。但是考虑到(Xi,Yi)是(Xi?1,Yi?1)与(Xi?1,Yi?1)之间位移的曲线特征点。

（如有其他特征点应予以采集），那么在事实上这样做亦是可行的。但是该方法仅适

?用于单值曲线的情况，对于多值曲线，由于可能会有??90。的情况出现，而使得Yi的计算取值出现问题。

对于开曲线的情况，曲线端点的导数可以用于其与相邻点的坐标差值来确定。 为了方便地绘制多值曲线（线状物体多表现为多值曲线），(2.6)式可以用参数形式表示为：

23??X?a0?a1??a2??a3??X(?) (2.9) ?23??Y?b0?b1??b2??b3??Y(?)令0???1，则：

X(0)?XiX(1)?Xi?1Y(0)?YiY(1)?Yi?1

相应地,

Xi?1?Xi?1?dx??d?221/2??X?X?(Y?Y)x?xi?i?1i?1i?1i?1 (2.10) ?Yi?1?Yi?1?dy?221/2?d?y?yi??X?X?(Y?Y)i?1i?1i?1i?1?????我们可以得到类似于与(2.10)的两组线性方程组，从而方便地解出曲线系数。 五点光滑法

五点光滑方法是对“四值型点插值法”中当前点导数的解算方法的一种改善，当 共 30 页 第 9 页

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前点的一阶导数由相邻五点求出的中间点导数而求出。

该方法中假设平面曲线上的五个相邻数据段为，1，2，3，4，5，并设线段，12，23，34，45的斜率分别为k1,k2,k3,k4且有：

Ki?Yi?1?Yi (2.11)

Xi?1?Xi于是当曲线为单值曲线时，对当前点3的斜率t3，可以用对上述四个相邻线段的的斜率的加权平均来求得：

t3?K4?K3K2?K2?K1K3K4?K3?K2?K1 (2.12)

此时若设经过两相邻点(Xi,Yi)和(Xi?1,Yi?1)的三次多项式曲线为：

Y?a0?a1(X?Xi)?a2(X?Xi)2?a3(X?Xi)3 (2.13) 则有已知条件：

X?XiY?Yi?dYY i?dXX?Xi?ti ?dYYi?1?X?Xi?1?ti?1dX可以解得：

?a0?Yi? (2.14) ?a1?ti?2?a2?(3Ki?2ti?ti?1)(Xi?1?Xi)将解得的系数带入(2.14)式，则经过两相邻点(Xi,Yi)和(Xi?1,Yi?1)的三次多项式曲线便可确定下来。

显然，对于开曲线的两个端点，要想用(2.12)式求得其斜率，就必须在端点以外加补两个点。补点可采用下述方法：

设待补点为(X4,Y4),(X5,Y5),它们与前三点应位于同一条抛物线上，这样才能保证补足点保持原曲线的基本定向。设该抛物线方程为：

Y?b0?b1(X?X3)?b2(X?X3)2 (2.15) 再设X5?X3?X4?X2?X3?X1,便可求得待补点坐标，并可解得补足后的线段的斜率满足下述关系：

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?K3?2K2?K1 (2.16) ??K4?2K3?K2而对多值曲线，对当前点需分别求出其在X和Y两方面的斜率： X方向：

cos?3?m0m?nm0m?n20202020

Y方向：

sin?3?式中，

(2.17)

m0?m2w2?m3w3n0?n2w2?n3w3于是可以得到：

w2?m1m3n4?m4n3w3?m4m1n2?m2n1而：

mi?xi?1?xini?yi?i?yi i?1,2,3,4

设经过两相邻点(Xi,Yi)和(Xi?1,Yi?1)的三次多项式光滑曲线由式(2.9)确定，式中

?为参数。当曲线从(Xi,Yi)到(Xi?1,Yi?1)时，?的值从0变化到1。即：

??0时，X?Xi，Y?Yi，dX ?rcos?i;d?dY?rsin?i;d???1时，X?Xi?1，Y?Yi?1dX?rcos?i?1;d?dY?rsin?i?1;d?r?

?Xi?1?Xi?2?(Yi?1?Yi)2

由此，则可求出式(2.9)式中的各项系数为：

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?a0?Xi?a?rcos?i?1?a2?3(Xi?1?Xi)?r(cos?i?1?2cos?i)??a3??2(Xi?1?Xi)?r(cos?i?1?cos?i)q0?Xi (2.19) ??b0?Yi?b1?rsin?i??b2?3(Yi?1?Yi)?r(sin?i?1?2sin?i)?b??2(Y?Y)?r(sin??sin?)i?1ii?1i?3曲线插值的方法很多，除了这里介绍的常用线性和三次多项式插值之外，还许多其它的插值方法，如二次多项式平均加权法、张力样条函数插值法等。在空间分析中，采用何种曲线插值方法所要考虑的主要因素是计算精度和计算速度。在满足对精度的要求前提下，总是希望编程能够尽量容易且能有尽量快的计算速度。例如，对分段三次多项式插值和张力样条函数插值这两种方法来说，有研究表明，前者的插值精度要比后者低约一倍，但计算速度却是要比后者高出至少三至四倍，因此在GIS和空间分析中，分段三次多项式插值是比计算复杂得多的样条函数插值更为广泛采用的一种插值方法，因此更加具有实用性。但是在工业产品的计算机辅助设计（CAD）中，样条函数由于其较高的计算精度而被经常采用。

2.4本章小结

本章对线性物体的形态分析的一些基础理论进行了简单地论述。 第一部分介绍了线性物体曲率的概念和基本的计算方法。

第二部分介绍了线性物体弯曲度的概念，公式和计算弯曲度的意义。

第三部分介绍了如何对曲线进行插值计算，分别介绍了线性插值、分段三次多项式插值的两种方法，即四值型点插值的方法和五点光滑方法。并且简单地介绍了在何时应该针对各种实际情况选择什么插值方法。

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第三章 计算方法设计

3.1ArcGIS介绍

ArcGIS是由ESRI出品的一个地理信息系统系列软件的名称，桌面版本主要包括ArcReader、ArcView、ArcEditor和ArcInfo。ArcGIS还有相应的服务器版本。

ArcGIS是基于一套由共享GIS组件组成的通用组件库实现的，这些组件被称为ArcObjectsTM。ArcObjects包含了大量的可编程组件，从细粒度的对象（例如，单个的几何对象）到粗粒度的对象（例如与现有ArcMap文档交互的地图对象）涉及面极广，这些对象为开发者集成了全面的GIS功能。每一个使用ArcObjects建成的ArcGIS产品都为开发者提供了一个应用开发的容器，包括桌面GIS（ArcGIS Desktop）以及服务端GIS（ArcGIS Server）。对于那些利用GIS信息进行编辑，设计的GIS专业人士来说，桌面GIS占有主导地位。GIS专业人士使用标准桌面作为工具来设计，共享，管理和发布地理信息。

ArcGIS Desktop是一个集成了众多高级GIS应用的软件套件，它包含了一套带有用户界面组件的Windows桌面应用（例如，ArcMap，ArcCatalogTM，ArcTooboxTM以及ArcGlobe）。ArcGIS Desktop具有三种功能级别――ArcView，ArcEditorTM和ArcInfoTM，都可以使用各自软件包中包含的ArcGIS Desktop开发包进行客户化和扩展。GIS用户通过部署一个集中式的GIS服务器在大型组织之内以及Internet的用户之间发布和共享地理信息。服务端的GIS软件适用于任何集中执行GIS计算，并计划扩展支持GIS数据管理和空间处理的场合。除了为客户端提供地图和数据服务，GIS服务器还在一个共享的中心服务器上支持GIS工作站的所有功能，包括制图，空间分析，复杂空间查询，高级数据编辑，分布式数据管理，批量空间处理，空间几何完整性规则的实施等等。ArcGIS服务器产品符合信息技术的标准规范，可以和其它企业级的软件完美的合作，例如Web服务器，数据库管理系统（DBMS）以及企业级的应用开发框架包括.NET和JAVA2企业级平台（J2EE）。这促使了GIS和其它大量的信息系统技术的整合。ArcGIS作为一个可伸缩的平台，无论是在桌面，在服务器，在野外还是通过Web，为个人用户也为群体用户提供GIS的功能。ArcGIS 9是一个建设完整GIS的软件集合。

ArcGIS 9所包含的三种服务端产品：ArcSDE――一个在多种关系型数据库管理系统中管理地理信息的高级空间数据服务器。ArcSDE是一个位于ArcGIS其它软件

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产品和关系型数据库之间的数据服务器，其广泛的应用使得在跨任何网络的多个用户群体中共享空间数据库以及在任意大小的数据级别中伸缩成为可能。

ArcIMS――是一个可伸缩的，通过开放的Internet协议进行GIS地图，数据和元数据发布的地图服务器。ArcIMS已经在成千上万的应用中部署了，主要是为Web上的用户提供数据分发服务和地图服务。

ArcGIS Server――是一个应用服务器，包含了一套在企业和Web框架上建设服务端GIS应用的共享GIS软件对象库。ArcGIS Server是一个新产品，用于构建集中式的企业GIS应用，基于SOAP的Web services和Web应用。GIS 将会利用 Internet 不断成长，并取得进一步的成功。

用户可以使用嵌入式的GIS，在所关注的应用中增加所选择的GIS组件，从而为组织的任何部门提供GIS的功能，这使得许多需要在日常工作中应用GIS作为一种工具的用户，可以通过简单的，集中于某些方面的界面来获取GIS的功能。例如，嵌入式的GIS应用帮助用户支持远程数据采集的工作，管理者的桌面上实现GIS，为系统操作人员实现定制界面，以及面向数据编辑的应用等。

ArcGIS Engine提供了一套应用于ArcGIS Desktop应用框架之外（例如制图对象作为ArcGIS Engine的一部分，而不是ArcMap的一部分）的嵌入式ArcGIS组件。使用ArcGIS Engine，开发者在C++，COM，.NET和Java环境中使用简单的接口获取任意GIS功能的组合来构建专门的GIS应用解决方案。

开发者通过ArcGIS Engine构建完整的客户化应用或者在现存的应用中（例如微软的Word或者Excel）嵌入GIS逻辑来部署定制的GIS应用，为多个用户分发面向GIS的解决方案。使用 ArcGIS Engine 将 GIS 嵌入到你的应用中。

空间数据库（ Geodatabase ）：作为geographic database的简写，Geodatabase是在专题图层和空间表达中组织GIS数据的核心地理信息模型。Geodatabase是一套获取和管理GIS数据的全面的应用逻辑和工具。无论是客户端的应用（如ArcGIS Desktop），服务器配置（如ArcGIS Server），还是嵌入式的定制开发（ArcGIS Engine）都可以获取Geodatabase的应用逻辑。Geodatabase是一个基于GIS和DBMS标准的物理数据存储库，可以应用于多用户访问，个人DBMS以及XML。Geodatabase原本被设计成一个开放的，简单几何图形的存储模型。Geodatabase对众多的存储机制开放，包括DBMS存储，文件型存储或者XML方法存储，并不局限于某个DBMS的供应商。

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3.2 计算对象的选择

通过相关的分析、比较，本文决定在地裂缝中，将选取那些明显曲率较大的部分，其他大部分类似直线的地方不做计算，因为较大曲率的部分计算比较明显。在本文的例子中，我将选择一条地裂缝，在他上面选取一个小段做一次曲率计算，来为其他地裂缝计算做一个示例。在这里使用这条明显有较大曲率的地裂缝。

图3 计算对象的选择

3.3地裂缝选点

在这条地裂缝中选择了如下的点

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图4 地裂缝上点的选择

如图中选择了如下的点。来模拟一条曲线。

这些点的坐标：

图5 点的坐标

这里使用多项式拟合的方法进行计算，为了避免计算太过复杂，只选择10个点，这里选择0号点至9号点的坐标进行计算。即：

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表1 点坐标

0号点1号点2号点3号点4号点5号点6号点7号点8号点9号点x589228.954589256.086589276.436589302.599589322.949589359.771589402.408589422.757589464.425589518.69y3796744.3523796779.2373796817.9983796847.0683796901.3333796944.9393796976.9173796999.2043797011.8013797029.244 3.4工具软件MATLAB简介

MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++ ，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。

MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作： ● 数值分析 ● 数值和符号计算 ● 工程与科学绘图 ● 控制系统的设计与仿真 ● 数字图像处理 ● 数字信号处理 ● 通讯系统设计与仿真

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● 财务与金融工程

MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用 MATLAB 函数集）扩展了 MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。

3.5使用MATLAB进行曲线拟合

接下来，将根据选择出来的点位数据，利用MATLAB软件进行曲线的拟合。具体的步骤如下所示：

首先建立两个相关的矩阵：a，b 并将他们赋值为：

a=[589228.954 589256.086 589276.436 589302.599 589322.949 589359.771 589402.408 589442.757 589464.425 589518.690]

b=[3796744.352 3796779.237 3796817.998 3796847.068 3796901.333 3796944.939 3796976.917 3796999.204 3797011.801 3797029.244]

图6 MATLAB数据输入

这里我们使用简单的傻瓜式工具Curve Fitting Tool来进行曲线拟合。首先打开这个工具。从开始菜单的工具箱目录，Curve Fitting目录下找到这个工具。

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图7 工具Cftool

3）然后出现了如下界面：

图8 Cftool界面

选择DATA把数据加载进去：

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图9选择数据集

在这里，我们只使用普通的数据集，我认为这本例子中，不必对数据集进行平滑计算，已避免失真。

4）之后使用fitting来对曲线进行拟合。

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图10 选择拟合方式

在MATLAB下我们进行四阶多项式至九阶多项式进行拟合，之后得到的拟合结果如下：表中因为系数比较多，所以使用P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9,P10来代替。

表2拟合结果

多项式方程四阶拟合平方和误差判定系数f(x) = p1*x^4 + p2*x^3 + p3*x^2 + p4*x + p5f(x) = p1*x^5 + p2*x^4 + p3*x^3 + p4*x^2 + p5*x + p6594.181560.993741051.094950.98894498.653950.994751639.414950.982757880.622950.9170954540.970950.42617五阶拟合f(x) = p1*x^6 + p2*x^5 + p3*x^4 + p4*x^3 + p5*x^2 + p6*x + p7f(x) = p1*x^7 + p2*x^6 + p3*x^5 + p4*x^4 + 七阶拟合p5*x^3 + p6*x^2 + p7*x + p8f(x) = p1*x^8 + p2*x^7 + p3*x^6 + p4*x^5 + 八阶拟合p5*x^4 + p6*x^3 + p7*x^2 + p8*x + p9f(x) = p1*x^9 + p2*x^8 + p3*x^7 + p4*x^6 + 九阶拟合p5*x^5 + p6*x^4 + p7*x^3 + p8*x^2 + p9*x + p10六阶拟合 共 30 页 第 21 页

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具体P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9，p10见附录。理论上讲，对于十个离散点，原则上用9次多项式，可以生成一条光滑曲线，并保证曲线可以通过每一个离散点。但是这里得到的结果却明显效果不好，原因主要是因为9次多项式计算复杂，结果不稳定，会有多个解，使得曲线产生了严重的震荡。表中的相关系数是指相关系数是变量之间相关程度的指标。样本相关系数用r表示,总体相关系数用ρ表示,相关系数的取值范围为[-1,1]。|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高；|r|值越接近0，Q越大，变量之间的线性相关程度越低。而平方和误差越小，方程拟合越接近。根据这一原则，选择六阶多项式方程作为曲线的拟合方程。

于是得出了曲线的拟合结果：

f(x)?f(x) = p1*x^6 + p2*x^5 + p3*x^4 + p4*x^3 + p5*x^2 +p6*x + p7

其中： p1 = 7.87e-020 (-3.299e-018, 3.457e-018) p2 = -7.901e-014 (-7.207e-012, 7.049e-012) p3 = -7.772e-008 (-4.601e-006, 4.445e-006) p4 = 0.1354 (-0.6191, 0.8899)

p5 = -5.817e+004 (-1.62e+006, 1.503e+006) p6 = 5.164e+009 (-6.007e+011, 6.11e+011) p7 = 1.133e+015 (-7.469e+016, 7.695e+016)

3.6曲率计算

我们使用MATLAB对曲率的公式进行编写，结果如下：

y = sym('p1*x^6 + p2*x^5 + p3*x^4 + p4*x^3 + p5*x^2 + p6*x + p7') k=abs(diff(y,'x',2))./((1+(diff(y,'x'))^2)^(3/2)) 可得结果：

k =abs(30*p1*x^4 + 20*p2*x^3 + 12*p3*x^2 + 6*p4*x + 2*p5)/((6*p1*x^5 +5*p2*x^4 + 4*p3*x^3 + 3*p4*x^2 + 2*p5*x + p6)^2 + 1)^(3/2)

之后将p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7的值带入后，得：

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图11 计算曲率数值

k=abs(0.000000000000000002361*x^4-0.0000000000015802*x^3-0.00000093264*x^2+0.8124*x-116340.0)/((0.00000000000039505*x^4-0.0000000000000000004722*x^5+0.00000031088*x^3-0.4062*x^2+116340.0*x-5164000000.0)^2+1)^(3/2)

即为计算出的曲率结果

3.7AutoCAD软件简介

AutoCAD是由美国Autodesk欧特克公司于二十世纪八十年代初为微机上应用CAD技术而开发的绘图程序软件包，经过不断的完善，现已经成为国际上广为流行的绘图工具AutoCAD具有良好的用户界面，通过交互菜单或命令行方式便可以进行各种操作。它的多文档设计环境，让非计算机专业人员也能很快地学会使用。在不断实践的过程中更好地掌握它的各种应用和开发技巧，从而不断提高工作效率。AutoCAD具有广泛的适应性，它可以在各种操作系统支持的微型计算机和工作站上运行，并支持分辨率由320×200到2048×1024的各种图形显示设备40多种，以及数字仪和鼠标器30多种，绘图仪和打印机数十种，这就为AutoCAD的普及创造了条件。

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3.8弯曲度计算

因为我的同学王旭已经计算出了地裂缝的长度，在此不再对地裂缝的长度计算进行叙述，直接使用王旭同学的结果：

表3地裂缝外推法计算结果 （单位：米） 地裂缝 尺度为64 尺度为512 直线外推法长 抛物线外推法长 F3 F4 F6 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F5-1 F6-1 F8-1 F9-1 17278.06 12531.77 21512.05 7083.03 12179.72 3226.67 3380.73 2751.12 3371.47 704.00 4581.28 1621.88 4305.71 17127.12 12316.95 21261.10 7010.69 12119.46 3172.15 3310.53 2745.69 3375.43 691.00 4515.23 1620.12 4268.22 17299.60 12562.55 21547.93 7093.36 12188.30 3234.46 3390.76 2751.90 3370.90 705.86 4590.72 1622.23 4311.07 17360.60 12649.30 21649.36 7122.59 12212.71 3256.49 3419.42 2754.09 3369.38 711.11 4617.40 1622.84 4326.21 接下来我将使用AutoCAD软件对地裂缝的起点和终点的连线长度进行计算。使用AutoCAD的直线绘制工具：

得到一条直线：

图12 连接起点和终点

之后右击此直线，选择特性。得到直线的这些数据：

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图13 直线数据

于是得到地裂缝两端点之间的直线长度为：9421.7327，即为公式中的l。 而公式中的L，按照王旭同学的成果，使用比较准确的抛物线外推法结果：17360.60。

于是就可以得到地裂缝的弯曲度：

S?L/l?17360.60/9421.7327?1.84255

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总结

这次撰写论文，我在查阅了大量的数据和资料的基础上，设计了一个对地裂缝的曲率进行计算的简单方法，以西安地裂缝数据为基础，使用ArcGIS软件和MATLAB 软件实现了这个算法。这次论文我做了如下的工作：

1）对地裂缝的一些基本概念和防治方法进行了归纳和汇总，并对为何要进行地裂缝的形态分析，即曲率、弯曲度、长度和分数维的计算做了一些简要的说明，并总结了国内外的地裂缝发展状况，分析了地裂缝研究的意义和前景。

2）利用ArcGIS选择了一条地裂缝中的一段中的几个点，取得了这几个点的具体坐标。

3）利用MATLAB进行了曲线拟合，通过比较每种拟合方法的不同，最终选择合适的拟合方案，并将曲率计算公式编写入MATLAB中，计算出了这个例子中曲线的具体曲率。

使用AutoCAD工具计算地裂缝两个端点的直线距离，并使用王旭同学算出的长度数据进行弯曲度计算。

通过这次毕业设计的实行，我收获了许多知识，对ArcGIS，MATLAB，AutoCAD等软件有了新的认识和了解，巩固了我四年来所学的知识，并且有了很多很多新的收货，构成了一个完整的知识体系。

由于本人水平有限，我觉得还需要进行如下改进：

1）只简单的应用了这三个软件，没有深入了解它们，它们的许多其他应用还没认识到。

2）ArcGIS选点不够精确，希望以后能有别的办法进行精确的选点。

3）MATLAB的曲线拟合研究不够深入，没有尝试多项式拟合以外的拟合方法。 总之，毕业设计过程中学到的知识和锻炼的能力为继续进行类似工作打下了一定的基础，也指明了需进一步完善的地方。希望以后能更进一步，勇攀高峰。

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致谢

转眼间，我已在长安大学度过了四个年头。四年，一段不短的时间，从零六年入学到一零年毕业，四年的光阴让我成长，让我从青涩走向成熟，四年的大学生活，让我的人生有了不同的轨迹。 毕业论文的每一个步骤，从选题，到研究，到成文，想起在图书馆、在网上查阅资料的时候， 想起大学入学初的样子，想起我的每一个老师...我有许多感触，是他们帮助了我，在这四年内使我没有虚度光阴，学会了许多知识。

特别地，我要感谢我这次毕业设计的指导老师，李斌教授。他治学严谨，为人亲和。开始做毕业设计的时候，他就说，我们并不一定是要你们学会许多东西，而是学会如何去做成一件事。我觉得我还是有些辜负老师的期望，这篇论文写的不是很好。不过在写论文的过程中，我一直遵循着老师的教诲，严谨认真的对待，把它当作一件重要的事。每当我懈怠的时候，就想起李老师在墙上贴的“今天的事今天办，能办的事马上办，困难的事想法办，重要的事及时办，复杂的事梳理办，限时的事抓紧办，琐碎的事抽空办，份外的事协助办，个人的事下班办，所有的事认真办。” 不自觉的又抓紧自己了，李老师说的很多话都影响了我。

另外，这篇文章写的过程中，在网上或图书馆看了很多书，有的书的作者没有标注，有的书我忘记了写，请这些作者见谅。真心地感谢你们。

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参考文献

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[3] 石玉玲，等. 西安市地裂缝对城市立交的破坏机理及防治措施.地球科学与环境学报.2009. [4] 郭仁忠. 空间分析.武汉测绘科技大学出版社.2000. [5] 同济大学数学系.高等数学.下. 高等教育出版社.2001.

[6] Gerald Recktenwald.数值方法与MATLAB实现与应用.机械工业出版社.2004. [7] 李永喜.西安地裂缝.1986.

[8] E103 DBJ 61—6—2006．西安地裂缝场地勘察与工程设计规程[s3]． [9] 马雪玲.AutoCAD从入门到精通.机械工业出版社.2009. [10]李斌，地裂缝空间分布及其特征分析，长安大学，2010

[11]张勤，利用GPS与INSAR研究西安现今地面沉降与地裂缝时空演化特征，地球物理学报，2009. [12]李新生,王 静,王万平,等.西安地铁二号线地裂缝特征、危害及对策[J].工程地质学

报,2007.

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长安大学。2007．

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[A]. In:InternationaI Symposium on Land Subsidence[c].3th Venice,Italy,1984.IANS Publication 151,1986. 816~829.

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lt as suggested by water level fluctuation in a well in Fremont valley,California[j].Journal of Geophysical Reserch, 1985,90(B2);1911~1924.

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附录(曲线拟合具体结果）

四阶拟合:

p1 = -2.359e-009 (-1.145e-007, 1.097e-007） p2 = 0.00556 (-0.2587, 0.2698)

p3 = -4915 (-2.385e+005, 2.287e+005) p4 = 1.93e+009 (-8.986e+010, 9.372e+010) p5 = -2.844e+014 (-1.381e+016, 1.324e+016) 五阶拟合:

p1 = 6.83e-014 (-1.185e-013, 2.551e-013) p2 = -1.183e-007 (-5.718e-007, 3.351e-007) p3 = 0.04173 (-0.5747, 0.6582)

p4 = 3.302e+004 (-4.615e+005, 5.275e+005) p5 = -2.671e+010 (-2.215e+011, 1.681e+011) p6 = 5.149e+015 (-2.41e+016, 3.44e+016) 六阶拟合:

p1 = 7.87e-020 (-3.299e-018, 3.457e-018) p2 = -7.901e-014 (-7.207e-012, 7.049e-012) p3 = -7.772e-008 (-4.601e-006, 4.445e-006) p4 = 0.1354 (-0.6191, 0.8899)

p5 = -5.817e+004 (-1.62e+006, 1.503e+006) p6 = 5.164e+009 (-6.007e+011, 6.11e+011) p7 =1.133e+015 (-7.469e+016, 7.695e+016) 七阶拟合:

p1 = 6.741e-026 (-3.534e-024, 3.669e-024) p2 = -5.892e-019 (-1.1e-017, 9.823e-018) p3 = 1.149e-012 (-1.547e-011, 1.777e-011) p4 = -8.636e-007 (-1.406e-005, 1.234e-005) p5 = 0.1744 (-4.74, 5.089)

p6 = 1.06e+005 (-1.803e+006, 2.015e+006) p7 = -6.076e+010 (-8.725e+011, 7.51e+011) p8 = 8.838e+015 (-1.152e+017, 1.329e+017) 八阶拟合:

p1 = 1.185e-030 (-1.23e-027, 1.233e-027) p2 = -2.915e-024 (-2.438e-021, 2.432e-021) p3 = 2.888e-018 (-1.851e-015, 1.857e-015)

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毕业设计（论文）报告纸

p4 = -1.434e-012 (-1.046e-009, 1.044e-009) p5 = 4.083e-007 (-0.0007115, 0.0007123) p6 = -0.2155 (-268.6, 268.2)

p7 = 2.011e+005 (-5.326e+007, 5.366e+007) p8 = -9.301e+010 (-5.46e+013, 5.441e+013) p9 = 1.55e+016 (-9.573e+018, 9.604e+018) 九阶拟合: p1 =2.922e-036 p2 = -3.132e-030 p3 = -2.151e-024 p4 =2.98e-018 p5 = 3.802e-014 p6 = -1.808e-007 p7 = -0.6342 p8 =3.177e+005 p9 = 7.478e+009 p10 = -1.702e+016

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