索洛模型：人均资本和资本产出比的收敛速度

k?sf(k)?(n?g?&)k说明k是k的函数，有k=k(k)

令n+g+&=λ，那么有k??????=k(k)= sf(k) – λk 【0】.

?已知k(k*)=0，其中k*是稳态的人均资本存量，此式表示当经济到达稳态时，人均资本存量不再增加。由此可知，在稳态时，sf(k*)-λ

k*=0,可得到k*/f(k*)=s/λ

（该式表明稳态下资本产出比恒定）或者s=λk*/f(k*) 【1】

对函数k(k)在稳态点k*附近进行一阶泰勒展开，得到一个一阶线性近似表达式：

?k-k(k*)?[?k(k?)/?k](k?k*),因为k(k*)?0，所以有k?[?k(k?)/?k](k?k*)【2】另外，把【0】两边对k求导得到?k(k)/?k?sf'(k)-?【3】当k?k*时，【3】变为?k(k*)/?k?sf'(k*)-?【4】将【1】代入到【4】中得，?k(k*)/?k??k*f'(k*)/f(k*)-?【5】其中，k*f'(k*)/f(k*)实际上是资本对产出贡献的份额因为生产函数形式为Y?(AL)1??K?,资本对产出贡献的份额为?所以??k*f'(k*)/f(k*)【6】所以【5】可化为?k(k*)/?k???-???（1-?）?【7】将【7】代入【2】得到k??(1??)?(k?k*)【8】令k(t)?k*?X(t),那么X(t)?dX(t)/dt?d[k(t)?k*]/dt?dk(t)/dt?dk*/dt?dk(t)/dt?0?dk(t)/dt?k(t)，即X(t)?k(t【)9】所以【8】可化为X(t)??(1??)?X(t),即X(t)/X(t)??(1??)?【10】t由【10】可得到X(t)?X(0)e?(1??)?【11】,其中X(0)?k(0)?k*?????????????????所以其实【11】就是k(t)?k*?[k(0)?k*]e?(1??)?t

进一步变形为k(t)?[k(0)?k*]e?(1??)?t?k*【12】，收敛于稳态人均资量本k存*。

它的经济学意义是t随的着变化，人均资本k存以量(1-?)(n?g?&)的速度等式【12】其实等价于蒋中一得到的式子k(t)1???s/??[k(0)?s/?]e?(1??)?t其中s/??(k*)1??是稳态时的资本产出比，蒋中一式子的经济学意义是资本产出比k1??以（-1-?）(n?g?&)的速度收敛到稳态资本产出比(k*)1??所以资本产出比k/y的收敛速度也可以用同样的式子来表示。

因为我们同样可以证明人均收入y的收敛速度和人均资本存量k*是一样的，

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