生活中数学最优化问题的研究

生活中数学最优化问题的研究

【关键词】 数学 生活 最优化

【内容提要】寻求最优化是人类的一种本能。无论是个人生活，还是国家的发展，在决策科学化，定量化的呼声日益高涨的今天，我们总是希望的用最优化的方法来解决我们面临的问题。生活中，数学无处不在，对最优化的要求越来越高，也越来越追求效率。

生活中处处充满着数学，处处留心皆数学。我们早晨起床刷牙用的牙膏，细心的人会发现，牙膏的包装有大有小。其价格也不相同，你想过大小包与其价格之间的关系吗？你吃东西时，想过营养成份的搭配吗？你在开灯关灯时，想过灯的位置与照明度问题吗？你在开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的问题吗？烈日下，你想过遮阳棚搭建方式与遮挡太阳光线有关吗？你在购买商品时，想过哪儿如何才能买到最便宜的吗？

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高、费用最少、路线最短、容积最大等问题，这些问题通常称为优化问题。现如今最优化问题备受关注,已渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各领域。对于上述问题，有些你也许想过，有些你也许从未想过。这些问题都与数学最优化问题有关！让我们发现并研究这些数学最优化问题吧！

解决最优化问题是一个发现、探索的过程，也是我们亲身感受问题、寻找解题策略，实现再创造以及体验数学价值的过程。在这个过程中，肯定我们的见解不全相同，就让我们彼此关心、合作探讨、互相评价、取得共识、达到群体算法多样化，获得探索成功的快乐吧。使不同的人在数学活动中得到不同的收获，让我们每个人都能有所发展、有所创新，提高创造思维水平高，丰富实践经验，增强探索能力。下面我就列举几个生活中数学最优化问题的例子吧。

一、商品价格最优化问题

在生活中，有许多生活必需品需要我们购买，就如我们英语老师要购买一台电磁炉，但如何才能买到最实惠的呢？于是我们开始为英语老师出谋划策，我们兵分几路，前往各大超市调查这件商品的价格。我们将收集的信息列成下表：

各大超市、市场电磁炉价目表：

商场、超市 万客隆 美的 宝林大厦 国美 价格（元） 479 498 498 512 从上表我们不难发现万客隆最便宜，如果只从价格方面考虑我们不难得出结论，老师在万客隆买最合算。

上述这个问题是一个很直接也很简单的数学最优化问题，我们收集信息——分析信息——得出结论，加以使用数学最为简单的加减运算，就为英语老师节省了一笔钱。

二、预算最优化问题

在研究过程中，我们不仅需要动脑，更需要调查行动。学习了长方体的表面积后，让我们

来测算一下粉刷教室的费用。

我们首先动手测定教室的粉刷面积，了解市场上涂料价格如何，需要多少涂料，粉刷的工钱如何计付，明确了这些因素以后我们就能对粉刷教室的费用做个初步的结算。

三、分期付款最优化问题

现在让我们来完成一道较为复杂的数学最优化问题，它与时下流行的分期付款的计算有关，为了更加迎合消费者的需要，开发商往往会提出几种销售方案供顾客选择，如何选最优

的，也是我们研究的关键所在。顾客购买一件售价为5000元的商品时，那在一年内将款全部付清的前提下，

商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择，何种方案最实惠。

分几次付清 付款方法 首期所付款额 付款总额 与一次性付款差额 1 3 次 购买后四个月

第次付款，每四个

月付一次款 1775.8元 5327元 327元

2 6次 购买后2个月第一

次付款，后两个月付 一次款，购买后12

个月第6次付款 880.8元 5285元 285元

3 12次 购买后一个月第一

次付款，每一个月

付一次款。 438.6元 5263元 263元

注 规定月利率为0.8％，每月利息按复利计算

方案一：设每期所付款额x元，那么到最后一次付款时付款合部本利和为 X*(1+1.008^4+1.008^8)元

另外，5000元商品在购买后12个月后的本利和为5000*1.008^12元。得 X*(1+1.008^4+1.008^8)＝5000*1.008^12 解得X＝1775.8元 方案2：

X*（1+1.008^2+1.008^4+??+1.008^10）=5000*1.008^12 X=880.8元 方案3：

X*（1+1.008+1.008^2+??+1.008^11）=5000*1.008^12

X＝438.6元

不难得出第三种方案时间既宽松而且更实惠。 四、成本最低化问题

一项工程或一个公司，除了追求效率最大化以外，另一个方面就是尽可能地降低成本， 这也是数学最优化问题在生活中的应用的一个体现。

如：一建筑工程队，需用3尺，4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，用10尺长的竹竿 来截取，至少要用去原材料几根？怎样最合算？ 针对上述问题，我们列出三种截法：

（1） 3尺两根和4尺一根，最省原材料，全部利用。 （2）3尺三根，余一尺。 （3）4尺两根，余两尺。

显然，为省材料，尽量使用方法（1），这样，50根原材料可截得100根，3尺的竹竿和50根4尺竹竿，还差50根4尺的竹竿最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需要25根即可，这样，至少需要用去原材料75根。

寻求优化是人类的一种本能，不仅是人类，整个大自然中都充斥着这一现象。像蜜蜂所造的蜂窝，更是省到家了，其结构的巧妙，能如此省材料更让人折服。在人们的日常生活中，优化的要求也比比皆是，消费时，如何花尽可能少的钱办尽可能多的事，出行时，如何走最短的路程到达目的地，等等。总而言之，在经济如此发展，竞争如此剧烈，资源日渐紧张的今天，人们做任何事，无不望求事半功倍之术，以求或提效、或增收、或节约等等。可见最优化在日常生活中远处不在，足以显示其重要性。

再如：

在我们的班级中有9位老师带领51位学生到桃源洞开展观光活动时，我们得一门票价格表：成人票12元/人，学生票6元/人，团体票（10人以上）每人9元，为求省钱，

我们几位同学进行了探讨，得出以下三种典型方案： （1）“普通”方案： 12×9+6×51=414（元） （师买成人票，生买我们票） （2）“奉献”方案：

9×（9+51）=540（元）或414+3×（51－9）=540（元） （购买团体票） （3）“创新”方案：

9×10+6×50=390（元）或414－3×（9－1）=390（元）

（师与一生买团体票，其余我们买我们票） 显然，创新方案更为实惠。

由上可见，生活中的优化问题与数学知识有着千丝万缕的联系。面对富有挑战性、开放性的现实问题，我们能够综合运用所学的数学知识亲身探索实践、合作交流得到创造性解决的方案。当我们用最优化的方法来解决实际问题的时候，就能够从中体会到探索成功的喜悦，同时也能激起我们对生活的最优化问题再探索的欲望。

【教师点评】

数学无处不在，现实生活中充满数学。本组同学能够把理论与实践相结合，将现实生活中的实际问题抽象、归纳并转化成数学问题来解决，这对学好数学和用好数学是一次很好地尝试和锻炼，必将对今后的学习产生较好的促进作用。在决策科学化，定量化的呼声日益高涨的今天，用最优化方法解决定量决策问题无疑是符合时代潮流和形势发展需要的。

用最优化方法解决决策问题包括两个基本步骤：首先，需要把实际决策问题翻译，表述成数学最优化形式，即用数学建模的方法建立决策问题的优化模型；其次，建立优化模型后，需要选择利用优化的方法和工具求解模型，优化建模方法自然具有一般数学建模的共同特性，但优化模型又是一类既重要又特殊的数学模型，因此，优化建模方法又具有一定的特殊性和专业性。该同学很好地将实际问题与数学知识联系在一起，处理的较好。

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