2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（广东 理）含答案

绝密★启用前 试卷类型：B

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室

号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，

再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)．

B)?P(A)?P(B)． 如果事件A、B相互独立，那么P(A???用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b?xy?nx?yiii?1nn??y?bx. ，a?xi?12i?nx2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项

是符合题目要求的。 1．已知函数f(x)?1的定义域为M，g(x)?ln(1?x)的定义域为，则M?N? 1?x A．{x |x>-1} B．{x|x＜1} C．{x|-1＜x＜1} D．? 2．若复数(1?bi)(2?i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b?

11 C. D．2 22123．若函数f(x)?sinx?(x?R)，则f(x)是

2 A．-2 B．? A．最小正周期为

?的奇函数 B. 最小正周期为?的奇函数 2数学（理科）试卷B 第 1 页 （共 16 页）

C．最小正周期为

?的偶函数 D. 最小正周期为?的偶函数 24．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是

5．已知数列{an}的前n项和Sn?n2?9n，第k项满足5?ak?8，则k? A．9 B．8 C. 7 D．6

6．图l是某县参加2007年高考的 学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为A1、A2、?、Am(如A2

表示身高(单位：cm)在[150， 155)内的学生人数)．图2是统计 图l中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计 身高在160～180cm(含

160cm，不含180cm)的学生人

数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A．i?9 B．i?8 C．i?7 D．i?6

7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图,公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在 相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 A．18 B．17 C．16 D．15

数学（理科）试卷B 第 2 页 （共 16 页）

8．设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“?”(即对任意的a,b?S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a?b与之对应).若对于a,b?S,有

a?(b?a)?b,则对任意的a,b?S,下列等式中不恒成立的是

A．(a?b)?a?a B．[a?(b?a)]?(a?b)?a C．(b?b)?b?b D．(a?b)?[b?(a?b)]?b

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分． 9.甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示)

a?a?b? ． 10. 若向量a、b满足|a|=|b|=1，a与b的夹角为120?，则a?11．在平面直角坐标系xoy中，有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线

y2?2px(p?0)则该抛物线的方程是 ．

12．如果一个凸多面体是n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的 直线共有 条.这些直线中共有f(n)对异面直线,则f(4)?

f(n)? (答案用数字或n的解析式表示)

图4?x?t?313．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为?(参

y?3?t?数t?R).圆C的参数方程为??x?2cos?(参数??[0,2?)),则圆C的圆心坐标为

?y?2sin??2圆心到直线l的距离为

14．(不等式选讲选做题)设函数f(x)?2x?1?x?3,则f(?2)? 若f(x)?5,则x的取值范围是

15．(几何证明选讲选做题)如图5所示，圆O的直径AB?6，C为 圆周上一点， BC?3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂 足为D，则?DAC? ,线段AE的长为

DECAOBl图5数学（理科）试卷B 第 3 页 （共 16 页）

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)

已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(，4)、B(0，0)、C(c，0)． (1) 若c?5，求sin∠A的值；

(2)若∠A是钝角, 求c的取值范围． 17．(本小题满分12分)

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生 产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据

x

3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

??a?； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y?bx (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性

回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3?2.5?4?3?5?4?6?4.5?66.5) 18． (本小题满分14分)

在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y?x相切于

x2y2?1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． 坐标原点O．椭圆2?a9 (1)求圆C的方程；

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 19．(本小题满分14分)

如图6所示,等腰?ABC的底边AB?66,高CD?3,点E是线段BD上异于B、D的 动点.点F在边BC上,且EF?AB.现沿EF将?BEF

折起到?PEF的位置，使PE?AE。记BE?x,

PV(x)表示四棱锥P?ACFE的体积

(1)求V(x)的表达式；

(2)当x为何值时，V(x)取得最大值？

(3) 当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF 所成角的余弦值.

DAEBCF图6数学（理科）试卷B 第 4 页 （共 16 页）

20．(本小题满分14分)

已知a是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a．如果函数y?f(x)在区间[?1,1]上有 零点，求a的取值范围． 21．(本小题满分l4分)

已知函数f(x)?x2?x?1，?、?是方程f(x)?0的两个根(???)，f?(x)是的导数

设a1?1，an?1?an?f(an)，(n?1,2,?). f?(an)(1)求?、?的值；

(2)已知对任意的正整数n有an??,记bn?ln项和Sn．

an??,(n?1,2,?).求数列{bn}的前nan??2007年普通高等学校全国招生统一考试 (广东卷)数学(理科B卷)参考答案（参考）

一、选择题 题号 1 2 3 4 答案 C A D B 二、填空题 19. 9110.

2511.x= -

4n(n?1)n(n?2)(n?1)12.，12，

2213.(0，2)，22 14.[ -1，1] 15.30°，3

三、解答题

????????16. 解：(1) AB?(?3,?4), AC?(c?3,?4) ????当c=5时，AC?(2,?4)

5 B 6 C 7 B 8 A 数学（理科）试卷B 第 5 页 （共 16 页）

?????????6?161 cos?A?cos?AC,AB???5?255进而sin?A?1?cos?A?225 5(2)若A为钝角，则

2

AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)<0 解得c>

25 325，+?) 3显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[17. 解： (1)如下图

76543210012产量

(2)

能耗345i?1?xiyi=3?2.5+4?3+5?4+6?4.5=66.5

nx=

3?4?5?6=4.5

42.5?3?4?4.5=3.5 y=

4n222i?1?xi=3+4+5+622=86

??66.5?4?4.5?3.5?66.5?63?0.7 b86?4?4.5286?81??3.5?0.7?4.5?0.35 ??Y?bXa故线性回归方程为y=0.7x+0.35

(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7?100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)

18. 解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直

数学（理科）试卷B 第 6 页 （共 16 页）

线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

m?n2=22

即m?n=4 ①

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m2+n2=8 ②

联立方程①和②组成方程组解得

?m??2 ??n?2故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

2

(2)a=5，∴a=25，则椭圆的方程为 x225+

y92=1

其焦距c=25?9=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。

124，y= 55412即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长。

5519. 解：(1)已知EF?AB,那么翻折后，显然有PE?EF,又PE?AE,从而PE?面ABC,即PE为

通过联立两圆的方程解得x=四棱锥的高。 四棱锥的底面积S=

S?ABC-S?BEF

2而△BEF与△BDC相似，那么

S?BEF则S=

=

(x36-

)S?BDC=(x362ABC=xS?ABC

)S?210822S?ABCx2S?ABC=（1-x）?1?66?3=96（1-x） 108210810822211故四棱锥的体积V(x)=SH=?96（1-x）??=36?（1-x）(0

33108108(2) V’(x)= 36-

62 x(0

当x∈(0，6)时，V’(x)>0,V(x)单调递增；x∈(6，36)时V’(x)><0,V(x)单调递减；因此x=6时，

数学（理科）试卷B 第 7 页 （共 16 页）

V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=126 (3)

1 73不在区间[-1，1]上。 220. 解：当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=

当a≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况： ①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时 ???4?8a(?3?a)?0 ?f(?1)f(1)?(a?5)(a?1)?0

????4?8a(?3?a)?0?或? 1?1???1?2a?解得1≤a≤5或a=

?3?7 2②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时

a?0a?0?????8a2?24???8a2?24a?4?0a?4?0????11?1???1?1???1 ? 或?

2a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????

解得a?5或a<

?3?7 2综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为

(-∞, ? 3 ? 7 ]∪[1, +∞)

2

21. 解： (1)解方程x2+x-1=0得x=

?1?5 2

2由?>β知?=(2) f’ (x)=2x+1

?1?5?1?5,β= 22anan?an?12an?12an?12an?1数学（理科）试卷B 第 8 页 （共 16 页）

= - = n?1

下面我们用数学归纳法来证明该结论成立 ①当n=1时，a1=1<

a?1?5=?成立， 2②假设n=k(k≥1, k∈N*)时，结论也成立，即ak

③那么当n=k+1时，

2?111111155ak??==-+<-+=+ak?12?12ak44(2a?1)244(2??1)22?=? akk

这就是说，当n=k+1时，结论也成立，故对于任意的正整数n，都有an

2 ?1an?1??= an?1??

an??2an?12an?1??2an?1=

an?2?an???1an?2?an???122=

an?2?an??an?2?an??2222??an=()

??an2

由题意知an>?,那么有an>β，于是对上式两边取对数得

??????aaan?1nnln=ln()=2 ln()

??????an?1anan2

?1?53?52即数列{bn}为首项为b1= ln()=2ln( )，公比为2的等比数列。 2?1?51?21?故其前n项和 n3?51?3?5Sn=2ln( ) =2ln( )(2n -1) 221?2

一、选择题（本题8小题，每题5分，满分40分）

2数学（理科）试卷B 第 9 页 （共 16 页）

1．已知函数f(x)?11?x （A）{x|x??1} （B）{x|x?1} （C）{x|?1?x?1} （D）?

的定义域为M，g(x)=ln(1?x)的定义域为N，则M∩N=

答案：C；

2．若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b= 11 (A) -2 (B) - (C) (D) 2

22答案：B； 解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2b+1=0，故选B； 13．若函数f(x)?sin2x?(x?R)，则f(x)是

2?的奇函数； （B）最小正周期为?的奇函数； 2 （C）最小正周期为2?的偶函数； （D）最小正周期为?的偶函数； 答案：D；

4．客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是 （A）最小正周期为

答案：C； 解析：

5．已知数列｛an｝的前n项和Sn?n2?9n，第k项满足５＜ak＜８，则k= （A）9 （B）8 （C）7 （D）6 答案：B；

解析：此数列为等差数列，an?Sn?Sn?1?2n?10，由5<2k-10<8得到k=8。

6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155)内的人数]。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （A）i<6 (B) i<7 (C) i<8 (D) i<9

数学（理科）试卷B 第 10 页 （共 16 页）

答案：C；

解析：S=A4?A5?A6?A7；

7．图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为 （Ａ）１５ （Ｂ）１６ （Ｃ）１７ （Ｄ）１８ 答案：B；

8．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）。若对于任意的a,b∈S,有a*( b * a)=b，则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是 ． （A）( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a （B）b*( b * b)=b （C）( a*b) * [ b*( a * b)] =b 答案：A；

二、填空题（本题7小题，每题５分，满分3０分，其中１3，１５是选做题，考生只能选做两

题，三题全答的，只计前两题得分）

9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示) 2答案：

9412解析：??；

669数学（理科）试卷B 第 11 页 （共 16 页）

??????????10．若向量a,b满足|a|?|b|?1，a,b的夹角为60°，则a?a?a?b=______；

3答案：；

2????13解析：a?a?a?b?1?1?1??，

2211．在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线y2?2px(p?0)的焦点，则该抛物线的准线方程是______; 5答案：x??;

4解析：OA的垂直平分线的方程是y-

15??2(x?1)，令y=0得到x=; 2412．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这

些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)?____；f(n)=______(答案用数字或n的解析式表示) 答案：解析：

n(n?1);8;n(n-2)。 2n(n?1);f(4)?4?2?8;f(n)?n?(n?2) 2?x?t?3（参

y?3?t?13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为?数t∈R），圆C的参数方程为?圆心到直线l的距离为______. 答案：（0，2）；22.

解析：直线的方程为x+y-6=0，d=|2?6|?x?cos?（参数??[0,2?]），则圆C的圆心坐标为_______，

y?2sin??2??22; 214．（不等式选讲选做题）设函数f(x)?|2x?1|?x?3,则f(?2)=_____；若f(x)?5，则x的取值

范围是________；

1答案：6；[?,1]

215．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线ｌ，过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE的长为_______。

DClAOB

答案：

?；3。 6数学（理科）试卷B 第 12 页 （共 16 页）

解析：根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案； AE=EC=BC=3； 三、解答题 16．（本小题满分１2分）

已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （１） 若c=5，求sin∠A的值；

（２） 若∠A为钝角，求c的取值范围； ????????????解析： （1）AB?(?3,?4)，AC?(c?3,?4)，若c=5， 则AC?(2,?4)，∴

????????25?6?161，∴sin∠A＝； c?oAsCA??,B?55?255??3c?9?16?02525 （2）若∠A为钝角，则?解得c?，∴c的取值范围是(,??)；

33?c?0co?sA?17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生

产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据 ｘ ｙ ３ ２．５ ４ ３ ５ ４ ６ ４．５ （１） 请画出上表数据的散点图； ??a?； （２） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程y?bx（３） 已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤；试根据（２）求出的线性

回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

（3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5） 解析：

（１） 略；

（２） 方法1（不作要求）：设线性回归方程为y?bx?a，则

f(a,b)?(3b?a?2.5)2?(4b?a?3)2?(5b?a?4)2?(6b?a?4.5)2?4a2?2a(18b?14)?(3b?2.5)2?(4b?3)2?(5a?4)2?(6b?4.5)2

∴a?7?9b?3.5?4.5b时， 2 f(a,b)取得最小值(1.5b?1)2?(0.5b?0.5)2?(0.5b?0.5)2?(1.5b?1)2

5即0.5[(3b?2)2?(b?1)2]?5b2?7b?，∴b?0.7,a?0.35时ｆ（ａ，ｂ）取得最小值；

2所以线性回归方程为y?0.7x?0.35；

??66.5?4?4.5?3.5?66.5?63?0.7 方法2：由系数公式可知，x?4.5,y?3.5,b586?4?4.52??3.5?0.7?9?0.35，所以线性回归方程为y?0.7x?0.35； a2（３）ｘ＝１００时，y?0.7x?0.35?70.35，所以预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技

术改造前降低１９．６５吨标准煤． 18．（本小题满分14分）

在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原

数学（理科）试卷B 第 13 页 （共 16 页）

x2y2点O，椭圆2??1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

9a （1）求圆C的方程；

（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（1）圆C：(x?2)2?(y?2)2?8；

x2y2 （2）由条件可知a=5，椭圆??1，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、

259Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；

4??yx??3??1?x?5 直线CF的方程为y-1=?(x?1),即x?3y?4?0，设Q（x,y），则?，解得?3?x?3y?4?0?y?12??5?22?412所以存在，Q的坐标为(,)。

5519．（本小题满分14分）

如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=66，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。 （1）求V(x)的表达式；

（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。

PACDEBF图6

x262??S?BDC?x 5412（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，S?ABC?96，S?BEFV(x)=61x(9?x2)（0?x?36） 312V'(x)?（2）

61(9?x2)，6?x?36时v'(x)?0 ，v'(x)?0 ，所以x?(0,6)时，V(x)单调递增；34V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值126； （3）过F作MF//AC交AD与M,则

BMBFBEBE???,MB?2BE?12，PM=62， ABBCBD1AB2数学（理科）试卷B 第 14 页 （共 16 页）

MF?BF?PF?636BC?654?9?42， 3在△PFM中， cos?PFM?20．（本题满分14分）

84?7222?，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为； 4277 已知a是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a，如果函数y?f(x)在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。

解析1：函数y?f(x)在区间[-1，1]上有零点，即方程f(x)?2ax2?2x?3?a=0在[-1，1]上有解， a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>f(?1)?f(1)?0或

?af(?1)?0?af(1)?0??3?7?3?7?或a?5?a?或a≥1. ???4?8a(3?a)?0?1?a?5或a?22?1???[?1.1]??a?3?7或a≥1. 2解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又

所以实数a的取值范围是a?12x2?1∴f(x)?2ax?2x?3?a=0在[-1，1]上有解，?(2x?1)a?3?2x在[-1，1]上有解??a3?2x222x2?1在[-1，1]上有解，问题转化为求函数y?[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x?3?t，

3?2x1(t?3)2?217t∈[1,5],y???(t??6)，

2t2t7t2?7设g(t)?t?.g'(t)?2，t?[1,7)时，g'(t)?0，此函数g(t)单调递减，t?(7,5]时，g'(t)>0,

tt此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是[7?3,1]，∴f(x)?2ax2?2x?3?a=0在[-1，1]上有解3?71∈[7?3,1]?a?1或a??。

2a21．（本题满分14分）

?

已知函数f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，f'(x)是f(x)的导数；设a1?1，

an?1?an?f(an)（n=1,2,??） f'(an) （1）求?,?的值；

（2）证明：对任意的正整数n，都有an>a；

a??（3）记bn?lnn（n=1,2,??），求数列{bn}的前n项和Sn。

an?a解析：（1）∵f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)， ∴???1?5?1?5； ,??22数学（理科）试卷B 第 15 页 （共 16 页）

（2）f'(x)?2x?1，an?154115an(2an?1)?(2an?1)?a?an?144 ?an??an?22an?12an?12n=(2an?1)?1415?15?1，∵a1?1，∴有基本不等式可知a2?时?0（当且仅当a1?2an?1222?5?15?15?1，??，an?， ??（n=1,2,??）?0同，样a3?222(a??)(an??)an???(an?1??)，而?????1，即??1???， （3）an?1???an???n2an?12an?1取等号），∴a2?(an??)2(an??)21??3?53?5an?1????ln?2ln，同理an?1???，bn?1?2bn，又b1?ln

2an?12an?11??23?5Sn?2(2n?1)ln3?5 2

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（2）f'(x)?2x?1，an?154115an(2an?1)?(2an?1)?a?an?144 ?an??an?22an?12an?12n=(2an?1)?1415?15?1，∵a1?1，∴有基本不等式可知a2?时?0（当且仅当a1?2an?1222?5?15?15?1，??，an?， ??（n=1,2,??）?0同，样a3?222(a??)(an??)an???(an?1??)，而?????1，即??1???， （3）an?1???an???n2an?12an?1取等号），∴a2?(an??)2(an??)21??3?53?5an?1????ln?2ln，同理an?1???，bn?1?2bn，又b1?ln

2an?12an?11??23?5Sn?2(2n?1)ln3?5 2

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