2015年高考数学新高考创新题型之5：数列（含精析）来源：学优高

之5.数列（含精析）

一、选择题。

1．已知函数f(x)?1?2x?1，x?[0,1].定义：f1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，??，

fn(x)?f(fn?1(x))，n?2,3,4,满足fn(x)?x的点x?[0,1]称为f(x)的n阶不动点.则

f(x)的n阶不动点的个数是（ ）

A.2n个 B.2n个 C.2(2?1)个 D.2个

2nn1?22x,x?[0,]?2?3

2．函数f1（x）＝x，f2（x）＝?1?log1,xx(?,1]2??41?1?2x3,x?[0,]?1?2，f3（x）＝?，f4（x）＝|sin

4?1,x?(1,1]??2（2πx）|，等差数列{an}中，a1＝0，a2015＝1，bn＝|fk（an＋1）－fk（an）|（k＝1，2，3，4），用Pk表示数列{bn}的前2014项的和，则（ ）（创作：学优高考网“天骄工作室” A.P4＜1＝P1＝P2＜P3＝2 B.P4＜1＝P1＝P2＜P3＜2 C.P4＝1＝P1＝P2＜P3＝2 D.P4＜1＝P1＜P2＜P3＝2

3．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n>l，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则

9999=（ ） ???...?a2a3a3a4a4a5a2013a2014

A．

2012201320102011 B． C． D． 20132012201120124．已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意实数a,b∈R,满足:

f(2n)f(2n)*

f(ab)= af(b)+bf(a), f(2)=2, an=错误！未找到引用源。(n∈N), bn=错nn2误！未找到引用源。(n∈N).

考察下列结论: ①f(0)= f(1); ②f(x)为偶函数; ③数列{an}为等比数列; ④数列{bn}

*

为等差数列.其中正确的结论共有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5．对于各项均为整数的数列?an?，如果ai?i(i?1,2,3,???)为完全平方数，则称数列?an?具有“P性质”，如果数列?an?不具有“P性质”，只要存在与?an?不是同一数列的?bn?，且

?bn?同时满足下面两个条件：①b1,b2,b3,???,bn是a1,a2,a3,???,an的一个排列；②数列?bn?具

有“P性质”，则称数列?an?具有“变换P性质”，下面三个数列：

①数列1，2，3，4，5； ②数列1，2，3， ，11,12； ③数列?an?的前n项和为Sn?其中具有“P性质”或“变换P性质”的有( ) A．③ B．①③ C．①② D．①②③

6．已知f(x)与g(x)都是定义在R上的函数， g(x)?0,f/(x)g(x)?f(x)g/(x)，且

n2(n?1). 3f(x)?ax?g(x)(a?0，且

则前k项和大于

?f(n)?4?，在有穷数列??(n?1,2,10)中，任意取前k项相加，3g(n)??15的概率是（ ） 163421A. B. C. D. 5555

二、填空题。

7．在数列?an?中, n?N,若

*an?2?an?1?k（k为常数）,则称?an?为“等差比数列”，

an?1?an下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0．其中正确判断命题的序号是 . 8．若数列

{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an?T?an成立，则称数列{an}为

周期数列，周期为T. 已知数列下命题：

{an}满足a1?m(m?0)，

?an?1, an?1，?an?1=?1?a, 0?an?1.?n现给出以

①若a3?4，则m可以取3个不同的值

{a}②若m?2，则数列n是周期为3的数列

{a}③?T?N且T?2，存在m?1，n是周期为T的数列

*④?m?Q且m?2，数列

*{an}是周期数列.其中所有真命题的序号是 .

9．已知数列{an}(n?N)，其前n项和为Sn，给出下列四个命题： ①若{an}是等差数列，则三点(10,S10SS)、(100,100)、(110,110)共线； 10100110②若{an}是等差数列，且a1??11，a3?a7??6，则S1、S2、?、Sn这n个数中必然存在一个最大者；

③若{an}是等比数列，则Sm、S2m?Sm、S3m?S2m(m?N)也是等比数列； ④若Sn?1?a1?qSn(其中常数a1q?0)，则{an}是等比数列；

*1?q2n⑤若等比数列{an}的公比是q (q是常数), 且a1?1,则数列{an}的前n项和sn?.

1?q22

其中正确命题的序号是 .(将你认为正确命题的序号都填上) ．．

n???a?a?n?kn?N,0?k?1?，给出下列命题： n10．已知数列满足nk?①当

12时，数列?an?为递减数列

1?k?1?a?②当2时，数列n不一定有最大项

0?k?③当

12时，数列?an?为递减数列

k?a?④当1?k为正整数时，数列n必有两项相等的最大项

请写出正确的命题的序号 .

三、解答题。

11．设数列?an?满足：①a1?1；②所有项an?N?；③1?a1?a2?????an?an?1????．设集合Am?n|an?m,m?N?，将集合Am中的元素的最大值记为bm．换句话说，bm是数列?an?中满足不等式an?m的所有项的项数的最大值．我们称数列?bn?为数列?an?的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3． （1）请写出数列1,4,7的伴随数列；

（2）设an?3n?1，求数列?an?的伴随数列?bn?的前20之和；

（3）若数列?an?的前n项和Sn?n2?c（其中c常数），求数列?an?的伴随数列?bm? 的前m项和Tm．

12．已知数列?an?是等差数列，其前n项和为Sn，若S4?10，S13?91． （1）求Sn；

（2）若数列{Mn}满足条件： M1?St1，当n≥2时，Mn?Stn－Stn?1，其中数列?tn?单调递增，且t1?1，tn?N?．

①试找出一组t2，t3，使得M22?M1?M3；

②证明：对于数列?an?，一定存在数列?tn?，使得数列?Mn?中的各数均为一个整数的平方．

??2n?1an(n?N?). 13．数列?an?满足a1?2,an?1?1??n?n??an?22??2n?bn?的通项公式. （1）设bn?an，求数列

（2）设cn?1211???Sc，数列n的前n项和为n，不等式4m?4m?Sn对一切n?Nn?n?1?an?1成立，求m的范围.

14．已知等差数列{an}中，a1??2，公差d?3；数列{bn}中，Sn为其前n项和，满足：

2nSn?1?2n(n?N?)

（Ⅰ）记An?1，求数列An的前n项和S；

anan?1（Ⅱ）求证：数列{bn}是等比数列；

（Ⅲ）设数列{cn}满足cn?anbn，Tn为数列{cn}的前n项积，若数列{xn}满足x1?c2?c1，

Tn?1Tn?1?Tn2且xn?(n?N?，n?2)，求数列{xn}的最大值.

TnTn?1

15．已知{an}为单调递增的等比数列，且a2?a5?18，a3?a4?32，?bn?是首项为2，公差为d的等差数列，其前n项和为Sn. （1）求数列{an}的通项公式；

2（2）当且仅当2?n?4，n?N*，Sn?4?d?log2an成立，求d的取值范围.

an?1(n?1)?kn?1k(n?1)n?11选项③：当?k?1时，????1，所以an?1?an，即数列n2ann?kn2n{an}是递减数列，故③正确；

an?1(n?1)?kn?1k(n?1)k111?k?k?选项④：，当为正整数时，；当时，??1?k22ann?knn；当a1?a2?a3?a4????1kmam(n?1)?k?1时，?m?N?，令解得k?，n?1?，21?man1?kn(1?m)数列{an}必有两项相等的最大项，故④正确. 所以正确的选项为③④.

?(m?1)2(m?2t?1,t?N*??411．（1）1,1,1,2,2,2,3；（2）50；（3）Tm??

?m(m?2)(m?2t,t?N*)??4【解析】（1）本题解题的关键是抓住新定义中“bm是数列?an?中，满足不等式an?m的所有项的项数的最大值”，正确理解题中新定义的内容，根据伴随数列的定义直接写出数列1,4,7的伴随数列；（2）对于这类问题，我们要首先应弄清楚问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时的常用方法即可解决，根据伴随数列的定义得（3）n?1?log3mm?N*，由对数的运算对m分类讨论求出伴随数列?bn?的前20项的和；数列是特殊的函数，以数列为背景是数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，由题意和an与Sn的关系，代入an?m得n???m?1m?N*，求出伴随数列?bm?的各项，再对2??m分类讨论得Tm.

解： 解：（1）由伴随数列的定义得，

数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3（后面加3算对） （2）由an?3n?1?m，得n?1?log3m(m?N*) ∴ 当1?m?2,m?N时，b1?b2?1

*

n2?n12．（1）Sn?；（2）①t2?4，t3?13；②证明见解析．

2【解析】（1）设数列?an?的首项为a1，公差为d，利用基本量表示有关量进行求解；（2）①先根据tn?N?固定t2，再根据M22?M1?M3，验证是否存在t3符合题意；②由①的结论。先猜后证.

解：（1）设数列?an?的首项为a1，公差为d，

4?3?4a?d?101??2由S4?10，S13?91，得?，

?13a?13?12d?911??2?a1?1解得?，

d?1?n(n?1)n2?nd?所以Sn?na1? 22（2）①因为M1?S1?1，

t3?t3?1??3， 若t2?2,M2?S2?S1?3?1?2，M3?St3?S2?2因为M22?M1?M3， 所以

t3?t3?1??3?4，t3?t3?1??14，此方程无整数解； 2t3?t3?1??6， 2若t2?3,M2?S3?S1?6?1?5，M3?St3?S3?因为M22?M1?M3，

t3?t3?1??6?25，t3?t3?1??62，此方程无整数解； 所以

2若t2?4,M2?S4?S1?10?1?9，M3?St3?S4?因为M22?M1?M3，

t3?t3?1??10， 2t3?t3?1??10?81，t3?t3?1??182，解得t3?13， 所以

2所以t2?4，t3?13满足题意

②由①知t1?1，t2?1?3，t3?1?3?32，则M1?1，M2?32，M3?92， 一般的取tn?1?3?3?2?3n?13n?1?，

23n?1?3n?1?3n?1?1?3n?1?1??1???1??2?2?2?2?此时Stn?，Stn?1?，

223n?1?3n?1?3n?1?1?3n?1?1??1???1??2?2?2?2?n?12???3?， 则Mn＝Stn－Stn?1＝

22所以Mn为一整数平方．

因此存在数列?tn?，使得数列?Mn?中的各数均为一个整数的平方．

n2?113．（1）bn?（2）m?2或m??1.

2；

2n?1【解析】（1）由已知得n?1a1??n?n??an?212n12????n??，所以bn?1?bn?n?，这样可

2an2an以累差求出?bn?的通项公式.

2?n?1??1cn?n?n?1?2n?2n2?2(n?1)n1n?1?11?????n?n?1?2n?2?n?1?2n?2n?2n?1?n?1?2n?2n?2n?1?12n?2?11? n?1n?2?n?1?2n?244121??Scn可以求出n的前项和n，根据题意m?m??Sn?max，这样可以求出m的取值范围.

2n?1解：由已知得n?1a1??n?n??an?212n12????n??，所以bn?1?bn?n?，

2an2ann2?1111则b2?b1?1?2,b3?b2?2?2?bn?bn?1?(n?1)?2，叠加得bn?b1?2，因为n2?1b1?1，所以bn?

22?n?1??1cn?n?n?1?2n?2?n2?2(n?1)n11?11?? ??????n?1n?2???n?n?1?2n?2?n?1?2n?2n?2n?12n?2?n?2n?12??1?1??1?n?111118?2?1 S?c?c???c?????(?)?12n故nn?2n?2n?21?n?1??24?n?1??22221?21211m?2或m??1. m?m?故4，所以42n1114．（Ⅰ）S??；（Ⅱ）由2nSn?1?2n，得Sn?1?n，所以当n?2时，bn?Sn?Sn?1=n，

226n?4又当 b1?S1?11，符合上式，所以bn?n(n?N?)，故数列{bn}是等比数列. 225. 4（Ⅲ）{xn}的最大值为x1?【解析】（Ⅰ）首先由数列{an}的通项公式，可得数列An的通项公式，然后运用裂项相消法即可求得其

前n项和；（Ⅱ）由已知2nSn?1?2n(n?N?)及公式bn?Sn?Sn?1可得，当n?2时，bn的通项公式；然

后验证当n?1时，是否满足上述通项公式，进而求出bn的通项公式即可证明结论成立； （Ⅲ）根据作差法判断数列{xn}的单调性，进而判断数列{xn}的最大值即可. 解：（Ⅰ）因为an?3n?5， 所以An?1111?(?)，

(3n?5)(3n?2)33n?53n?21?1111所以S??(??1)?(1?)?(?)?3?2447?(1111??)?(?) 3n?83n?53n?53n?2??=(??1311n. )??23n?26n?4（Ⅱ）由2nSn?1?2n，得Sn?1?11，所以当n?2时，bn?Sn?Sn?1=n， n2211又当b1?S1?，符合上式，所以bn?n(n?N?)，

22故数列{bn}是等比数列. （Ⅲ）因为cn?3n?55，所以x1?c2?c1?， n42Tn?1Tn?1?Tn2Tn?1Tn8?3n???cn?1?cn=n?1， 当n?2时，xn?TnTn?1TnTn?12又x1?58?3n符合上式，所以xn?n?1(n?N?)， 42因为xn?1?xn?5?3n8?3n3n?11?n?1?n?2，所以当n?3时，{xn}单调递减， 2n?222当n?4时，{xn}单调递增，但当n?4时，{xn}每一项均小于0， 所以{xn}的最大值为x1?5. 415．（1）an?2n?1，（2）(??,?3)。

由已知可得：2n?2(n?1)?nd?4?(2n?2)d， 2*所以d?n?(4?5d)?n?8?4d?0，当且仅当2?n?4，且n?N时，上式成立，

2设f(n)?d?n?(4?5d)?n?8?4d，则d?0，（（创作：学优高考网“天骄工作”）

作：学优高考网“天骄工作室”）

?f(1)?0?f(2)?0?d?0?所以????d??3，所以d的取值范围为(??,?3)。

f(4)?0d??3????f(5)?0

由已知可得：2n?2(n?1)?nd?4?(2n?2)d， 2*所以d?n?(4?5d)?n?8?4d?0，当且仅当2?n?4，且n?N时，上式成立，

2设f(n)?d?n?(4?5d)?n?8?4d，则d?0，（（创作：学优高考网“天骄工作”）

作：学优高考网“天骄工作室”）

?f(1)?0?f(2)?0?d?0?所以????d??3，所以d的取值范围为(??,?3)。

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