初中数学竞赛教程及练习之三点共线附答案

三点共线

1.一、内容提要

要证明A，B，C三点在同一直线上，常用方法有：

①连结AB，BC证明∠ABC是平角

②连结AB，AC证明AB，AC重合

③连结AB，BC，AC证明 AB＋BC＝AC ④连结并延长AB证明延长线经过点C 证明三点共线常用的定理有：

过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半两圆相切，切点在连心线上

轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上

二、例题

例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB，PN⊥CD

求证：M，N，P三点在同一直线上CDN证明：过点P作EF∥AB，4∵AB∥CD，∴EF∥CDFEP32.①②③④⑤⑥1∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180 A M 2 B ??∵PM⊥AB，PN⊥CD ∴∠1＝90，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180

???∴ M，N，P三点在同一直线上

例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上

已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点求证：M，O，N三点在同一直线上

DC证明一：连结MO，NO

O∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线MN∴MO∥AB，NO∥AB

B根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行A∴ M，O，N三点在同一直线上

，

证明二：连结MO并延长交BC于N

∵MO是△DAB的中位线 D C ∴MO∥AB

O,M在△CAB中 N N

，

∵AO＝OC，ON∥AB A B，，，

∴BN＝NC，即N是BC的中点 ∵N也是BC的中点，

，

∴点N和点N重合 ∴ M，O，N三点在同一直线上

1

例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分别是AB和CD的中点，BC，AD的延长线相交于P

求证：M，N，P三点在同一直线上

?证明：∵∠A＋∠B＝90，

P?∠APB＝Rt∠ 连结PM，PN D N C根据直角三角形斜边中线性质 PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC

BAM∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B

∴PM和PN重合

∴M，N，P三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中，点A关于横轴的对称点为B，关于纵轴的对称点是C，求证B和C是关于原点O的对称点 Y

解：连结OA，OB，OC

∵A，B关于X轴对称， C A ∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX 同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY

∴∠COY＋∠BOX＝90 O X

?∴B，O，C 三点在同一直线上 ∵OB＝OC

∴ B和C是关于原点O的对称点 B 例5.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点B的直线EF分别交⊙O1和⊙O2于E，F。 求证：AE，AF和⊙O1和⊙O2的直径成比例

证明：作⊙O1和⊙O2的直径AM，AN，连结AB，BM，BN

∵AM，AN分别是⊙O1和⊙O2的直径 ∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠ ∴M，B，N在同一直线上 A ∴∠M＝∠E，∠N＝∠F ∴△AMN∽△AEF O1

2AMAN?∴ F AEAFNMOE 三、练习36

1. 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分别是AD，BC，AC的中点 求证：M，

N，P三点在同一直线上

2. 已知：△ABC中，BE，CF是中线，延长BE到G，使EG＝BE，延长CF到H，使FH

＝CF，

求证：G，A，H三点共线

3. 已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E，

求证：点M在DE的延长线上（同33第5）

B2

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