【海文考研数学】：线代知识点归纳 5相似矩阵和二次型

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【海文考研数学】：线代知识点归纳 5

相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵 ATA E或A 1 AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj 0②、若A为正交矩阵，则A 1 AT也为正交阵，且A 1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 1i j(i,j 1,2,i jn)；

2. 施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1 a1；

b2 a2 [b1,a2]b1 [b1,b1]

[b1,ar][b,a]b1 2rb2 [b1,b1][b2,b2][br 1,ar]br 1; [br 1,br 1] br ar

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4. ①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

PAQ B，P、Q可逆；

r(A) r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 CTAC B，其中可逆；

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；

③、A与B相似 P 1AP B；

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTAC B A~B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；

7. n元二次型xTAx为正定：

A的正惯性指数为n；

A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC E；

A的所有特征值均为正数；

A的各阶顺序主子式均大于0；

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- 1 - aii 0,A 0；(必要条件)

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