厦门市20112012学年（下）高一质量检测

厦门市2011—2012学年（下）高一质量检测

数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1-5： ACBBD； 6-10：DACCD

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11．x?2y?1?0 12． 60 13．

?3 414． 1 15． 2x?4y?3?0 16．2 三、解答题：本大题共6小题，共76分． 17．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）多面体ABCDE的俯视图如图所示．┄4分 （Ⅱ）直线MN??平面BCDE． ┄┄┄┄┄6分

证明如下：连结BD，

N分别是AB、AD的? M、

?MN??BD，┄┄┄┄10分 又?MN?平面BCDE，?MN??平面BCDE． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 18．（本题满分12分）

D E

C(A) B 正视图 侧视图 中点，

BD?平面BCDE

俯视图 ????解：（Ⅰ）?a?b，?a?b?0，

（第17题）

┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分

即2sin??(?1)?(sin??2cos?)?0， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

sin??2cos?， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分

?tan??2． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

2sin??cos??cos2?（Ⅱ）原式= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

2cos2?2sin??cos? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

2cos?113?tan???2??． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

222?

19．（本题满分12分）

????????（Ⅰ）证明：四边形ABCD为平行四边形，记AB?a，AD?b，

????????????2????DN?DA?AN∵=?b+AC D 3N 221=?b+(a+b)=a?b， ┄┄┄┄┄┄┄┄2分

333?????????????1∵DM?DC?CN=a?b， ┄┄┄┄┄┄┄3分

A B 2（第19题） ????2?????∴DN?DM，且DM与DN有公共点D，┄5分

3∴D、N、M三点共线． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）解：ABCD为平行四边形，记?BAD??．

C M

由（Ⅰ）知????DN?23a?13b，

∴|????DN|2?(23a?13b)2?49a2?19b2?49a?b?4149m2?9n2?9mncos?┄8分

∵???BN????BA??????AN???a+2???3AC????a+2123(a?b)??3a+3b， ┄┄┄9分

∴|???BN?|2?(?1a?2b)214414433?9a2?9b2?9a?b?9m2?9n2?9mncos?┄10分

若|????DN|?|???BN?|，则41149m2?9n2?9m2?9n2， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分

∴m2?n2即m?n． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 （备注：利用坐标法或几何或三角函数的方法来证明的相应得分） 20．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）首先求蚂蚁爬行整个路程的最小值．

(A1) D1 沿棱BB1、B1C1将正方体的三个面展开成平面图形，如图．图中

F 且依次经过棱BB、B

A1 B11C1的中点，1 C1

易求得|EF|?322， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

A E B C 所以蚂蚁取一次食物（一个来回）所爬行路程的最小值是32米，

秒． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

（Ⅱ）证明：在（Ⅰ）的条件下，点M、N分别是棱BB1、B1C1的中点． ┄7分

连接MN，则MN∥BC1，

∵在正方体AC1中，A1B1⊥平面B1C1CB，

而BC1?平面B1C1CB，∴A1B1⊥BC1，则A1B1⊥MN， ┄ ┄┄┄┄┄9分 又，在正方形B1C1CB中，BC1⊥B1C，则B1C⊥MN，

又A1B1?B1C?B1，∴MN⊥平面A1B1C，而AC1?平面A1B1C， ∴MN⊥A1C． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分

同理EM⊥A1C，EM?MN?M，

∴AC1?平面EMN． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分

21．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为y?0?k(x?2)．

又圆C的圆心为(3,?2)，半径r?3，

由3k?2?2kk2，解得?1?1k??34． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分

所以直线l的方程为y??34(x?2)，即3x?4y?6?0． ┄┄┄┄┄4分 当l的斜率不存在时，l的方程为x?2，经验证x?2也满足条件． ┄6分

所以直线l的方程为3x?4y?6?0或x?2．

（Ⅱ）由于CP?5，而弦心距d?r2?(MN2)2?5，

所以d?CP?5，所以P为弦MN的中点． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

从E到F两点间线段最短，

所需的最短时间为3002

故以MN为直径的圆Q的方程为(x?2)2?y2?4．┄┄┄┄┄┄┄┄10分 （Ⅲ）直线ax?y?1?0与圆C交于A，B两点，

则弦心距小于圆的半径，即|3a?2?1|a?12?3，化简得a?0． ┄┄┄┄12分

设符合条件的实数a存在，由于l垂直平分弦AB，故直线l过圆心C(3, ?2)． 所以l的斜率kPC??2，而a?kAB??11，所以a?．┄┄┄┄┄13分

2kPC由于

1?(??, ，0)故不存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l垂直平分弦2AB．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分

22. （本题满分14分）

??Asin(???)?1??6解：（Ⅰ）依题意得： ? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分

??Asin(??)?3??3???sin(??)?3sin(???) ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

36?1?3cos??sin??3??cos??sin??, 222?2??????3cos??sin?，∴tan??3，????0,?，???， ┄┄4分

3?2???f(x)?Asin(2x?)，

3????f???3，?A?2， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

?6???f(x)?2sin(2x?)．

3展开得31（Ⅱ）过点P作PC?Ox于点C，

令f(x)?Asin(2x??)?0，?2x???k?,(k?z)， 又点M、N分别位于y轴两侧，

???????,0?， N??,0? ?2??22???????????????3??则MN??,0?， PN????t,?? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

8??2??22??????????????2y， ?PN?MN????t??P2?22?16?3?∴?t?， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 28M3?OC???2t?，┈┈① 4?3??3?Asin2t???又点P?t,在函数的图像上，即 ┈┈② ， ┄12分 ???88??则可得M??联立①②式得A?6?8N， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 13分

所以函数的f(x)最大值

6?8． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分

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