离散数学题库

离散数学试题1

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列句子为命题的是( ) A.走，看电影去

C.空集是任意集合的真子集

B.x+y>0 D.你明天能来吗?

2.下列式子不是谓词合式公式的是( ) ．．A.(?x)(P(x)→(?x)(Q(x) ∧A(x，y))) C.(?x)P(x)→R(y)

3.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q C.﹁ (P Q)

B.(﹁P∧Q)∧(P∨﹁Q) D.(P∨Q) (P→Q) B.(?x)∧(?y)∨P(x，y) D.(?x)P(x)∧Q(y，z)

4.设个体域为实数集，特定元素a=0，函数f(x，y)=x-y，特定谓词F(x，y)为x

A.(?x)(?y)F(x，f(f(x，y)，y)) B.(?x)(?y)(﹁F(f(x，y)，x))

C.(?x)(?y)(?z)(F(x，y)→F(f(x，z)，f(y，z))) D.(?x)F(f(a，x)，a)

5.对于公式(?x)(?y)P(x，y)∨Q(x，z)∧(?x)P(x，y)，下列说法正确的是( ) A.x是自由变元

C.( ?x)的辖域是P(x，y)∨Q(x，z)

B.x是约束变元 D.(?x)的辖域是P(x，y)

6.设论域为{1，2}，与公式(?x)﹁A(X)等价的是( ) A. ﹁A(1) ∨﹁A(2) C. ﹁A(1) ∧﹁A(2)

B. ﹁A(1)→﹁(A2) D. A(1) →A(2)

7.设Z+是正整数集，f：Z+×Z+→Z+，f(n，m)=nm，则f( ) A.仅是单射 C.是双射

B.仅是满射 D.不是函数

8.下列哪个关系矩阵所对应的关系具有自反性( ) ?101???A.?111? ??100???001???C.?001? ??100???100???B.?011? ??101???101???D.?010? ??100?? 1

10.在整数集上，下面哪个运算不是二元运算( ) ．．A.加法 C.乘法

B.减法 D.除法

11.设A是奇数集合，×为乘法运算，则是( ) A.半群 C.循环群

12.下面不满足结合律的运算是( ) ．．．A.a*b=min(a，b) C.a*b=2(a+b)

13.右图的最小入度是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

14.下面既是汉密尔顿图又是欧拉图的图形是( )

B.a*b=max(a，b) D.a*b=2ab B.群 D.交换群

15.一棵树有3个5度点、1个4度点、3个2度点，其它的都是1度，那么它的边数是( ) A.17 C.19

B.18 D.20

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

16.设命题变元为P，Q，R，则小项m100=________，大项M010=________。

18.一个公式，如果量词均在全式的________，其作用域延伸到整个公式的________，则该公式称为前束范式。

19.请用联结词﹁，∧表示联结词∨和联结词 ：________，________。

20.设A={l，2，3，4}，A上的二元关系R={<1，2>，<3，4>，<4，3>}，S={，<3，4>，<4，1>}，则R?～S=________，(R?S)-1=________。

21.代数系统是整环，则是________，是________，且无零因子。

2

22.在实数集R上定义运算a?b=a+b+ab，则幺元为________，元素2的逆元为________。 23.若回路中，除________外________各不相同，则此回路称为圈(或初级回路)。 24.偶图记为Kn,m那么当________时，Kn,m是平面图，当________时，Kn,m是非平面图。 25.若图中存在________，它经过图中所有的边恰好________次，则称该图为欧拉图。 三、计算题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 26.用等值演算求(P→Q)→R的主合取范式。 27.列出(P→(Q∨R)) (P→Q)的真值表。

28．设A={a,b,c,d}，R={，，，，}，求R的传递闭包。

29.设A={2，3，6，12，24，36}，请画出A上整除关系的哈斯图，并给出子集{6，12，24，36}的下界、下确界、极大元、最大元。

31.用矩阵的方法求右图中结点u2，u5之间长为2的路径的数目。

四、证明题(本大题共3小题，第32小题8分，第33、34小题各6分，共20分) 32.用推理方法证明：P∨Q，P→R，Q→S├R∨S。

33.设A={|a，b∈Z+，Z+为整数集}，A上的关系R={<,>|ad=bc}，证明R是等价关系。 五、综合应用题（本大题共2小题，第35小题6分，第36小题9分，共15分）

35．符号化下面命题，并构造推理证明：人是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 36．设H是G的有限子集，则是群的子群当且仅当是群的子代数。

离散数学试题2

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均不得分。 1.下列句子为命题的是( ) A.全体起立! C.我在说谎

2.下列式子不是谓词合式公式的是( ) ．．A.(?x)(P(x,y)?Q(x,z))?(?z)R(x,z) B. (?x)(?y)P(x,y)?Q(x,z)?(?x)P(x,y) C. (?x)P(x)?Q(x))?(?x)(?P(x)?Q(x))

B.x=0

D.张三生于1886年的春天

3

D. (?x)P(x)?Q(y,z)

3.下列式子为矛盾式的是( ) A.P??P C.P??P

B.P?(P?Q)

D.?(P?Q) ?P??Q

4.设给定赋值N如下：个体域为自然数集；特定元素a=0；特定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=xy；特定谓词F(x,y)为x=y。在赋值N下，下列公式为真的是( ) A. (?x)F(g(x,a),x)

B. (?x)(?y)(F(f(x,a),y)?F(f(y,a),x)) C. (?x)(?y)(?z)F(f(x,y),z) D. (?x)(?y)F(f(x,y),g(x,y))

5.对于公式(?x)(P(x,y)?Q(x,z))?(?z)R(x,z)，下列说法正确的是( A.y是自由变元 B.x是约束变元

C. (?x)的辖域是(P(x,y)?Q(x,z))?(?z)R(x,z) D. (?x)的辖域是P(x,y)

6.设论域为{l，2}，与公式(?x)A(x)等价的是( ) A.A(1)?A(2) B. A(1)?A(2) C.A(1)

D. A(2)?A(1)

7.设Z+是正整数集合，f:Z+→Z+，f(n)=2n-2,则f( ) A.仅是单射 B.仅是满射 C.是双射

D.不是函数

8.下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是( ) ?101??100?A.??011?B. ??011???

?

?100????101???001??101?C. ??001?D. ???

?010??

?100????100??10.设A是奇数集合，下列构成独异点的是( ) A. B. C.

D.

11.设A是整数集，下列说法正确的是( ) A.有零元 B.有零元 C.有幺元

D.有幺元

12.下列说法不正确．．．

的是( ) ) 4

A.在实数集上，乘法对加法是可分配的 B.在实数集上，加法对乘法是可分配的 C.在某集合的幂集上，∪对∩是可分配的 D.在某集合的幂集上，∩对∪是可分配的 13.右图的最大入度是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

14.下列可一笔画成的图形是( )

15.一棵树有5个3度结点，2个2度结点，其它的都是l度结点，那么这棵树的结点数是 ( ) A.13 C.16

B.14 D.17

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均不得分。 16.请写出表示分配律的两个命题公式等价定理________,________。

17.n个命题变元的________称为大项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须________。 19.请用联结词?，?表示联结词?和联结词?：________，________。 20.设A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A-B=________，A?B=________。 21.给出A={l，2}上的一个等价关系________，并给出其对应的划分________。

22.设A={l，2，3，4}，A上的二元关系R={<1，2>，<2，3>，<3，2>}，S={，<2，3>，<4，3>}，则R∩S=________，(R—S)-1=________。

23.代数系统是域，则________和________都是交换群。

24.若图中存在________，它经过图中所有的________，则称该图为汉密尔顿图。 25.n点完全图记为Kn，那么当________时，Kn是平面图，当_____时，Kn是非平面图。 三、计算题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 26.列出(Q?P) ((P?R)?Q)的真值表。 27.用等值演算求P?(Q R)的主析取范式。

28.设A={1,2,3,4}，给定A上的二元关系R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}，求R的传递闭包。

5

21．设S是非空有限集，代数系统中，其中P（S）为集合S的幂集，则P（S）对∪运算的

单位元是________，零元是________。

+>中，2的阶是________。 22．在

24．在下图中，结点v2的度数是________。

?0125．设图D=，V={v1，v2，v3，v4}，若D的邻接矩阵A=??1??1101001001?1?，则deg-（v）=________，

1

0?1??从v2到v4长度为2的路有________条。

三、计算题（本大题共5小题，第26、27小题各5分，第28、29小题各6分，第30小题8分，共30分）

+B，A的幂集P（A）26．已知A={{?}，{?，1}}，B={{?，1}，{1}}，计算A∪B，A○。

27．构造命题公式（（P∧Q）→P）∨R的真值表。

28．下图给出了一个有向图。（1）求出它的邻接矩阵A；（2）求出A2，A3，A4及可达矩阵P。

29．求下列公式的主合取范式和主析取范式：P∨（? P→（Q∨（? Q→R）））

30．设A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R为A上的整除关系，试画的哈斯图，并求A中的最大

元、最小元、极大元、极小元。

四、证明题（本大题共3小题，第31、32小题各6分，第33小题8分，共20分） 31．在整数集Z上定义：a?b?a?b?2,?a,b?Z，证明：是一个群。 32．R是集合A上自反和传递的关系，试证明：R?R=R。

五、应用题（本大题共2小题，第34小题6分，第35小题9分，共15分） 34．构造下面推理的证明。

如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去。

35．今有n个人，已知他们中任何2人的朋友合起来一定包含其余n-2人。试证明：

（1）当n≥3时，这n个人能排成一列，使得中间任何人是其两旁的人的朋友，而两头的人是其左边

（或右边）的人的朋友。

（2）当n≥4时，这n个人能排成一圆圈，使得每个人是其两旁的人的朋友。

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