2014届高三文科数学复习专题二 函数课时作业6

课时作业(六)

1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是 A．y＝1－x2 C．y＝－－x 答案 D

2．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是

A．a<－3 C．a>－3 答案 B

解析 对称轴x＝1－a≥4，∴a≤－3.

f?x2?－f?x1?

3．下列函数满足“对?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时恒有<0”的

x2－x1是

1

A．f(x)＝

xC．f(x)＝ex 答案 A

1

解析 条件即f(x)在(0，＋∞)为减函数，只有x符合条件．

?2，x≥0，

4．(2013·石家庄一模)已知函数f(x)＝?则满足不等式f(3－

?－x＋2，x<0，x2)

A．(－3，－3) C．[－3,0) 答案 D

解析 作出f(x)图像如图．

B．(－3,1) D．(－3,0)

( )

B．f(x)＝(x－1)2 D．f(x)＝ln(x＋1)

( )

B．a≤－3 D．a≥－3

( )

B．y＝x2＋x D．y＝

x x－1

( )

∵f(3－x2)

2

?3－x>2x，∴? ?2x<0.

解得－3

1 x－1

( )

A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 答案 B

1

解析 f(x)可由－x沿x轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图．

1

6．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋2)有最小值，则实数a的取值范围是 ( ) A．(0,1) C．(1，2) 答案 C

2－a2?a>1，1

解析 当a>1且x－ax＋2有最小值时，f(x)才有最小值loga4，∴?

?Δ<0

2

B．(0,1)∪(1，2) D．[2，＋∞)

?1

7．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b>0，则有 ( ) A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)

C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)

解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a. ∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴选A.

8．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是 A．(3，＋∞) C．(－∞，1) 答案 A

?x＋1>0，

解析 由已知易得?即x>3，又0<0.5<1，

?x－3>0，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减． 1

9．设函数f(x)＝2x＋x－1(x<0)，则f(x) A．有最大值 C．是增函数 答案 A

11

解析 当x<0时，－x>0，－(2x＋x)＝(－2x)＋(－x)≥2

1?－2x?·?－x?＝22，

B．有最小值 D．是减函数

( )

B．(1，＋∞) D．(－∞，－1)

( )

11

即2x＋x≤－22，2x＋x－1≤－22－1，即f(x)≤－22－1，当且仅当－2x＝12

－x，即x＝－2时取等号，此时函数f(x)有最大值，选A.

1

10．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)

1

解析 由已知得|x|>1?－1

11．(2012·安徽)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.

B．(0,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

答案 －6

a

??2x＋a，x≥－2，解析 f(x)＝|2x＋a|＝?a－2x－a，x<－??2，∵函数f(x)的增区间是[3，＋∞)， a

∴－2＝3，即a＝－6.

12．(2012·上海)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

答案 (－∞，1]

x－a

?e，x≥a，

解析 f(x)＝?a－x当x≥a时f(x)单调递增，当x

?e，x

减，又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以a≤1.

13．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f(lgx)＋f(1)>0的解集是________．

1

答案 (0，10)

解析 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f(x)在R上为单调递减函数．

1

不等式f(lgx)＋f(1)>0可化为f(lgx)>－f(1)＝f(－1)，所以lgx<－1，解得0

1

①y＝x在定义域内为减函数； ②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数； 1

③y＝－x在(－∞，0)上为增函数； ④y＝kx不是增函数就是减函数． 其中错误命题的个数有________． 答案 3

解析 ①②④错误，其中④中若k＝0，则命题不成立．

15．函数f(x)＝|logax|(0

解析 函数图像如图.

16．在给出的下列4个条件中，

?01，?a>1，?③ ④? ?x∈?－∞，0??x∈?0，＋∞?

1

能使函数y＝logax2为单调递减函数的是________． (把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④

解析 利用复合函数的性质，①④正确．

17．设函数f(x)＝2x＋a·2－x－1(a为实数)．若a<0，用函数单调性定义证明：y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．

解析 设任意实数x1

∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)是增函数． 18．已知f(x)＝

x

(x≠a)． x－a

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． 答案 (1)略 (2)0

解析 (1)证明 任设x1

2?x1－x2?x1x2

－＝. x1＋2x2＋2?x1＋2??x2＋2?

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)

a?x2－x1?x1x2

－＝. x1－ax2－a?x1－a??x2－a?

∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知0

2

?ax＋1?x≥0?，

1．已知函数f(x)＝?为R上的单调函数，则实数a的取值范ax

?a＋2?e?x<0??

围是

A．[－1,0) C．[－2,0) 答案 A

解析 若f(x)在R上单调递增，

( )

B．(0，＋∞) D．(－∞，－2)

?a>0，

则有?a＋2>0，

?a＋2≤1，?a<0，则有?a＋2>0，

?a＋2≥1，

此不等式组无解；

若f(x)在R上单调递减，

解得－1≤a<0.

综上，实数a的取值范围是[－1,0)．

?ax－1，x≤2，

2．f(x)＝?是定义域上的单调函数，则a的取值范围是

?loga?x－1?＋3，x>2________．

答案 (1,2]

?ax－1，x≤2，

解析 由题意知a>0，且f(x)＝?是定义域上的单调增函

?loga?x－1?＋3，x>2?a>1，

数，因此?

?2a－1≤loga?2－1?＋3.

故1

4?1－x2?

解析 ∵f′(x)＝2，

?x＋1?2令f′(x)>0，得－1m，即m>－1. 综上，－1

x2

4．函数f(x)＝(x∈R且x≠1)的单调增区间是______．

x－1答案 (－∞，0)和(2，＋∞)

x21

解析 将原函数y＝变形为y＝(x－1)＋＋2，

x－1x－1

显然x－1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增．

2

?x＋1，x≥0，

5．已知函数f(x)＝?则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值

?1，x<0，

4x

在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m∈________. x2＋1

范围是________．

答案 (－1，2－1) 解析

2

?x＋1，x≥0，

画出f(x)＝?的图像，由图像可知，若f(1－x2)>f(2x)，则

?1，x<02

?－10，

?即? 2

?1－x>2x，?－1－2

得x∈(－1, 2－1)． 6．判断函数f(x)＝

ax

(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性． x2－1

答案 a>0时，函数f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0时，函数f(x)在(－1,1)上为增函数． 解析 方法一 设－1

则f(x1)－f(x2)＝. 2?x21－1??x2－1??x1x2＋1??x2－x1?

∵2>0，

?x1－1??x22－1?

∴a>0时，函数f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0时，函数f(x)在(－1,1)上为增函数． －a?x2＋1?方法二 对f(x)求导，有f′(x)＝2，

?x－1?2∵x∈(－1,1)，∴(x2－1)2>0，x2＋1>0.

∴当a<0时，f′(x)>0，f(x)在(－1,1)上为增函数， 当a>0时，f′(x)<0，f(x)在(－1,1)上为减函数．

7．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3. 4

答案 (1)略 (2){m|－1

则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.

f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)

＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. ∴f(x2)>f(x1)．

即f(x)是R上的增函数．

(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5， ∴f(2)＝3.

∴原不等式可化为f(3m2－m－2)

∴3m2－m－2<2，解得－1

故m的解集为{m|－1

8．已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．

(1)求函数f(x)＝x2形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；

(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求m的取值范围． 答案 (1)[0，＋∞)或[1，＋∞) (2)－1 解析 (1)若n<0，则n＝f(0)＝0，矛盾． 若n≥0，则n＝f(n)＝n2，解得n＝0或1. 所以f(x)的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)． (2)因为g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)， 所以2＋m>0，即m>－2. 令g′(x)＝1－

1

>0，得x>1－m. x＋m

所以g(x)在(1－m，＋∞)上为增函数， 同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数． 若2≤1－m即m≤－1时，

则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．

若m>－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．

所以满足条件的m值为－1. 11

9．已知函数f(x)＝a－x(a>0，x>0)． (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

11

(2)若f(x)在[2，2]上的值域是[2，2]，求a的值． 解析 (1)证明：方法一 设x2>x1>0，则 x2－x1>0，x1x2>0.

1111

∵f(x2)－f(x1)＝(a－x)－(a－x)

2

1

11x2－x1

＝x－x＝xx>0，

1

2

12

∴f(x2)>f(x1)．

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

11111

方法二 ∵f(x)＝a－x，∴f′(x)＝(a－x)′＝x2>0. ∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

111

(2)∵f(x)在[2，2]上的值域是[2，2]，又f(x)在[2，2]上单调递增， 112∴f(2)＝2，f(2)＝2，∴a＝5.

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