高中数学人教A版选修2-3第二章 随机变量及其分布

第二章过关检测

(时间:45分钟,满分:100分)

一、选择题(每小题6分,共48分)

1.袋中有2个黑球6个红球,从中任取两个,可以作为随机变量的是( ) A.取到的球的个数 B.取到红球的个数 C.至少取到一个红球

D.至少取到一个红球的概率 答案:B

解析:取到球的个数是一个固定的数字,不是随机变量,故A不正确;取到红球的个数是一个随机变量,它的可能取值是0,1,2,故B正确;至少取到一个红球表示取到一个红球,或取到两个红球,表示一个事件,故C不正确;D显然不正确.故选B.

2.(2013福建厦门模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )

[来源学优GKSTK]A. C.

答案:B

B. D.

解析:由于质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动二次,向上移动三次,故其概率为·. 3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:

ξ 7 8 9 10 y[来P x 0.1 0.3 源:GKSTK.Com]

已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为( ) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 答案:B

解析:∵E(ξ)=7x+8×0.1+9×0.3+10y=7(0.6-y)+10y+3.5=7.7+3y,

∴7.7+3y=8.9,∴y=0.4.

4.某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分.甲、乙、丙三名考生独立参加测试,他们能达到合格的概率分别是0.9,0.8,0.75,则三个中至少有一人达标的概率为( ) A.0.015 B.0.005 C.0.985 D.0.995 答案:D

解析:三人都不合格的概率为(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.75)=0.005.

∴至少有一人合格的概率为1-0.005=0.995.

5.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={出现一个5点},则P(B|A)=( )

A. B. C. D. 答案:A

解析:出现点数互不相同的共有6×5=30种,

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出现一个5点共有5×2=10种,

∴P(B|A)=.

6.已知一次考试共有60名同学参加,考生成绩X~N(110,52),据此估计,大约有57人的分数所在的区间为( ) A.(90,100] B.(95,125] C.(100,120] D.(105,115] 答案:C

解析:∵X~N(110,52),

∴μ=110,σ=5. =0.95≈P(μ-2σ

7.把10个骰子全部投出,设出现6点的骰子的个数为X,则P(X≤2)=( ) A. B. C.

D.以上都不对 答案:D

解析:P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=.

8.已知随机变量X~B(6,0.4),则当η=-2X+1时,D(η)=( ) A.-1.88 B.-2.88 C.5.76 D.6.76 答案:C

解析:由已知D(X)=6×0.4×0.6=1.44,则D(η)=4D(X)=4×1.44=5.76.

二、填空题(每小题6分,共18分)

9.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为 . 答案:1

解析:区间(-3,-1)和区间(3,5)关于x=1对称(-1的对称点是3,-3的对称点是5),所以正态分布的数学期望就是1.

10.将一个大正方形平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)= .

[来源:GKSTK.Com]答案:

解析:根据几何概型,得P(AB)=,P(B)=,所以P(A|B)=.

11.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)= . 答案:

解析:由P (X=0)=,所以×(1-p)×(1-p)=,得p=,所以X的分布列如下: X 0 1 2 3 × P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×. 三、解答题(共34分)

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12.(10分)某厂工人在一年里如果有1个季度完成生产任务,则可得奖金300元;如果有2个季度完成生产任务,则可得奖金750元;如果有3个季度完成生产任务,则可得奖金1260元;如果有4个季度完成生产任务,则可得奖金1800元;如果四个季度都未完成任务,则没有奖金.假设某工人每季度完成任务与否是等可能的,求他在一年里所得奖金的分布列. 解:设该工人在一年里所得奖金为X,

则X是一个离散型随机变量.

由于该工人每季度完成任务与否是等可能的,所以他每季度完成任务的概率等于,所以 P(X=0)=, P(X=300)=, P(X=750)=, P(X=1260)=, P(X=1800)=. 故X的分布列为

X 0 P 300 750 1260 1800

13.(12分)(2012天津高考,理16)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;

(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).

解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.

设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),

则P(Ai)=.

(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)=.

(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4.由于A3与A4互斥,故

P(B)=P(A3)+P(A4)

=.

所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. (3)ξ的所有可能取值为0,2,4.

由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故 P(ξ=0)=P(A2)=,

P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=, P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=. 所以ξ的分布列是

ξ 0 P [来源学优GKSTK]2 4

随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×+2×+4×.

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14.(12分)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p>q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为

ξ 0 1 2 3 P a b

(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率; (2)求p,q的值;

(3)求数学期望E(ξ).

解:事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3.

由题意知P(A1)=,P(A2)=p,P(A3)=q.

(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是

1-P(ξ=0)=1-. (2)由题意知

P(ξ=0)=P()=(1-p)(1-q)=, P(ξ=3)=P(A1A2A3)=pq=. 整理得pq=,p+q=1. 由p>q,可得p=,q=. (3)由题意知

a=P(ξ=1)=P(A1)+P( A2)+P( A3)=(1-p)(1-q)+p (1-q)+(1-p)q=, b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.

所以E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.

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