2010级《高等代数》(下)期末试卷(A)

南京信息工程大学试卷 2010 －2011学年 第 2 学期 高等代数（下） 课程试卷( A 卷) 本试卷共 2 页；考试时间 120分钟；任课教师 杨兴东 昝立博；出卷时间2011年 6月 学院 专业 班 学号 姓名 一、填空题（本题满分为20分）

A的实特征值为 A 1；1） 设A是实正交矩阵，则A= ；

1 2) 设矩阵A=

1 1 1 000 与B= 010 相似，则 = ， = .

002 1

1 1 1 3）设A 3 33 ，则A的不变因子为 ，初等因子为 .

2 22

4) 二次型f(x1,x2,x3) x1 x2 x2 x3 x3 x1 的秩为 .

101 5) 设矩阵A 020 有一个特征值0，则a ;A的另一个特征值

10a 222

为 .

二、选择题（本题满分为20分）

1）下列矩阵中不可以对角化的是 （ ） 101 200 210 111 A) 012 ； B） 001 ； C） 000 ； D） 022 . 120 000 000 003

2) n阶实对称矩阵A正定的充要条件是 （ ）

A) 对于任意非零列向量x，有xTAx 0； B）A的符号差等于A的秩；

C）A的k阶子式都大于0（k 1,2,,n）； D）A不是负定的.

3）若V=C为全体复数组成的集合，则V对于通常的加法与数乘在复数域C上和实数域R上的维数分别为 （ ）

A) 1,1； B）1,2 ； C）2,1； D）2,2.

4) 设 是数域P上线性空间V的线性变换， 和 是 的分别属于特征值 和

的特征向量，那么 （ ）

A）若 和 线性无关，则 ≠ ； B）若 和 线性相关，则 ≠ ；

C）若 = ，则 和 线性相关； D）若 ≠ ，则 和 线性无关．

5）设4阶方阵A满足3E A 0,AAT 2E,A 0,E是4阶单位矩阵，A*是方阵A的伴随矩阵，则2A*的一个特征值为 （ ） 3388A)； B） ； C） ； D） . 8833

22三、设二次型f x1,x2,x3 =x12 2x2 2x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3， 1

(1) 写出二次型f x1,x2,x3 的矩阵A；

(2) 求正交线性替换x Qy化二次型f x1,x2,x3 为标准型；

(3) 写出矩阵A的特征值并判别矩阵A的正定性（本题满分为15分）.

四、叙述并证明哈密尔顿-凯莱定理．（本题满分为15分）.

1 1 1 2 11 5 3五、设 1 , 2 , 1 , 2 ,W1 L( 1, 2),W2 L( 1, 2)， 2 1 8 5 103 4

求W1W2和W1 W2的基及维数（本题满分为12分）．

六、设A Rn n 为反对称矩阵，即AT A，证明：

（1）A的特征值只能是0或纯虚数；

（2）E A可逆；

（3）Q E A E A 是正交阵. （本题满分为10分）． 1

七、设 1, 2, 3为欧氏空间V的一组标准正交基， 1 1 2 3， 2 1 2 3，W=L 1, 2 ，求 2 2 3在W中的内射影（即求 ，使得

，并求 到W的距离（本题满分为8分）. , W ）

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