昆明理工大学 线性代数 第5章 习题册答案

线性代数练习册

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习题5.1（向量的内积及矩阵的特征值与特征向量）

一、用施密特法把向量组?1=(111),,T,?2=(1,2,3)T,?3=(1,4,9)T规范正交化. 分析：定义1 设有两个n维向量?=(a1,a2,?,an)，?=(b1,b2,?,bn)

定义?与?的内积为[?,?]=a1b1?a2b2??,anbn=??T=??T

定义2. 设?=(a1,a2,?,an)，定义?的长度（或称范数）为

22??,?an||?||=(?,?)=a12?a2

当||?||=1时，称?为单位向量. 对任意??0，

?为单位向量. ?将一个线性无关向量组a1,a2,?,am规范正交化，斯密特（Schimidt）规范正交化的方法如下： (1)正交化：取?1??1，?2??2?[?2,?1][?,?][?,?]?1，?3??3?31?1?32?2，……

[?1,?1][?1,?1][?2,?2](2)单位化：取e1??1??,e2?2,?,em?m. ?1?2?m则e1,e2,?,em为规范正交组，并且与a1,a2,?,am等价. 解：根据施密特规范正交化方法，(1)正交化：令

?1??1??1???1???1,?2????2??1?1?1?2?1?3?1???0?， ??1??1??1????，221????????,?12?12?12???11?1??3??1??1???????????,????,??1??3??3?13?1?23?2???2? 3???1,?1???2,?2????1??1?1?1???11????1??1(2)单位化：令?1?222???11?1?1????1???13??3?， ?3?? 1

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??1??12???31?1??????，?2?2?0?0?3??222??3?212?(?2)2?12(?1)?0?1?????1??12??1?故规范正交化后得： (?1,?2,?3)??1??1?3?13310336???26?．

?16??116??1????????2????26?

??1??????16??

二、下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由。

??1?（1）??1?2??1??3?121121??1?93???1?； （2）?8??92?????4?1?????989194?9?4???9?4?. ?9??7?9??分析：定义4 若向量组a1,a2,?,am两两正交，则称其为正交向量组。

若向量a1,a2,?,am两两正交且都是单位向量时，则称其为规范正交组。

定义5 若n阶实矩阵A满足A?1?AT（或AAT?E或ATA?E）

则称A为正交矩阵，简称正交阵.

A为正交阵?A的行向量组为规范正交组?A的列向量组为规范正交组.

解：(1) 第一个行向量非单位向量，故不是正交阵．

(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵

?123??213?三、求矩阵??的特征值和特征向量，并问它的对应于不同的特征值的特征向量是否两

??336??两正交？

分析：求n阶方阵A的特征值和特征向量的方法：

(i)解特征方程A??E=0，得到A的n个特征值?1,?2,?,?n(k重根重复k次). (ii)对每个特征值?i，解齐次线性方程组(A??iE)x?0，其非零解就是相应于?i的A的特征向量.

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1??解：A??E?23231??3?(1??)2(1??)?12?18(1??)?4(6??)???(??1)(??9)， 36??故A的特征值为?1?0,?2??1,?3?9． ① 对于???1?0，(A??E)x?0即Ax?0

?x1??k1?123??123??x?x?0?????A??213???011???13??x2??k1(k1?R)，

?x2?x3?0?x?k?336??000?????1?3??1???方程组Ax=0的全部解为x?k1??1??k1?1(k1?R)

?1???故k1?1(k1?0)是对应于特征值?1?0的全部特征向量。 对于???2??1，(A??E)x?0即(A?E)x?0，

?x1??k2?223??110???????x?x?0A?E??223???001???12??x2?k2(k2?R)， ?x?0?337??000??x3?0?????3??1???方程组(A?E)x?0的全部解为x?k2?1??k2?2(k2?R)

?0???故k2?2(k2?0)是对应于特征值?2??1的全部特征向量。 对于???3?9，(A??E)x?0即(A?9E)x?0，

?x1?12k3??823??10?12???????x1?12x3?0A?9E??2?83???01?12?????x2?12k3(k3?R)，

?x?k?33?3??00??x2?12x3?00????3?3?12???方程组(A?9E)x?0的全部解为x?k3?12??k3?3(k3?R)

?1???

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故k3?3(k3?0)是对应于特征值?3?9的全部特征向量。

??1??12?T????② [?1,?2]???2?(?1,?1,1)?1??0， [?2,?3]???3?(?1,1,0)?12??0， 12?0??1?????T?12?T??[?1,?3]???3?(?1,?1,1)?12??0，

1?1???所以?1,?2,?3两两正交．

四、设n阶可逆矩阵A有特征值?，对应的特征向量为?。求A，A，E?A的一个特征值和对应的特征向量. 分析：矩阵的特征值的性质：

（2）若A有特征值?及相应的特征向量?，则 (ii)

?1*

?1?(A)?a0Am?a1Am?1???am?1A?amE有特征值

?(?)?a0?m?a1?m?1???am?1??am及相应的特征向量?.

0 （其中a0,a1,?,am为数，E为单位矩阵，可认为E?A）

?1 (iii) 若A可逆，则A有特征值???11?及相应的特征向量?.

（3）设n阶矩阵A?(aij)的全部特征值为?1,?2,?,?n（k重根重复k次），

则有

?1?2??n=A，?1??2????n=a11?a22???ann

?1解：A可逆，则A有特征值??1?1?， ?为对应于??1?1?的特征向量.

A??|A|A?1有特征值|A|??1?1?， ?为对应于|A|??1?1?的特征向量.

E?A?1有特征值1???1?1?1?， ?为对应于1???1的特征向量.

32五、已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3，求A?5A?7A.

解：A的全部特征值为1,2,3，由性质(3)：A?1?2?3?6?0，故A可逆。

记?(A)?A?5A?7A，?(?)???5??7? 于是?(A)的全部特征值为：

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3232线性代数练习册

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?(1)?13?5?12?7?1?3，?(2)?23?5?22?7?2?2，?(3)?33?5?32?7?3?3。

32由性质(3)，得A?5A?7A=?(A)=3?2?3=18.

六、设?1，?2是A的两个不相等的特征值，?是对应于?1的特征向量，证明?不是对应于?2的特征向量.（即一个特征向量不能对应两个不同的特征值）.

分析：定义1 设A为n阶矩阵，如果有数?及n维列向量??0，使得A????成立，

则称?为A为特征值，?称为A的对应于特征值?的特征向量.

解：用反证法。设?是对应于?2的特征向量，则有A???2?。

又?是对应于?1的特征向量，A????1。 故得????2?，移项得(?1??2)??0. 1根据定义，??0。应有?1??2?0。于是?1??2，与假设矛盾。 故?不是对应于?2的特征向量。

习题5.2（方阵的对角化）

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