计算（裂项、换元与通项归纳）

计算（裂项、换元与通项归纳）

第一部分 裂项

11111＋2＋3＋4＋……＋20 26122042011111 ＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（＋＋＋＋……＋）

26122042011111 ＝210＋（＋＋＋＋……＋）

1?22?33?44?520?21111111111 ＝210＋（1－＋－＋－＋－－ ）

223344520211 ＝210＋（1－ ）

2120 ＝210

21【1】 计算 1

【2】

123－15－17－19－111－113－1111111 ＝＋＋＋＋＋

6?88?1010?1212?142?44?61111111111111 ＝（－＋－＋－＋－＋－＋－）×

244668810101212142111 ＝（－）×

2142613 ＝× ＝

14214＋

12＋

1

2

＋

1

2

＋

12＋

12

365791113【3】计算 ＋＋＋＋＋＋

57612204230361111111111 ＝＋＋（＋）＋（＋）＋（＋） ＋（＋）＋（＋）

572334455667311611111111 ＝（＋＋）＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）

555772443366 ＝4

【4】计算：（此题用到公式

k11??）

n??n?k?nn?k1－＝1－

3102－－……－

?1?2?3????9???1?2?3????10?1??1?2??1?2???1?2?3?234510－－－－……－

45?551?33?66?1010?151

1111111111＝1－（－）－（－）－（－）－（－）－……－（－）

610361015451355111111111＝1－1＋－＋－＋－＋－……－＋

610101533645551＝ 55

【5】计算： 1?2?2?3?3?4?4?5?5?6?6?7?7?8?8?9?9?10?________．

11?1???1?2?3???2?3?4??1?2?3??33?3?1?1????9?10?11??8?9?10?

3?3?1??9?10?11?330 3从这个题目我们可以归纳出一般性的结论。

1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋……＋n(n＋1)

11111×1×2×3＋(×2×3×4－×1×2×3) ＋(×3×4×5－×2×3×4) ＋……3333311＋ [n(n＋1)(n+2)－(n-1) n(n＋1)]

331 ＝ n(n＋1)(n+2)

3 ＝

即：1?2?2?3?1?n??n?1??n?n?1??n?2?

3

另外，例6还有另外一种解法：

根据 n?n?1??n2?n 所以

1?2?2?3?3?4?4?5?5?6?6?7?7?8?8?9?9?10?

??12?1???22?2????12?22???92?9?

?9?

?92???1?2?11??9?10?19??9?10?330 62

第二部分 换元

【6】计算：（

（

621739458621739458378739458378＋＋）×（＋＋）－（＋＋＋）×126358947126358947358947207207739458＋） 358947739458739458378解：设a＝＋ b＝＋＋

358947358947207621621 原式＝（＋a）b－（＋b）a

126126621621 ＝ b＋ab－ a－ab

126126

2

＝

621378× ＝9 126207

11111111＋＋……＋）×（＋＋……＋）－（1＋＋＋……232007232008231111＋）×（＋＋……＋） 2008232007111111解： 设a＝＋＋……＋ b＝＋＋……＋

【7】计算：（1＋

232007232008 原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a ＝b＋ab－a－ab ＝b－a ＝

12008

第三部分 通项归纳

【8】计算： 11＋11?2＋11?2?3＋……＋11?2?3????100

解：先推导出通项公式。

ɑɑan＝

11?2?3????n＝1?1?n??n?2＝2n??n?1?

原式＝

21?2＋22?3＋23?4＋……＋2100?101 ＝2×（11111?2＋2?3＋3?4＋……＋100?101）

＝2×（1－11111112＋2－3＋3－4＋……＋100－101） ＝2×（1－1101）

＝2×100200101＝101

2222

【9】计算：

22×32×4?13?142?1×……×992992

?1

2⑴先推导出通项公式an＝

nn2?1＝n?n(n?1)(n?1) n＝2、3、4、……、2222

⑵

222?1×332?1×442?1×……×99992

?1

99

3

99?992?23?34?4×××……×

98?1001?32?43?5299＝× 110099 ＝

50＝

5791113151719＋－＋－＋－＋

7256906122042301111111111 ＝1－（＋）＋（＋）－（＋）＋（＋）－（＋）

2334455667111111＋（＋）－（＋）＋（＋）

78899101111111111111111 ＝1－－＋＋－－＋＋－－＋＋－－＋＋

7889910233445566711 ＝1－＋

2103 ＝

5【10】计算1－

【11】计算：＝＝

35124＋＋＋……＋

1?2?4?52?3?5?63?4?6?710?11?13?141?2?3?4?532＋

2?3?4?5?642＋

3?4?5?6?752＋……＋

10?11?12?13?14122

1?5?41?6?42?7?410?14?4＋＋＋……＋

1?2?3?4?52?3?4?5?63?4?5?6?710?11?12?13?141?51?62?710?14＝（＋＋＋……＋）＋

1?2?3?4?52?3?4?5?63?4?5?6?710?11?12?13?144444（＋＋＋……＋） 1?2?3?4?52?3?4?5?63?4?5?6?710?11?12?13?14111144＝（＋＋＋……＋）＋（＋

2?3?43?4?54?5?611?12?131?2?3?4?52?3?4?5?644＋＋……＋） 3?4?5?6?710?11?12?13?14111111111＝×﹝－＋－＋－＋……＋－﹞＋

2?33?43?45?611?1212?134?54?5211111﹝－＋－＋……＋－ 1?2?3?42?3?4?52?3?4?53?4?5?610?11?12?131﹞

11?12?13?1411111＝×﹝－﹞＋﹝－﹞

2?312?131?2?3?411?12?13?1421111＝－＋－ 122?12?132411?12?13?14

4

＝

75 616222【12】计算：13－1311?22?23＋132?2?33221?2?3233－132?2?3?433221?2?3?41＋……＋3322?2???263221?2???263

⑴归纳通项公式an＝13?2???n?2???n2321n(n?1)(2n?1)211＝26＝×（＋） 23nn?1n?(n?1)42⑵ 13－132211?2?223＋13?2?33221?2?33－13?2?3?433221?2?3?41＋……＋3322?2???263221?2???263

121111111×｛（＋）－（＋）＋（＋）－……－（＋）｝ 3334262712221＝×（1－） 32722652＝×＝ 32781＝

[13]

计算：1155×﹝

571719＋＋……＋＋﹞

2?3?43?4?58?9?109?10?11⑴归纳通项公式an＝⑵ 1155×﹝

n?(n?1)11＝＋ （n=2、3、4、…、9）

n?(n?1)?(n?2)(n?1)?(n?2)n?(n?2)571719＋＋……＋＋﹞ 2?3?43?4?58?9?109?10?11111111＝1155×﹝＋＋＋＋……＋＋﹞

3?42?44?53?510?119?11

1111111＝1155×｛﹝＋＋＋……＋﹞＋﹝＋＋……＋﹞｝

3?44?55?610?119?112?43?51111111＝1155×｛﹝－﹞＋﹝－＋－﹞×｝

31121031122188＝1155×｛＋﹝＋﹞×｝

52333331＝1155×

55＝651

5

14、

110＋140＋11188＋154＋238 ＝12?5＋11115?8＋8?11＋11?14＋14?17

＝13×（12－15＋15－18＋18－111＋111111－14＋14－17）

＝13×（12－117）

＝1153×34

＝534

15、 1＋1745＋

12＋920＋815＋1730＋512 ＝114＋5＋13＋1111121114＋4＋5＋3＋5＋5＋6＋4＋6

＝（13＋13＋11116＋6）＋4×4＋＋5×5

＝3

16、 2?3?3?4?4?5??100?101? ．

分析：应用公式1?2?2?3??n??n?1??13n?n?1??n?2?

原式??1?2?2?3?3?4?4?5??100?101??1?2

?13?100?101?102?2 ?343398

17、(1?0.12?0.23)?(0.12?0.23?0.34)?(1?0.12?0.23?0.34)?(0.12?0.23)?________．解：令1?0.12?0.23?a，0.12?0.23?b，则

(1?0.12?0.23)?(0.12?0.23?0.34)?(1?0.12?0.23?0.34)?(0.12?0.23)?

?a??b?0.34???a?0.34??b ?ab?0.34a?ab?0.34b ?0.34?a?b??0.34?1?0.34

18、1＋

12?4＋111122?4?6＋2?4?6?8＋2?4?6?8?10＋2?4?6?8?10?12解：先推导出通项公式。 ɑɑa11n＝

2?4?6????2n＝

＝1

2?n?n?1?n?n?1?2

6

111111＋＋＋＋＋ 1?22?33?44?55?66?711111111111 ＝1－＋－＋－＋－ ＋－＋－

722334455661 ＝1－

76 ＝

7 原式＝

111119、＋＋＋……＋

3?5?7????2133?53?5?7解：先推导出通项公式。 ɑɑan＝原式＝

111＝＝

3?5?7????(2n?1)?2n?1?3?n?2n?n?2?111111＋＋＋＋……＋＋

9?1110?124?61?32?43?5111111 ＝（＋＋……＋）＋（＋＋……＋）

9?1110?122?44?61?33?511111＝×（1－）＋×（－）

112221211015＝×＋× 211212175＝ 264

9111019＋＋＋ 212435201111111325712 ＝＋＋＋＋＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）

457835345738711111322571 ＝ ×3＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋）＋（＋）

45578834577 20、 ＋＋＋＋＋

1334255778 ＝1＋1＋1＋1＋1 ＝5

7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w9hw.html