北京理工大学珠海学院《高等数学A》课程教学大纲

北京理工大学珠海学院《高等数学A》课程教学大纲

鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。——李苦禅
北京理工大学珠海学院
《高等数学A》课程教学大纲
课程编号：
课程名称：高等数学A Advanced Mathematics(A)
学分：12 学时：192（其中实验学时0）
一、目的与任务
1.课程性质：必修课
2.课程类别：公共基础课
3.目的与任务：
《高等数学A》在高等理工科院校的教学计划中是一门重要的基础理论课。《高等数学A》教学大纲适用于对数学要求较高的理工类各专业。
　　在讲授知识的同时，传授数学的思想、思维。不仅要使学生掌握微积分学、常微分方程、无穷级数等基本概念、基本理论，更要努力培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、综合运用所学知识分析解决实际问题的能力，培养学生较强的自主学习能力和创新能力。通过本课程的学习，不仅使学生获得一种工具，一种知识，一种科学，更使学生获得一种思维模式，一种素养，一种文化。为今后学习后续课程、从事工程技术工作奠定必要的数学基础。
二、教学内容、要求及学时分配
　 根据教育部最新制定的工科类本科数学基础课程教学基本要求，结合北京理工大学珠海学院的实际，确定如下《高等数学A》教学大纲的具体内容。
　　课程的内容按教学要求的不同，分为不同层次。对知识点要求的程度用不同词语加以区别：对概念、理论从高到低用"理解"、"了解"来区分；对运算、方法从高到低用 "掌握"、"会"加以区分。"理解"、"掌握"的内容，应使学生深入领会和掌握，并能熟练运用。用 "了解"和"会"要求的内容也是必不可少的，只是在教学上要求低于前者。
　　按教学基本内容划分，要求如下：
1. 函数、极限、连续（20学时）
(1) 在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质(奇偶性、单调性、周期性和有界性)的了解。
(2) 理解复合函数的概念，了解反函数（反三角函数）的概念。
(3) 掌握基本初等函数的性质及其图形。
(4) 会建立简单实际问题中的函数关系式。
(5) 理解极限的概念，了解极限的定义(不要求学生做给出求或的习题)。
　(6) 了解左右极限的概念，并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。
(7) 掌握极限的有理运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。
(8) 了解极限的性质(唯一性、有界性、保号性)和两个存在准则(夹逼准则与单调有界准则)，会用两个重要极限与求极限。
(9) 了解无穷小、无穷大、高阶无穷小、等价无穷小及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
(10) 理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念

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。
(11) 了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。
(12) 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和有界性定理、零点定理和介值定理）。能用介值定理研究函数零点的存在性。
2. 一元函数微分学及其应用（26学时）
(1) 理解导数的概念及其几何意义(不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题)，了解函数的可导性与连续性之间的关系。
(2) 了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。
(3) 掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。会求反函数的导数。
(4) 理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性。
(5) 了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。了解几个常见的函数 的n阶导数的一般表达式。
(6) 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。
(7) 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理(对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧)。
(8) 了解泰勒(Taylor)定理以及从线性逼近到多项式逼近函数的思想(对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求)。
(9) 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。
(10) 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形(包括水平和铅直渐近线)。
　(11) 会用洛必达(L'Hospital)法则求不定式的极限。
　(12) 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
(13) 了解求方程近似解的二分法和切线法的思想。
3. 一元函数积分学及其应用（34学时）
(1) 理解定积分的概念和几何意义(对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求)，了解定积分的性质和积分中值定理。
(2) 理解原函数与不定积分的概念，理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式。
(3) 掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分部积分法(淡化特殊积分技巧的训练，对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练)。
(4) 由定积分定义深刻理解元素法。掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法(微元法)，会建立

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某些简单几何量和物理量的积分表达式。
(5) 了解两类反常积分及其收敛性的概念，会用定义计算并判断简单的反常积分的收敛性，了解函数的概念。
(6) 了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)的思想。
4. 常微分方程（18学时）
(1) 了解微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解、线性方程等概念。
(2) 掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法。
(3) 会求解齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的的思想。
(4) 会用降阶法求下列三种类型的高阶方程：

(5) 理解二阶线性微分方程解的结构。
(6) 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
(7) 会求解自由项形如的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中为实系数次多项式，为实数。
(8) 会通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问题。
5．向量代数与空间解析几何（16学时）
　(1) 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
(2) 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积，混合积不作过高要求），两个向量垂直、平行的条件。
(3) 掌握单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
(4) 掌握平面的方程（点法式、一般式、截距式）和直线的方程（对称式、一般式、参数式）及其求法。会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。
　(5) 理解二次曲面方程的概念，了解空间曲线方程的概念。
(6) 了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。理解投影柱面及其求法，了解截痕法。
(7) 了解空间曲线的参数方程和一般方程。
(8) 会求曲面的交线在坐标平面上的投影。
(9) 了解二次曲面的分类。
6. 多元函数微分学及其应用（16学时）
(1) 理解二元函数的概念及几何意义，了解多元函数的概念。
(2) 了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。
(3) 理解二元函数偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。了解混合偏导数与求导次序无关的条件。掌握求偏导数与全微分的方法。
(4) 了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法。
(5) 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(6) 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数(对于求抽象复合函数的二阶导数，只要求作简单训练)。
(7) 会求隐函数(包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数)的一阶偏导数(对求二阶偏导数不作要求)。
(8) 了解曲线的切线和法平面以及曲面

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的切平面与法线，并会求出它们的方程。
(9) 理解二元函数极值与条件极值的概念，由此了解优化问题的目标函数和约束条件的概念。会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，与几何意义相结合，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。
7. 多元函数积分学及其应用（42学时）
(1) 理解二重积分的概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质，借此，进一步了解元素法对积分学的作用。
(2) 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算简单的三重积分(直角坐标、柱面坐标，球面坐标（可因专业而定）)。会计算无界域上的较简单的反常二重积分。
(3) 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分 (对于空间曲线积分的计算只作简单训练)。
(4) 掌握格林(Green)公式及其使用条件，会使用平面曲线积分与路径无关的条件计算曲线积分，会解简单的全微分方程，了解第二类平面线积分与路径无关的物理意义。
(5) 了解两类曲面积分的概念、相互联系，掌握计算方法。
(6) 了解高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式(斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求)。
(7) 了解场的基本概念，了解散度、旋度的概念和某些特殊场(无源场、无旋场与调和场)，会计算散度与旋度。
(8) 理解元素法思想。了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法(微元法)，会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。
8. 无穷级数（20学时）
(1) 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。
(2) 掌握几何级数与 p-级数的敛散性，了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
(3) 了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。
(4) 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性不作要求)。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求简单幂级数的和函数。
(5)了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
(6) 会利用的麦克劳林 (Maclaurin)展开式将一些简单的函数展开成幂级数。
(7) 了解利用函数展开为幂级数进行近似计算的思想。
(8) 了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数。
三．考核与成绩评定
考核方式：

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考试课、闭卷考试
成绩评定：

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无期中考试：总成绩＝平时成绩20％＋期末成绩80％
有期中考试：总成绩＝平时成绩20％＋期中成绩10％＋期末成绩70％
四、大纲说明
先修课程：无
适用专业：理工类各专业
适用对象：大学一年级学生

五、教科书 参考书
《高等数学》第六版 同济大学数学教研室主编 高等教育出版社







基础部 数学教研室
2008-6-10




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